部分分数分解と置換積分、部分積分、鉛直投げ上げ、確率~亀梨ドラマ『手紙』の数学問題と解答
亀梨和也主演、東野圭吾原作のドラマ『手紙』(テレビ東京系)。
普通にレビューしようと思ってたのに、数学にハマってしまった (^^ゞ
・・っていうか、ちょっとした個人的事情もあって、数学Ⅲの計算
練習をしときたかったのだ。
まあ、同じ東野原作の大ヒットドラマ『ガリレオ』みたいに、亀梨=
武島直貴が数式を書くシーンもあったし、『ガリレオ』のボケ役・
渡辺いっけいも出てたし、こんなマニアックなドラマ系数学記事も
悪くないと思う。アクセス成績は悪そうだけど(笑)
黒板1問と問題集1問くらいしか読み取れないだろうと思ってたら、
問題集は3問読み取れてしまったし、他にノートの問題まで読めて
しまった (^^ゞ こうなると、マニアは解き切るまで落ち着かない♪
ほぼ全部解いてしまったので、簡単に記事にまとめとこう。
ちなみに脚本家は美青年ドラマ『アルジャーノンに花束を』も担当
してた池田奈津子。あの時は、山Pが大学レベルの数式を書き
なぐってたけど、今回は受験レベルの高校数学で、標準~やや難
といった程度。
東京大学・・じゃなくて京都大学・・でもなくて「帝都大学」の数学科
なら、もっと難解で思考力を要求する問題を出すはず。上は教学社
・・じゃなくて教鞭社?(or教談社とか)の赤本。7年分でこの厚さ
だと、新品なら3000円以上する本だけど、やがて捨てられる
のであった。ヤフオクかメルカリなら1000円くらいで売れたのに♪
☆ ☆ ☆
では、最初のシーン。定時制高校の数学教師・朝美(広瀬アリス)
に、マンガ読んでたでしょ・・とか注意された直貴が取り出したのは、
『徹底攻略 数学Ⅲ ハイレベル問題集』。数研出版・・じゃなくて
数式出版・・でもなくて、「数識」出版♪ 作った美術スタッフさんの
漢字変換ミスかも(笑)
この問題集。よく見ると、先生が使うような丁寧言葉が入ってる。
ひょっとすると当初は、朝美が書き込んで個人指導する設定だった
のかも。直貴に、予備校や塾に行く余裕はないはず。ちなみに監督
(演出)は、深川栄洋。
画面下を流れるスタッフロールに、数学監修の名前は無かったと
思うけど、私が読み取れた範囲だと、問題も書き込みもノートもほぼ
全て正しい。本物の数学なのだ。
☆ ☆ ☆
直貴がノート3ページ以上を使って解いてたのは、上の403番の
問題(細かっ・・♪)。
分数関数8/(x²+4)の区間-√2≦x≦√2における定積分
を、誘導にしたがって解く。偶関数だから、0≦x≦√2で求めて
2倍すればいい。分子の8は、計算を簡単にするための配慮。
まず部分的な2つの分数に展開するため、次の式が与えられる。
いわゆる部分分数分解のテクニック。
8/(x²+4)
=(Ax+B)/(x²+2x+2)
+(Cx+D)/(x²-2x+2)
右辺を通分して分子の式の係数を見比べると、
A=1,B=2,C=-1,D=2
直貴のノートもそうなってる。ただし彼は、係数比較じゃなくて、
xに4つの簡単な整数を代入して解いてた。記述式テストなら減点
されるかも♪ それだと単なる必要条件を求めたことになるからだ。
結局、 8/(x²+4)
=(x+2)/(x²+2x+2)
+(-x+2)/(x²-2x+2)
ここでまず、(おそらく)
J=∫(x+2)/(x²+2x+2) dx
=∫(x+2)/{(x+1)²+1} dx
(0≦x≦√2)とおき、x+1=tanθと置換
(ただし、-π/2<θ<π/2)。
dx=1/(cos²θ) dθ。
J=∫(tanθ+1) dθ
(π/4≦θ≦3π/8)
=[-log(cosθ)+θ]
=log{√2/(√(2-√2))}+π/8
ちなみに、置換した時のθ=3π/8を求めさせる誘導が(2)。
tanの倍角公式で先に2θ=3π/4を求める。
一方、 K=∫(-x+2)/(x²-2x+2) dx
=∫(-x+2)/{(x-1)²+1} dx
(0≦x≦√2)とおき、x-1=tanθと置換。
以下、Jの時と同様の計算で、
K=log√(2+√2)/√2+3π/8
∴ (問題の定積分)=2(J+K)
=π+log(3+2√2) ・・・(3)の答
もちろん、無料AIのWolfram(ウルフラム)で検算済♪
☆ ☆ ☆
ちょっと入力に時間がかかり過ぎてるので、後はもう省略しよう。
問題集の右ページ中段、407番は、
a(?)=∫√(x²+1) dx
J=∫1/√(x²+1) dx
を求める(共に、 0≦x≦1)。
誘導に従って、
x=(1/2){eのt乗-eの(-t)乗}とおき、
積分区間は0≦t≦log(1+√2)。
a=(1/2)log(1+√2)+√2/2
J=log(1+√2) ・・・答
☆ ☆ ☆
408番は部分積分を利用した積分漸化式の証明と応用。
I n=∫1/(cos x)ⁿ dx
(0≦x≦π/4)に対して、
n・I n=(n+1)I n₊₂ -(√2)ⁿ
I n₊₂ の式で、
1/(cos x)ⁿ⁺²
={1/(cos x)ⁿ} (tan x)´
と変形して部分積分すれば証明できる。
(3)で証明して、(4)でそれを応用。(1)と(2)はウォーミング・
アップの計算問題になってた。
☆ ☆ ☆
直貴と朝美が2人仲良く黒板で書いてたのは、数学Ⅰの基本問題
で、物理の力学の基本でもある。鉛直投げ上げ or 鉛直投射。
ここでは数学の問題だから、物理の公式を与えてくれてるようだ。
重力加速度gは簡単な近似値-10(m/s²)にしてある。上向き
が正だから符号はマイナスで、2次の係数 g/2=-5。
弓で矢を上空に飛ばす。鉛直方向(真上)に、秒速30mの初速。
x秒後の高さをy(m)とすると、
y=-5x²+30x (0≦x≦6)
地上から40m以上の高さにあるのは
打ち上げてから何秒後から何秒後までか?
-5x²+30x≧40
∴ x²-6x+8≦0
∴ (x-2)(x-4)≦0
∴ 2≦x≦4
よって2秒後から4秒後まで。 ・・・答
☆ ☆ ☆
最後に、直貴がノートで解いてた確率・場合の数の問題。
問題が見えないし、ノートも一部しか見えないけど、左上で開いてる
問題集(たぶん微分の単元)はノートと合ってないと思う♪
録画を何度も巻き戻してチェックすると、どうも箱か袋の中に
赤玉4コ、青玉3コ、白玉2コ、合計9コ入ってるらしい。そこから
同時に4コ取り出す時の場合の数と確率を求めてる感じだ。
(1)はおそらく、
(白玉が入ってない確率)
=(白無しの選び方)/(すべての選び方)
=₇ C ₄ / ₉ C ₄
=(7・6・5・4/4・3・2・1)
÷(9・8・7・6/4・3・2・1)
=5/18 ・・・答
(2)はおそらく、余事象の確率の問題。
(青玉が入ってる確率)
=1-(青玉が入ってない確率)
=1-₆ C ₄ / ₉ C ₄
=1-5/42
=37/42 ・・・答
(3)はおそらく、
(赤・青・白すべての色が入ってる確率)
=(赤2コの確率)+(青2コの確率)+(白2コの確率)
={(₄C₂×₃C₁×₂C₁)+(₄C₁×₃C₂×₂C₁)
+(₄C₁×₃C₁×₂C₂)}/₉ C ₄
=(36+24+12)/126
=72/126
=4/7 ・・・答
上で直貴は、英語の頭文字を使って、赤(red)をrコ、青
(blue)をbコ、白(white)をwコとして、
(r,b,w)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
と3つの場合を書き出してる。すごくマジメな解き方♪
フーッ・・やっと終わった。。 入力、検算、キャプチャー画像処理
で大変なのだ。自分へのご褒美はブルボンの名作チョコクッキー、
アルフォート♪ それでは今日はこの辺で。。☆彡
(計 3057字)
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コメント
自分へのご褒美はブルボンの名作チョコクッキー
→もっともっとご褒美をアップした方が・・・
大活躍ですよ!!
投稿: gauss | 2018年12月22日 (土) 00時54分
> gauss さん
こんばんは。毎度どうもです。
自分では満足だし、数学的な中身もある記事だけど、
Googleには今のところ無視されてます♪
テレビドラマで、本・ノート・黒板の数式が
ほぼ読み取れて、おまけに正しいのは珍しいこと。
『ハードナッツ』を思い出しました
投稿: テンメイ | 2018年12月23日 (日) 02時36分