数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と解き方３（第７問、白黒タイル）

（☆追記：さらに続編記事もアップした。

２０１８本選、解き方４（問題８～１２））

　　　☆　　　☆　　　☆

２０１８マスバトルの記事を１２問分

アップした後、ずいぶん時間が経って

しまった。理由は色々あるが、一番

大きいのは、順番的に次に解くべき

問題７に苦戦してたのだ。

たまたま先日、オセロの世界選手権

が話題になったから、オセロのアプリ

で弱いＡＩに圧勝して遊んでたけど、

この白黒タイル問題には敗北寸前。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

行列か数列の理論の応用だろうけど

思いつかないから、２の９乗＝５１２

通りをシラミつぶしにチェックするしか

ないか・・と思って書き並べ始めたら、

ようやく解けた。

やはり、具体的に手を動かして試行

錯誤することが大切。ただし、それだけ

だと、「出来る」ことの証明は可能でも、

「出来ない」ことの証明にはならない。

だから結局、論理が必要となる。

本来なら今回は問題７～１２の記事

を書く所だけど、既にかなりの時間を

費やしたので、今日は問題７の解説

だけにしよう。今回も、スマホ向けに

１行の字数を少なくしてある。

ちなみに、既にアップ済みの今年の

数学甲子園記事３本は次の通り。

　数学甲子園２０１８予選、

　　　正答率の低い３つの問題

　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ

　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と

　解き方１（英語の問題）　　

　数学甲子園２０１８（マスバトル）、

　問題と解き方２（問題１～６）

　　　☆　　　　☆　　　　☆

第７問

白と黒のタイルを用いて、３×３の

ボードをつくります。１つの行または

列の３つのタイルの色をすべて変化

（黒ならば白、白ならば黒に変換）

させる操作を行います。

この操作を繰り返すことで、すべての

タイルを白にすることができるタイル

の配置の総数を求めなさい。ただし、

回転・裏返しによる配置の同一視は

行わないものとします。

解答

行の変換や列の変換は、２回行うと

元に戻って、０回行うのと同じになる。

よって、各行、各列の変換は０回か

１回だけ行うと考えてよい。

また、すべて白にできる配置とは、

逆に、すべて白の配置から変換

可能な配置でもある。

以下、白いタイルを数字の０、黒い

タイルを数字の１で表すことにする。

すべて白の配置なら、以下の通り。

　０　０　０

　０　０　０

　０　０　０

この状態から、例えば「１行目に

１回、２行目に１回、３行目に０回、

１列目に０回、２列目に１回、

３列目に０回」だけ操作を行うと、

操作の順番に関わらず、次の

ただ１通りの配置になる。

　１　０　１

　１　０　１

　０　１　０

同様に考えて、一般に、３行３列

に対する変換の回数の組合せに

対して、タイルの配置が１通り対応。

ただし、１対１とは限らないので、

それぞれの行や列への変形が

０回か１回かを考えて、

２×２×２×２×２×２＝６４通り

の配置を書いてみる。

行・列すべて０回から始めて、行・列

すべて１回まで。既に書いたものと

重複した場合、色を付けて区別。

（注．　スマホやタブレットの場合、

数字に自動でリンクが付いてしまい、

色が消えてしまうので悪しからず。）

０００　１１１　０００　０００　１００

０００　０００　１１１　０００　１００

０００　０００　０００　１１１　１００

０１０　００１　０１１　１０１　１１０　

０１０　００１　１００　０１０　００１

０１０　００１　１００　０１０　００１

１００　０１０　００１　１００　０１０　

０１１　１０１　１１０　１００　０１０

１００　０１０　００１　０１１　１０１

００１　１１１　１１１　０００　１１０　

００１　１１１　０００　１１１　１１０

１１０　０００　１１１　１１１　１１０

１０１　０１１　０１１　１０１　１１０

１０１　０１１　０１１　１０１　１１０

１０１　０１１　１００　０１０　００１

０１１　１０１　１１０　１００　０１０

１００　０１０　００１　０１１　１０１

０１１　１０１　１１０　０１１　１０１

００１　００１　１１０　１１０　０１０　　

１１０　１１０　００１　１１０　１０１

１１０　１１０　１１０　００１　１０１

１０１　１０１　１００　０１１　０１１　

０１０　１０１　０１１　１００　０１１

１０１　０１０　０１１　０１１　１００

００１　０１０　１００　００１　０１０ 

００１　０１０　１００　１１０　１０１ 

１１０　１０１　０１１　００１　０１０

１００　１１０　１０１　０１１　１１１ 

０１１　００１　０１０　１００　１１１ 

１００　００１　０１０　１００　１１１

１１１　０１１　１０１　１１０　０００

１１１　０１１　１０１　１１０　１１１

１１１　０１１　１０１　１１０　１１１

１１１　１１１　００１　０１０　００１

０００　１１１　００１　０１０　００１

１１１　０００　００１　０１０　００１

０００　０００　０００　０００

０００　１１１　０００　０００

１１１　０００　１１１　０００

後半ほぼ全て、３２通りが重複。

例えば、行２つと列１つに１回変換

した９通りは、列１つと行２つに１回

変換した９通りと一致する。また、

行２つと列２つに１回変換した９通り

なら、行１つと列１つに１回変換した

９通りと一致。

一般に、行ｎコと列ｍコに１回変換

した配置全体は、行３－ｎコと列

３－ｍコに１回変換した配置全体と

一致する（ｎ，ｍ＝０，１，２，３）。

∴　（求める配置の総数）

　＝６４－３２

　＝６４／２

　＝３２（通り）　・・・答

感想

オセロの変化の多さにつられて難しく

考え過ぎた。行列の行や列の基本

変形として単純に考えるべきだった。

最初は６４通りが答かと思ったけど、

念のために書き並べると大量の重複

が判明。書き並べるだけでも１度ミス。

結局、（２の６乗）÷２が答になるけど、

キレイな理由は今のところ不明。行列

の成分の添字とクロネッカーのデルタ

δi j を使うような気がする程度。

なお、問題文をよく読むと、最初から

すべて白の場合も含めるのが正解

のはず。疲れた切ったところで、今日

はこの辺で。。☆彡

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