２変数関数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）の最大値と最小値～高校数学の解き方＆Ｗｏｌｆｒａｍ入力と３Ｄプロット

正直に言うと、本当は無料の数学ソフト２つの比較記事を書く予定

だった。Ｗｏｌｆｒａｍ Ａｌｐｈａ（ウルフラム・アルファ）と、

Ｍａｘｉｍａ（マキシマ、マクシマ）。

ところが、４年半ぶりに使ったマキシマに悪戦苦闘。そもそも「２ｘ」

を「２＊ｘ」と入力しないとエラーになる事さえ、分からなかった。

・・と言うより、思い出せなかった。なまじ、ウルフラムの普通の入力

方法に馴染んでたのが災いしてしまったのだ。

下図は、マキシマで１次方程式２ｘ－６＝０を説いた様子。私が

入力したのは結局、式「2*x-6=0」だけなのに、３０分以上の

時間を使用（ｏｒ 浪費）。アステリスクで入力した掛け算記号が

単なる点「・」として表示されるのも、滅多に使わないカギカッコ

の形（［　］）が挿入されるのも、どうも馴染めない。

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言い訳やボヤキはともかく、もう記事の締切時間が迫ってるので、

考えてるヒマはない。普通の手計算とウルフラムだけで軽く１問

解くだけにしよう。過去の経験上、それなりの需要はあると思う。

なお、以前書いたウルフラムの紹介・入門記事は以下の通り。

アクセスはわりと多いけど、半分くらいは、単なる公式サイトへの

入り口として通過する読者のようだ♪　他に、今年（２０１８年）

の数学甲子園記事２本でも利用した（本選２、本選４）

　Ｗｏｌｆｒａｍ Ａｌｐｈａ（ウルフラム・アルファ）

　　　日本語版、高校数学の質問にすぐ応答

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では、高校数学のやや難しい問題を考えてみよう。

　ｚ＝３ｘ²－２ｘｙ－８ｘ＋２ｙ　（０≦ｘ≦ｙ≦３）

　　の最大値、最小値を求めよ。

ｚは単なる値域の変数だから、変数である右辺のｘとｙの扱いが

ポイント。ｘについて２次、ｙについて１次の式だから、セオリー的

には、次数の低いｙについて整理することになる。

　ｚ＝２（１－ｘ）ｙ＋３ｘ²－８ｘ　・・・☆

式☆は、ｘを固定して考えると、ｙの一次関数。グラフは直線

だから、傾きの符号で場合分けして、最大値や最小値を考える。

ｙの定義域は、ｘ≦ｙ≦３。

（１）　１－ｘ＞０ ［つまりｘ＜１］の場合、直線は右上がり。

　　最大値はｙ＝３の時で、

　　ｚ＝３ｘ²－１４ｘ＋６

　　　＝３（ｘ－７／３）²－３１／３

　　さらに、０≦ｘ＜１の範囲でｘを動かすと、

　　　（ｚの最大値）＝（ｘ＝０の時のｚ）＝６

　　最小値はｙ＝ｘの時で、

　　ｚ＝ｘ²－６ｘ＝（ｘ－３）²－９

　　さらに０≦ｘ＜１の範囲でｘを動かすと、ｚはｘ＝１の時の

　　値－５に向かって限りなく減少するが、最小値は存在しない。

（２）　１－ｘ＝０ ［つまりｘ＝１］の場合

　　　（ｚの最大値）＝（ｚの最小値）＝－５　

　　　　　　（ｙは１≦ｙ≦３をみたす任意の実数）

（３）　１－ｘ＜０ ［つまりｘ＞１］の場合、直線は右下がり。

　　最大値はｙ＝ｘの時で、

　　　ｚ＝ｘ²－６ｘ＝（ｘ－３）²－９

　　　さらに１＜ｘ≦３の範囲でｘを動かすと、ｚはｘ＝１の時の

　　　値－５に向かって限りなく増大するが、最大値は存在しない。

　　最小値はｙ＝３の時で、

　　　ｚ＝３ｘ²－１４ｘ＋６

　　　＝３（ｘ－７／３）²－３１／３

　　　さらに１＜ｘ≦３の範囲でｘを動かすと、

　　　（ｚの最小値）＝（ｘ＝７／３の時のｚ）

　　　　　　　　　＝－３１／３

以上、（１）～（３）の場合分けをまとめると、最終的な答は

（最大値）＝６　（（ｘ，ｙ）＝（０，３）） 

（最小値）＝－３１／３　（（ｘ，ｙ）＝（７／３，３））

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難問というほどではないし目新しくもないが、記述式の問題だと

全体の出来は悪いと思われる。計算は簡単だが、正確な論理と

表現が必要。配点２０点、時間２０分なら平均５点くらいか。

一方、ウルフラムのＡＩだと、最後の答だけなら１秒で出力。

入力もほぼ普通でＯＫ。「xy」の中央にスペースを入れる

のが基本らしいが、無くても正しく解釈してくれる。

　

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さらに凄いのが、ｘｙｚ空間での曲面表示、３Ｄプロット。

最大値と最小値を与える赤い点２コは、自動的に表示される。

青い線は私が書き込んだもので、ｘ＜１の範囲だとｙが増えるに

つれて少し上昇、ｘ＞１の範囲だと少し下降するのが感じ取れる。

ちなみにこの図を拡大しようとすると有料版のＰｒｏに誘導される。

あるいは本格版の定番高額ソフト、Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ。

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ちょっと分かりにくいけど、登山用地図みたいな等高線プロット

も表示される。３Ｄプロットと同じく、色が薄いほど高い場所（ｚ

が大きい）、濃いほど低い場所（ｚが小さい）。逆の色使いの方が

自然だと思うのは、日本的な感覚だろうか。

上図からｘ＝１の箇所を推測すると、等高線は垂直。つまり、

ｙの値に関わらず、ｚはほぼ一定だろうと予想される。

こういったコンピューター＆プログラムの活用は、まだ学校教育や

受験学習では遅れてるようで、今後は授業改革が進むだろう。

私もブログ改革が必要だ♪　それでは今日はこの辺で。。☆彡

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