部分分数分解と置換積分、部分積分、鉛直投げ上げ、確率～亀梨ドラマ『手紙』の数学問題と解答

亀梨和也主演、東野圭吾原作のドラマ『手紙』（テレビ東京系）。

普通にレビューしようと思ってたのに、数学にハマってしまった (^^ゞ

・・っていうか、ちょっとした個人的事情もあって、数学Ⅲの計算

練習をしときたかったのだ。

まあ、同じ東野原作の大ヒットドラマ『ガリレオ』みたいに、亀梨＝

武島直貴が数式を書くシーンもあったし、『ガリレオ』のボケ役・

渡辺いっけいも出てたし、こんなマニアックなドラマ系数学記事も

悪くないと思う。アクセス成績は悪そうだけど（笑）

黒板１問と問題集１問くらいしか読み取れないだろうと思ってたら、

問題集は３問読み取れてしまったし、他にノートの問題まで読めて

しまった (^^ゞ　こうなると、マニアは解き切るまで落ち着かない♪

ほぼ全部解いてしまったので、簡単に記事にまとめとこう。

ちなみに脚本家は美青年ドラマ『アルジャーノンに花束を』も担当

してた池田奈津子。あの時は、山Ｐが大学レベルの数式を書き

なぐってたけど、今回は受験レベルの高校数学で、標準～やや難

といった程度。

東京大学・・じゃなくて京都大学・・でもなくて「帝都大学」の数学科

なら、もっと難解で思考力を要求する問題を出すはず。上は教学社

・・じゃなくて教鞭社？（ｏｒ教談社とか）の赤本。７年分でこの厚さ

だと、新品なら３０００円以上する本だけど、やがて捨てられる

のであった。ヤフオクかメルカリなら１０００円くらいで売れたのに♪

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では、最初のシーン。定時制高校の数学教師・朝美（広瀬アリス）

に、マンガ読んでたでしょ・・とか注意された直貴が取り出したのは、

『徹底攻略　数学Ⅲ　ハイレベル問題集』。数研出版・・じゃなくて

数式出版・・でもなくて、「数識」出版♪　作った美術スタッフさんの

漢字変換ミスかも（笑）

この問題集。よく見ると、先生が使うような丁寧言葉が入ってる。

ひょっとすると当初は、朝美が書き込んで個人指導する設定だった

のかも。直貴に、予備校や塾に行く余裕はないはず。ちなみに監督

（演出）は、深川栄洋。

画面下を流れるスタッフロールに、数学監修の名前は無かったと

思うけど、私が読み取れた範囲だと、問題も書き込みもノートもほぼ

全て正しい。本物の数学なのだ。

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直貴がノート３ページ以上を使って解いてたのは、上の４０３番の

問題（細かっ・・♪）。

分数関数８／（ｘ²＋４）の区間－√２≦ｘ≦√２における定積分

を、誘導にしたがって解く。偶関数だから、０≦ｘ≦√２で求めて

２倍すればいい。分子の８は、計算を簡単にするための配慮。

まず部分的な２つの分数に展開するため、次の式が与えられる。

いわゆる部分分数分解のテクニック。

　８／（ｘ²＋４）

　　＝（Ａｘ＋Ｂ）／（ｘ²＋２ｘ＋２）

　　　＋（Ｃｘ＋Ｄ）／（ｘ²－２ｘ＋２）

右辺を通分して分子の式の係数を見比べると、

　Ａ＝１，Ｂ＝２，Ｃ＝－１，Ｄ＝２

直貴のノートもそうなってる。ただし彼は、係数比較じゃなくて、

ｘに４つの簡単な整数を代入して解いてた。記述式テストなら減点

されるかも♪　それだと単なる必要条件を求めたことになるからだ。

結局、　８／（ｘ²＋４）

　　＝（ｘ＋２）／（ｘ²＋２ｘ＋２）

　　　＋（－ｘ＋２）／（ｘ²－２ｘ＋２）

ここでまず、（おそらく）

　Ｊ＝∫（ｘ＋２）／（ｘ²＋２ｘ＋２） ｄｘ

　　＝∫（ｘ＋２）／｛（ｘ＋１）²＋１｝ ｄｘ

（０≦ｘ≦√２）とおき、ｘ＋１＝ｔａｎθと置換

（ただし、－π／２＜θ＜π／２）。

ｄｘ＝１／（ｃｏｓ²θ） ｄθ。

　Ｊ＝∫（ｔａｎθ＋１） ｄθ

　　　（π／４≦θ≦３π／８）

　　＝［－ｌｏｇ（ｃｏｓθ）＋θ］

　　＝ｌｏｇ{√２／（√（２－√２））}＋π／８

ちなみに、置換した時のθ＝３π／８を求めさせる誘導が（２）。

ｔａｎの倍角公式で先に２θ＝３π／４を求める。

一方、　Ｋ＝∫（－ｘ＋２）／（ｘ²－２ｘ＋２） ｄｘ

　　＝∫（－ｘ＋２）／｛（ｘ－１）²＋１｝ ｄｘ

（０≦ｘ≦√２）とおき、ｘ－１＝ｔａｎθと置換。

以下、Ｊの時と同様の計算で、

　Ｋ＝ｌｏｇ√（２＋√２）／√２＋３π／８

∴　（問題の定積分）＝２（Ｊ＋Ｋ）

　　　＝π＋ｌｏｇ（３＋２√２）　・・・（３）の答

もちろん、無料ＡＩのＷｏｌｆｒａｍ（ウルフラム）で検算済♪

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ちょっと入力に時間がかかり過ぎてるので、後はもう省略しよう。

問題集の右ページ中段、４０７番は、

ａ（？）＝∫√（ｘ²＋１） ｄｘ

Ｊ＝∫１／√（ｘ²＋１） ｄｘ

を求める（共に、 ０≦ｘ≦１）。

誘導に従って、

ｘ＝（１／２）{eのt乗－ｅの（－ｔ）乗}とおき、

積分区間は０≦ｔ≦ｌｏｇ（１＋√２）。

ａ＝（１／２）ｌｏｇ（１＋√２）＋√２／２

Ｊ＝ｌｏｇ（１＋√２）　・・・答

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４０８番は部分積分を利用した積分漸化式の証明と応用。

　Ｉ n＝∫１／（ｃｏｓ ｘ）ⁿ ｄｘ

　　（０≦ｘ≦π／４）に対して、

ｎ・Ｉ n＝（ｎ＋１）Ｉ n₊₂ －（√２）ⁿ

Ｉ n₊₂ の式で、

　１／（ｃｏｓ ｘ）ⁿ⁺²

　＝{１／（ｃｏｓ ｘ）ⁿ} (ｔａｎ ｘ）´

と変形して部分積分すれば証明できる。

（３）で証明して、（４）でそれを応用。（１）と（２）はウォーミング・

アップの計算問題になってた。

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直貴と朝美が２人仲良く黒板で書いてたのは、数学Ⅰの基本問題

で、物理の力学の基本でもある。鉛直投げ上げ ｏｒ 鉛直投射。

ここでは数学の問題だから、物理の公式を与えてくれてるようだ。

重力加速度ｇは簡単な近似値－１０（ｍ／ｓ²）にしてある。上向き

が正だから符号はマイナスで、２次の係数 ｇ／２＝－５。

弓で矢を上空に飛ばす。鉛直方向（真上）に、秒速３０ｍの初速。

ｘ秒後の高さをｙ（ｍ）とすると、

　ｙ＝－５ｘ²＋３０ｘ　（０≦ｘ≦６）

地上から４０ｍ以上の高さにあるのは

打ち上げてから何秒後から何秒後までか？

－５ｘ²＋３０ｘ≧４０

∴　ｘ²－６ｘ＋８≦０

∴　（ｘ－２）（ｘ－４）≦０

∴　２≦ｘ≦４

よって２秒後から４秒後まで。　・・・答

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最後に、直貴がノートで解いてた確率・場合の数の問題。

問題が見えないし、ノートも一部しか見えないけど、左上で開いてる

問題集（たぶん微分の単元）はノートと合ってないと思う♪

録画を何度も巻き戻してチェックすると、どうも箱か袋の中に

赤玉４コ、青玉３コ、白玉２コ、合計９コ入ってるらしい。そこから

同時に４コ取り出す時の場合の数と確率を求めてる感じだ。

（１）はおそらく、

（白玉が入ってない確率）

　＝（白無しの選び方）／（すべての選び方）

　＝₇ Ｃ ₄ ／ ₉ Ｃ ₄

　＝（７・６・５・４／４・３・２・１）

　　　÷（９・８・７・６／４・３・２・１）

　＝５／１８　・・・答

（２）はおそらく、余事象の確率の問題。

　（青玉が入ってる確率）

　＝１－（青玉が入ってない確率）

　＝１－₆ Ｃ ₄ ／ ₉ Ｃ ₄

　＝１－５／４２

　＝３７／４２　・・・答

（３）はおそらく、

　（赤・青・白すべての色が入ってる確率）

　　＝（赤２コの確率）＋（青２コの確率）＋（白２コの確率）

　　＝{（₄Ｃ₂×₃Ｃ₁×₂Ｃ₁）＋（₄Ｃ₁×₃Ｃ₂×₂Ｃ₁）

　　＋（₄Ｃ₁×₃Ｃ₁×₂Ｃ₂）}／₉ Ｃ ₄

　＝（３６＋２４＋１２）／１２６

　＝７２／１２６

　＝４／７　・・・答

上で直貴は、英語の頭文字を使って、赤（ｒｅｄ）をｒコ、青

（ｂｌｕｅ）をｂコ、白（ｗｈｉｔｅ）をｗコとして、

（ｒ，ｂ，ｗ）＝（２，１，１），（１，２，１），（１，１，２）

と３つの場合を書き出してる。すごくマジメな解き方♪

フーッ・・やっと終わった。。　入力、検算、キャプチャー画像処理

で大変なのだ。自分へのご褒美はブルボンの名作チョコクッキー、

アルフォート♪　それでは今日はこの辺で。。☆彡

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