数学甲子園２０１８予選、解き方と感想２（問題１～５、７～９）

（☆追記：　最後の記事もアップ完了。

　２０１８予選３（問題１２～２０）　）

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数学甲子園２０１８予選の問題が公式

サイトで公開されたのは、１０月下旬

だったと思う。実際の予選は夏だから、

２ヶ月遅れ。

前から指摘してるけど、せめて９月１６日

の本選前に公表すれば注目度が上がる

はず。当サイトの関連記事へのアクセス

も、本選が終わると急激に減少する。

だから、１０月３１日に本選結果が訂正

されたのもあまり知られてないだろう。

７位とされてた開成高１Ｓチームが

４位に浮上。元の４～６位のチームが

１つずつ順位を下げてた。

正直に自ら公表したのはいいとして、

１ヶ月半後というのは遅すぎるし、数学

の大会で入賞者の点数の集計ミスと

いうのは残念なこと。単なる２ケタ～

３ケタの自然数３つの足し算。実際は、

集計というより「採点」ミスなのかも。。

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とにかく今年も予選記事をアップしよう。

正答率が低かった３問は、本選ライブ

動画で紹介された後、記事をアップして

ある。残り１７問も過去と比べて難しめ

で、平均点の低さは当然だろう。

２０点満点で平均僅か４．３点。本選

出場者でさえ１１．８点に留まってた。

満点はゼロだけど、１９点が２人。

FRESH LIVE動画より。

なお、既にアップ済みの今年の記事

５本は以下の通り。

　数学甲子園２０１８予選、

　　正答率の低い３つの問題

　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ

　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と

　解き方１（英語の問題）　　

　２０１８（マスバトル）、解き方２

　（問題１～６）

　解き方３　（第７問、白黒タイル）

　解き方４　（問題８～１２）

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問題１

次の式を因数分解しなさい。

　３６ｘ²＋６ｘｙ－１２ｙ²

　　　　＋１１ｘ＋２６ｙ－１２

解答

ｘで整理して、たすき掛けを利用。

　３６ｘ²＋（６ｙ＋１１）ｘ

　　　－２（３ｙ－２）（２ｙ－３）

＝（４ｘ－２ｙ＋３）（９ｘ＋６ｙ－４）　答

感想

正答数０問と１問の参加者が大勢いる

ということは、因数分解が解けなかった

参加者が多いということ。１問３分しか

ないし、緊張してるから大変だろう。

最後のたすき掛けを素早く成功させる

コツは、１次の項の定数１１に着目する

こと。奇数だから、２次の係数と定数項

の分解は、奇数×奇数の形ができる

ように行う。

全体の正答率は４８％。通過者は

８４％。小数点以下は四捨五入した。

以下でも同様。

問題２

ｘ についての２次不等式

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ≧０の解がｘ＝ａで

あるとき、ａ、ｂ、ｃ、の符号をそれぞれ

求めなさい。

解答

ｙ＝左辺のグラフが上に凸の放物線

で、頂点が（ａ，０）であるための条件

を求めればよい。

まず、ａ＜０　・・・答

また、　－ｂ／２ａ＝ａ

　　　－（ｂ²－４ａｃ）／４ａ＝０

∴　ｂ＜０，　ｃ＜０　・・・答

感想

教科書の章末問題くらいの標準レベル。

全体の正答率は意外なことに、２７％。

平方完成で頂点の座標を求める時に

間違えたということか。通過者は７６％。

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問題３

次の式を簡単にしなさい。

解答

４＋√１５＝（８＋２√１５）／２

　　　　　　＝（√５＋√３）²／２

４－√１５＝（√５－√３）²／２

∴（分子）＝（√５＋√３）³／２√２

　　　　＋（√５－√３）³／２√２

　　　＝７√１０

同様の計算で、

（分母）＝１３√１０

∴（与式）＝７／１３　・・・答

感想

最初、反射的に分母の有理化を行って、

上手く行かないから方針変更。与式の

カッコ内が２乗の形になることを発見。

甲子園の予選としては適度な計算かも。

全体正答率７％、通過者３３％。

問題４

ＡＢ＝６、ＢＣ＝４、ＣＡ＝５の△ＡＢＣ

があり、∠ＡＢＣの二等分線と辺ＡＣの

交点をＤ、∠ＡＣＢの二等分線と辺ＡＢ

の交点をＥ、線分ＣＥとＢＤの交点をＦ

とします。

△ＡＢＣの面積をＳとするとき、△ＤＥＦ

の面積をＳを用いて表しなさい。

解答

角の二等分線が対辺を分割するときの

長さの性質を利用する。

△ＡＢＤ＝６／（６＋４）Ｓ＝３Ｓ／５

△ＥＢＤ＝△ＡＢＤ×４／（５＋４）

　　　　＝（３Ｓ／５）×４／９

　　　　＝４Ｓ／１５

ＣＤ＝ＡＣ×４／（６＋４）＝２

∴ＢＦ：ＦＤ＝ＢＣ：ＣＤ

　　　　　＝４：２

　　　　　＝２：１

∴△ＤＥＦ＝△ＥＢＤ×１／（２＋１）

　　　　　　＝４Ｓ／４５　・・・答

感想

標準レベルのサービス問題で、計算

も簡単、図も添えてある。予選通過

のためには確実に取りたいところ。

△ＥＢＤを使うか、△ＥＣＤを使うか、

ハッキリ決めないと途中で混乱する。

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問題５

あるスーパーマーケットでは、１パック

８個入りの卵が売られています。下の

データは、無作為に選んだ２つのパック

Ａ、Ｂに入っていた卵の重さ（単位：ｇ）

です。

Ａ　５９，６２，６０，６３，６２，５９，６１，６２

Ｂ　６２，５９，５８，６１，６０，６３，５８，５９

それぞれのデータについて、分散を

求めなさい。

解答

（Ａの平均）＝６１

∴（Ａの分散）

＝（２²＋１²＋１²＋２²＋１²＋２²

　　　＋０²＋１²）／８

＝２　・・・答

（Ｂの平均）＝６０

∴（Ｂの分散）

＝（２²＋１²＋２²＋１²＋０²＋３²

　　　＋２²＋１²）／８

＝３　・・・答

感想

統計の基本問題で、計算も簡単。全体

の正答率は５０％で最高。通過者は

８７％で、２番目の出来の問題だった。

間違えた人は、確率分布の分散と混同

して、ｎ＝８で割るのを忘れたのかも。

問題６　正答率が最低だった問題で、

　　　　既に別記事でアップ済。

問題７

ｔａｎ（ｘ／２）＝ｔ　とするとき、

ｓｉｎ ｘ、ｃｏｓ ｘ、ｔａｎ ｘ を、それぞれ

ｔ を用いて表しなさい。

解答

１＋ｔａｎ²（ｘ／２）

　＝１／ｃｏｓ²（ｘ／２）

より、ｃｏｓ²（ｘ／２）＝１／（１＋ｔ²）

∴ｓｉｎ ｘ＝２ｓｉｎ（ｘ／２）ｃｏｓ（ｘ／２）

　　　＝２ｃｏｓ²（ｘ／２）・ｔａｎ（ｘ／２）

　　　＝２ｔ／（１＋ｔ²）　・・・答

　ｔａｎ ｘ＝２ｔａｎ（ｘ／２）

　　　　　　　／｛１－ｔａｎ²（ｘ／２）｝

　　　＝２ｔ／（１－ｔ²）　・・・答

　ｃｏｓ ｘ＝ｓｉｎ ｘ／ｔａｎ ｘ

　　　＝（１－ｔ²）／（１＋ｔ²）・・・答

感想

計算のやり方によっては、符号の

プラス・マイナスの問題が生じて面倒。

ただ、ほとんど公式だし、最後の答

には見覚えがある人が多かったはず。

全体正答率２３％、通過者８０％。

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問題８

正の整数ａ、ｂに対して、ａ²は９桁、

ａ²ｂ⁴は３４桁の数とします。このとき、

ａとｂの桁数をそれぞれ求めなさい。

解答

　１０⁸≦ａ²＜１０⁹　だから、

　１０⁴≦ａ＜１０⁵

よって、ａの桁数は５桁。　・・・答

また、１０⁸≦ａ²＜１０⁹より　　

∴（１／１０⁹）＜１／ａ²≦（１／１０⁸）　　

１０³³≦ａ²ｂ⁴＜１０³⁴ と掛け合わせて、

　１０²⁴＜ｂ⁴＜１０²⁶

∴　１０⁶＜ｂ＜１０⁷

よって、ｂの桁数は７桁。　・・・答

感想

不等式の正確な扱いが必要。全体の

正答率３２％、通過者７０％。差が

小さいのは、答の桁数の候補が３つ

くらいしかないからかも♪

問題９

次の式を展開したときの項数を求め、

ｎを用いて表しなさい。

｛∑ａ k （k＝１～ｎ）｝²

　＝（ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａ n）²

解答

２乗の項がｎ個。

それ以外が、 ｎＣ2＝ｎ（ｎ－１）／２ 個。

∴　ｎ＋ｎ（ｎ－１）／２

　　　＝ｎ（ｎ＋１）／２　（個）　・・・答

感想

断トツで簡単だし、出題意図も不明で、

不安になってしまった。次の２問が難しい

から、その前にサービスという意味か♪

全体正答率２４％、通過者７７％。

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次の問題１０と問題１１は、既に別記事

をアップしてある。あと１本書けば、今年

の数学甲子園もようやく終了。

今日のところはこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１９予選、正答率の低い問題１６の解き方と感想

　１９予選、解き方と感想２（問題１～６）

　１９予選、解き方と感想３（問題７～１２）

数学甲子園２０１７予選、

　　　全２０問の問題、解き方、感想

　　同・本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、

　　　　問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

　　同・問題と解き方２

　　同・問題と解き方３

　２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題

　１６予選、全２０問の解き方、感想

　１６（Ａｂｅｍａライブ）、前半感想

　２０１５準々決勝、全問コメント

　１５予選、全２０問の解き方、感想

　１４準々決勝、全問コメ＆問題１０

　１３予選ポイント、問題１５解説

　１２、予選問題＆３日ぶりのラン

　数学選手権にチャレンジ （１１）

　　　　　　　　（計　３１３８字）

　　（追記１０５字　；　合計３２４３字）