数学甲子園２０１８予選、解き方と感想３（問題１２～２０）

２０１８年の数学甲子園記事は、完成まで

時間がかかったけど、今回の記事で

ようやくラストとなった。既にアップ済み

の記事６本は以下の通り。

　数学甲子園２０１８予選、

　　正答率の低い３つの問題

　２０１８予選、解き方と感想２

　（問題１～５、７～９）

　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ

　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と

　解き方１（英語の問題）　　

　２０１８（マスバトル）、解き方２

　（問題１～６）

　解き方３　（第７問、白黒タイル）

　解き方４　（問題８～１２）

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１２

ｘｙ平面において、次の連立不等式が

表す図形の面積を求めなさい。

　ｘ²－２|ｘ|＋ｙ²－２|ｙ|＋１≧０

　|ｘ|＋|ｙ|≦１

解答

　第１式を変形すると、

　|ｘ|²－２|ｘ|＋|ｙ|²－２|ｙ|＋１≧０

よって、与えられた連立不等式のｘとｙ

にはすべて絶対値記号が付いている

ので、図形はｘ軸対称かつｙ軸対称。

ｘ≧０、ｙ≧０の範囲に限ると、

　（ｘ－１）²＋（ｙ－１）²≧１

　ｙ≦１－ｘ

∴（面積全体の４分の１）

　　＝（辺の長さ１の正方形）

　　　　－（半径１の４分円）

　　＝１－π／４

∴（面積全体）＝４－π　・・・答

感想

私が高校１年の頃だと、記述式の問題

ならマジメに４通りの場合分けをして

最後に足し算してたような気がする。

この問題だと答だけだから、第１象限

（＋境界）で解いて４倍して終了。

参加者全体の正答率１９％、通過者

６９％。小数点以下は四捨五入。

問題１３

ａ、ｂ、ｃ、ｄを正の整数とします。線分

ＡＢをａ：ｂに内分する点をＣ、ｃ：ｄに

内分する点をＤとするとき、

ＡＣ：ＣＤ：ＤＢをａ、ｂ、ｃ、ｄを用いた

整数比で表しなさい。ただし、点Ａ、Ｃ、

Ｄ、Ｂはこの順に並んでいるものとします。

解答

全体の長さを１とすると、

　ＡＣ＝ａ／（ａ＋ｂ）

　ＤＢ＝ｄ／（ｃ＋ｄ）

∴ＡＣ：ＣＤ：ＤＢ

＝ａ／（ａ＋ｂ）：

　　１－ａ／（ａ＋ｂ）－ｄ／（ｃ＋ｄ）：

　　ｄ／（ｃ＋ｄ）

＝ａ（ｃ＋ｄ）：

　（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）－ａ（ｃ＋ｄ）

　　　－ｄ（ａ＋ｂ）：ｄ（ａ＋ｂ）

＝ａ（ｃ＋ｄ）：ｂｃ－ａｄ：ｄ（ａ＋ｂ）　答

感想

小学校の算数の発展問題といった感じ。

細かい話だけど、模範解答の中央、

「（ｂｃ－ａｄ）」のカッコは要らないと思う。

ただ、採点者の主観的判断が入るから、

実戦だとカッコを付けといた方が無難。

あと、小文字のｃが整数で、大文字のＣ

が点という、まぎらわしい設定に注意。

全体正答率２６％、通過者７７％。後半

の問題だから、時間に追われたのかも。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１４

△ＡＢＣの３辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢの長さを

それぞれａ、ｂ、ｃとします。次の等式が

成り立つとき、△ＡＢＣの内角のうち、

最大の角の大きさを求めなさい。

（ｂ＋ｃ）：（ｃ＋ａ）：（ａ＋ｂ）＝４：５：６

解答

ｂ＋ｃ＝８，ｃ＋ａ＝１０，ａ＋ｂ＝１２

とおくと、

　２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝３０

∴　ａ＋ｂ＋ｃ＝１５

∴　ａ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３

最大の角は、最大辺と向き合う∠Ａ。

余弦定理より、

ｃｏｓ∠Ａ＝（５²＋３²－７²）／２×５×３

　　　　　＝－１／２

∴　∠Ａ＝１２０°　・・・答

感想

教科書レベルのサービス問題。時間も

稼ぎたいので、比例定数ｋは省略。

全体正答率４２％、通過者９１％。

通過者にとっては最も簡単だった問題。

問題１５

ｋを正の整数とします。

Ｐ（ｋ）＝（１のｋ乗）＋（２のｋ乗）＋

　　　　（３のｋ乗）＋（４のｋ乗）＋

　　　　（５のｋ乗）＋（６のｋ乗）

とすると、

Ｐ（１）＝１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１

Ｐ（2）＝1²＋2²＋3²＋4²＋5²＋6²＝91

Ｐ（3）＝1³＋2³＋3³＋4³＋5³＋6³＝441

であり、Ｐ（１）、Ｐ（２）、Ｐ（３）はすべて

７の倍数となりますが、ｋの値によって

は７の倍数にならないこともあります。

Ｐ（ｋ）が７の倍数にならないｋの値を

すべて求めなさい。

解答

ｍｏｄ７の合同式を用いてｋ＝６まで

計算すると、ｋ＝６ではじめて７の倍数

（＝０）にならない。

１⁶＋２⁶＋３⁶＋４⁶＋５⁶＋６⁶

　≡１＋１＋１＋１＋１＋１

　＝６

上の２番目の式から考えると、

ｋ＝７の時はｋ＝１の時と同じ。

一般にｋ＝６ｍ＋ｎの時は、

ｋ＝ｎの時と同じ。

よって、求める値は、

　ｋ＝６ｍ＋６　（ｍは０以上の整数）

ｍ＋１＝ｐと置いて簡単にすると、

　ｋ＝６ｐ　（ｐは正の整数）　・・・答

感想

時間の少ない予選でこの問題は厳しい。

ただ、６の６乗まで試すだけで解けるから、

それほど計算時間がかかるわけでもない。

全体正答率６％、通過者４０％で、出来の

差が大きかった問題。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１６

次の等式を満たす整数の組（ｘ，ｙ）を

すべて求めなさい。

　ｘｙ³－３ｙ－ｘ＝１

解答

（ｙ³－１）ｘ－３（ｙ－１）＝４

∴　（ｙ－１）｛（ｙ²＋ｙ＋１）ｘ－３｝＝４

掛け合わせて４になる整数の組を考え、

そこから（ｘ、ｙ）を求めると、整数の組は

（１，２），（－１，０），（１，－１）　答

感想

パターン化された不定方程式をちょっと

ヒネった形で、これも実力差が出やすい。

次数の低いｘで整理するのが基本。

全体正答率９％、通過者４４％。

問題１７

連続する５つの正の整数について、

次の法則が成り立ちます。

１×２×３×４×５＋５＝125＝5×5²

２×３×４×５×６＋６＝726＝6×11²

３×４×５×６×７＋７＝2527＝7×19²

　　・・・　　　　・・・　　　・・・

このとき、次の等式を満たす正の整数ｎ

の値を求めなさい。

2016×2017×2018×2019×2020

　　＋2020＝2020×ｎ²

解答

ｎ²－１＝2016×2017×2018×2019

∴　（ｎ－１）（ｎ＋１）

　＝（2016×2019）・（2017×2018）

　＝４０７０３０４×４０７０３０６

∴　ｎ＝４０７０３０５　・・・答

感想

私は「ｎ²－１」の形にして因数分解する

式変形になかなか気づかなかったから、

問題１５より面倒だと感じた。受験者には

こちらの方が簡単だったらしい。

全体正答率１８％、通過者５１％。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１８

さいころＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを同時に振り、出た目

をそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとします。このとき、

放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃの頂点の座標が

（－１，ｄ）となる確率を求めなさい。

ただし、さいころの目は１から６まであり、

どの目も出る確率は等しいものとします。

解答

－ｂ／２ａ＝－１

－（ｂ²－４ａｃ）／４ａ＝ｄ　

∴　ｂ＝－２ａ，ｄ＝－ａ＋ｃ

これを満たす（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）の組は

全部で１２個。

∴　１２／６⁴＝１／１０８　・・・答

感想

設定にヒネリがあるし、確実に１２個

求めるのがちょっと面倒。ただ参加者の

出来は良くて、全体１８％、通過者５３％。

問題１９

ＯＡ＝３、ＯＢ＝４、∠ＡＯＢ＝６０°で

ある△ＯＡＢにおいて、辺ＯＡの中点を

通りＯＡに垂直な直線と、辺ＯＢの中点

を通りＯＢに垂直な直線との交点をＱと

します。

（→ＯＡ）＝（→ａ）、（→ＯＢ）＝（→ｂ）

とするとき、（→ＯＱ）を（→ａ）、（→ｂ）

を用いて表しなさい。

解答

ＯＡの中点をＭ、ＯＢの中点をＮとし、

（→ＯＱ）＝ｐ（→ａ）＋ｑ（→ｂ）とおく。

｜→ａ｜＝３，　｜→ｂ｜＝４

（→ａ）・（→ｂ）＝６

（→ＭＱ）・（→ａ）＝０より、

{（ｐ－1/2）（→ａ）＋ｑ（→ｂ）}・（→ａ）＝０

∴　６ｐ＋４ｑ＝３

（→ＮＱ）・（→ｂ）＝０より、

{ｐ（→ａ）＋（ｑ－1/2）（→ｂ）}・（→ｂ）＝０

∴　３ｐ＋８ｑ＝４

∴　ｐ＝２／９，　ｑ＝５／１２

∴　（→ＯＱ）＝

　（２／９）（→ａ）＋（５／１２）（→ｂ）　答

感想

パターン化された標準問題だけど・・

と言うか、だからこそ差が付いたのか。

１９問目だから時間切れになったのかも。

全体正答率１１％、通過者５０％。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題２０

ｆ（ｘ）＝∫（４ｘ－２ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ＋３

（－１≦ｔ≦１）　を満たす関数ｆ（ｘ）を

求めなさい。

解答

ｆ（ｘ）＝４ｘ∫ｆ（ｔ）ｄｔ－２∫ｔｆ（ｔ）ｄｔ＋３

　＝ａｘ＋ｂ　とおくと、

ａｘ＋ｂ＝

４ｘ∫（ａｔ＋ｂ）ｄｔ－２∫ｔ（ａｔ＋ｂ）ｄｔ＋３

＝８ｂｘ－４ａ／３＋３

これがｘの恒等式だから、

ａ＝８ｂ，　ｂ＝－４ａ／３＋３

∴　ａ＝７２／３５，　ｂ＝９／３５

∴　ｆ（ｘ）＝（７２／３５）ｘ＋９／３５　答

感想

これもパターン化された標準問題なのに、

時間切れになった人が多かったのかも。

全体正答率８％、通過者４７％。

フーッ。。　やっと全て終了♪　問題を書き

写すだけでも疲れてしまうのだ。来年の

予選はもう少し簡単になると予想する。

ではまた、数学甲子園２０１９にて。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１９予選、正答率の低い問題１６の解き方と感想

　１９予選、解き方と感想２（問題１～６）

　１９予選、解き方と感想３（問題７～１２）

　　　　　　　　　（計　３３４９字）

　　　（追記７１字 ； 合計３４２０字）