数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、解き方４（問題８～１２）

（☆追記：　予選記事２本目もアップ。

　２０１８予選、解き方と感想２　）

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数学甲子園２０１８本選から既に

１ヶ月半が経過。ようやく本選マス

バトルの記事が完結した。

今年は難しめで、特に問題５、７、１２

には苦戦。予選の正答率から考えると、

本選参加者もこれら３問の正答率は

かなり低かったと思う。

ちなみに、既にアップ済みの今年の

数学甲子園記事４本は次の通り。

　数学甲子園２０１８予選、

　　正答率の低い３つの問題

　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ

　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と

　解き方１（英語の問題）　　

　２０１８（マスバトル）、解き方２

　（問題１～６）

　２０１８（マスバトル）、解き方３

　（第７問、白黒タイル）

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第８問

ある電子式抽選機から当たりが出る

確率は０．２であることが公表されて

います。この抽選機を４００回引くとき、

当たりが出る回数が７６以上８４以下

である確率を、抽選回数４００が十分

大きいとして、正規分布で近似する

方法で求めなさい。

解答の際には、下の正規分布表の

値を用いなさい。答えは小数第３位

を四捨五入して小数第２位まで求め

なさい。

解答

当たりが出る回数Ｘの確率分布は、

ｎ＝４００、ｐ＝０．２、ｑ＝０．８

の二項分布となり、正規分布

Ｎ（ｎｐ，ｎｐｑ）＝Ｎ（８０，８²）で

近似できる。

さらに、Ｚ＝（Ｘ－８０）／８とおくと、

標準正規分布Ｎ（０，１）となる。

∴　Ｐ（７６≦Ｘ≦８４）

　＝Ｐ（－０．５≦Ｚ≦０．５）

　＝２×Ｐ（０≦Ｚ≦０．５）

　＝２×０．１９１４６　（表より）

　≒ ０．３８　・・・答

感想

考え方も計算も、あまりにヒネリが無い

ので逆に不安になる。基本知識さえ

覚えてたら、教科書の例題レベルだろう。

ただし、正規分布表の区間の取り方

（ここでは０≦Ｘ≦ｕ）は、数種類ある

ので注意。

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第９問

フィボナッチ数列｛ｆ n｝は、

ｆ ₁＝１，ｆ ₂＝１，

ｆ n₊₂＝ｆ n₊₁ ＋ ｆ n

（ｎ＝１，２，３，・・・）

によって定義されます。

ｆ₁，ｆ₂，ｆ₃，・・・をフィボナッチ

数といいます。

次の数列の和を、フィボナッチ数

どうしの２数の積の形に表しなさい。　　

∑ｆ k ｆ k₊₁　（ｋ＝１～ｎ）

解答

ｆ₃＝２，ｆ₄＝３，ｆ₅＝５，ｆ₆＝８。

∑の値をｎ＝５まで計算すると、

　ｎ＝１で１　（＝１×１）

　ｎ＝２で３　（＝１×３）

　ｎ＝３で９　（＝３×３）

　ｎ＝４で２４　（＝３×８）

　ｎ＝５で６４　（＝８×８）

よって

ｎが奇数の時、∑＝ｆ n₊₁×ｆ n₊₁、

ｎが偶数の時、∑＝ｆ n×ｆ n₊₂

　　・・・答

（証明は帰納法で簡単にできる

　ので省略。）

感想

一見、テクニカルな変形が必要な難問

かと身構えてしまったが、実験してみる

とすぐに分かってしまった。帰納法の

証明もすぐ成功。

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第１０問

右の図１のように、ｘ²＋ｙ²＝３６

で表される円Ｏに、半径１の円Ｐ

が点Ａ（６，０）で内接しています。

このとき、点Ａと重なっている円Ｐ

の周上の点をＱとします。

この状態から円Ｐは円Ｏに内接

しながら、円Ｏの周にそってすべる

ことなく矢印の方向（ｘ軸と正の

角度をなす方向）に回転していき

ます。

図２のように、円Ｐが円Ｏの周上

を回転したときの円Ｏと円Ｐとの

接点をＲとし、弧ＡＲの長さをθ

とします。このとき図１で点Ａと

重なっていた点Ｑは図２のような

位置にきます。

θが０≦θ≦πの範囲を動くとき、

点Ｑが動いてできる曲線の長さを

求めなさい。

解答

∠ＡＯＲ＝弧／半径

　　　　＝θ／６

円Ｐの中心Ｐの座標は、

（５ｃｏｓθ／６，５ｓｉｎθ／６）

（半径６の弧）ＡＲ

　　＝（半径１の弧）ＱＲだから、

∠ＱＰＲ＝６×（θ／６）＝θ

よって点Ｑの座標は、

（５ｃｏｓθ／６＋ｃｏｓ－５θ／６，

　５ｓｉｎθ／６＋ｓｉｎ－５θ／６）

＝（５ｃｏｓθ／６＋ｃｏｓ５θ／６，

　５ｓｉｎθ／６－ｓｉｎ５θ／６）

∴　（求める曲線の長さ）

＝∫√{(dx/dθ)²＋(dy/dθ)²}dθ

　　　（０≦θ≦π）

＝(5/6)∫√（２－２ｃｏｓθ）dθ

＝(5/6)×４

＝１０／３　・・・答

感想

数Ⅲのやや面倒な積分だけど、キレイ

に √ が外れる設問。試しに無料ＡＩの

ウルフラムで検算すると、１秒で確認

できた。

Ｑの軌跡は、ハイポサイクロイド

とか内サイクロイドと呼ばれる曲線。

ウィキメディアの図を見ると、Ｑの軌跡

（赤い弧の半分）は、外側の黒い弧の

半分（長さπ＝３．１４）より少しだけ長い。

よって図形的にも答（約３．３）は支持

される。

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第１１問

右図のように、地面に沿ってｘ軸をとり、

鉛直上方にｙ軸をとります。

原点Ｏから物体をｘ軸からθの角度で

斜め上方に１０の速さで投げ上げると、

物体は放物線をえがいて運動し、その

放物線はおよそ

ｙ＝(tanθ)ｘ

　　－｛1/(20cos²θ）｝ｘ²

という式で表されます。ただし、

０＜θ＜π／２ とします。

この放物線の頂点は、θを動かすと

ある曲線をえがきます。この曲線の

方程式をｘ，ｙを用いて表しなさい。また、

ｘ，ｙのとり得る値の範囲も明記しなさい。

解答

放物線の軌跡を平方完成すると、

ｙ＝-1/(20cos²θ) (ｘ－5ｓｉｎ2θ)²

　　＋５（１－ｃｏｓ２θ）／２

よって、頂点の座標は

（５ｓｉｎ２θ，５（１－ｃｏｓ２θ）／２）

θを消去して、曲線の方程式は

（ｘ/5）²＋｛(y-5/2)/(5/2)｝²＝１

　・・・答

０＜θ＜π／２より

０＜２θ≦π。

よって、ｘ，ｙの範囲は

　０＜ｘ≦５，０＜ｙ＜５　・・・答

感想

最後の不等号の「＝」の有無が減点

ポイントだからこそ、問題文の最後に

強調してある。ｘの不等式につられて、

ｙの右側の不等号に「＝」を付けて

しまうのがありがちなミス。

要するに、楕円の右半分で、縦軸上の点

を除いた部分になる。楕円の右端になる

のはθ＝π／４の時、つまり４５度の時。

ちなみに物理的に考えると、この問題は

重力加速度ｇを１０として、空気抵抗を

無視した斜方投射だ。

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第１２問　（超高校級の難問か？）

１辺の長さがＬの立方体に含まれる

正八面体（頂点は立方体の面や辺上に

あってもかまいません）について、その

体積の最大値を求めなさい。

（注．　Ｌは原文では小文字。）

解答　（というより学問的な説明）

Ｈ．Ｔ．Ｃｒｏｆｔの研究（１９８０年）

より、最大になる時の正八面体の

１辺の長さは、立方体の１辺の長さ

の（３√２）／４倍。

この問題では、（３√２）Ｌ／４。

以下の図と表は、Ｍ．Ｆｉｒｃｈｉｎｇ

の論文より（２０１４年）。

立方体（Ｃｕｂｅ）の中に、

正八面体（Octahedron）が

微妙な形で含まれている。

正八面体の辺１２本の内、

６本だけ立方体の面上にある。

正八面体の頂点は、立方体の

辺の３：１の内分点。

一般に、

（正八面体の体積）

　＝（√２／３）×（辺の長さ）³

∴　（最大の正八面体の体積）

　＝（√２／３）×（３√２／４）³

　＝９Ｌ³／１６　・・・答

感想

証明は必要としないとしても、高校では

超難問だろう。直感が通じない。

まさか出題者が、「明らかに立方体の

６面の中心を結ぶ正八面体」だと誤解

してしまったのではないと思うけど、

はたしてどうか。

私は、少しだけズラした場合が最大

だろうとは感じたけど、空間図形の

計算や論証が難しくて途中でパス。

ネットを探し回って、ようやく結論らしき

ものを発見した。ただし、まだほとんど

理解してない。

国内では、アマチュア研究者として

名高いらしい佐藤郁郎氏のサイトに

詳しいけど、複数ページの解説を

合わせても完全ではないと思う。

場合分けの際に省略がある。

クロフトの英語論文は有料みたいなので、

無料公開されてる最近の別の論文を使用。

興味深いことに、クロフトの間違いまで

指摘してある。ということは、それに今まで

他の研究者は気づかなかったわけか。

『数学セミナー』２０１３年４月号の

「エレガントな解答を求む」１番解答で、

クロフトの論文について触れてた。大阪

経済大学のｐｄｆファイルで部分的に

公開中。

今年の数学甲子園の記事は大幅に

遅れてしまったが、これで後は予選の

残り１７問だけになった。

今日のところはこの辺で。。☆彡

ｃｆ．数学甲子園２０１７予選、

　　　全２０問の問題、解き方、感想

　　同・本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、

　　　　問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

　　同・問題と解き方２

　　同・問題と解き方３

　２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題

　１６予選、全２０問の解き方、感想

　１６（Ａｂｅｍａライブ）、前半感想

　２０１５準々決勝、全問コメント

　１５予選、全２０問の解き方、感想

　１４準々決勝、全問コメ＆問題１０

　１３予選ポイント、問題１５解説

　１２、予選問題＆３日ぶりのラン

　数学選手権にチャレンジ （１１）

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　　（追記３５字　；　合計３４４８字）