開立法、³√（３乗根、立方根）の筆算～海軍兵学校の算術３

１００年以上前の海軍兵学校の数学試験（算術）、第３弾。

最後は３乗根、立方根の筆算である開立法となる。珠算（そろばん）

の世界などでは、開立算とも呼ばれる。

一つ一つの計算は単純な算数だし、長くもないが、特殊な組合せ

による計算法なので、これだけを読んでもピンと来ないと思う。

平方根の筆算を知らない方は、まずウォーミングアップとして、

前の記事を読むことをお勧めする。

　√（ルート）の筆算、開平法～海軍兵学校の数学試験（算術）２

根本的には、答を１ケタずつ探していくわけで、別にやり方など

知らなくても、少し頑張って試行錯誤すれば解ける。それを工夫

して、スムーズな流れにするのが以下の方法。

ただし、その方法自体がちょっと覚えにくいし、使いにくい。私は

この記事のために１週間ぶりに解いたが、ちょっと忘れてた♪

　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

今回は、一般的な説明や試験問題の前に、簡単な実例で解説

しておく。私が作ったもので、一番簡単な部類だろう。

（問）　２３８３２８の立方根を求めよ。　　　　

まず、１の位から左側に３ケタずつ区切る。そして、先頭（左端）

の３ケタ（以下）に対して、３乗すると同じか少し小さくなる数

を右側に書く。この場合だと、３乗して２３８より少し小さくなる

のは６。そして、６³＝２１６を引いて、次の３ケタを下ろす。

左側に、１８（＝３×６）と、１０８００（３×１００×６²）

を書く。これは、答の次のケタを求めるための準備。

答の次のケタの数（１ケタ目）は、上のような計算で右下が

２２３２８以下になる数のうち、最大のものとする。

具体的には、右側に残ってる２２３２８に対して、中央の下側は

ほぼ１１０００くらいだから、２倍するのだろうと考える。

この時、１８２×２＝３６４

　１０８００＋３６４＝１１１６４

　１１１６４×２＝２２３２８

ちょうど右側の数と差し引きゼロになって、答は６２となる。

　　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

海軍の問題に移る前に、理屈とか理由を少し考えてみよう。

上で、２を求める計算は何なのか。

６の次の数をａとすると、

　（６０＋ａ）³≦２３８３２８

∴　６０³＋３×６０²×ａ

　　＋３×６０×ａ²＋ａ³≦２３８３２８

∴　（３×６０²＋３×６０×ａ）ａ

　　　≦２２３２８

最後の式の左辺で、カッコの中を計算してるのが

筆算の左側。そして筆算の中央下側でさらにａ倍（＝２倍）

して、２２３２８以下にする。この場合はちょうど２２３２８

になって終了。

もちろん、ちょうど一致しなければ、次のケタに進んで同様の

計算を繰り返すことになる。

なお、最初に３ケタずつ区切るのは、答の数が１ケタ

（＝１０倍）上がるたびに、３乗すると３ケタ（＝１０³倍）

上がるため。

　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

それではいよいよ海軍兵学校の試験問題のラスト。第７問。

これまでと同様に、当時の解答に合わせて説明する。出典は

上のリンク（国立国会図書館デジタルコレクション）参照。

７．　０．０２８９３４４４３　ノ立方根ヲ求ム

　　　（注．　小数点の直前のゼロは省略してた）

小数を避けたければ、まず１０００³＝１０億倍して

２８９３４４４３にして解いた後、答を１／１０００する。

ただ、ここではそのまま小数で解く。

まず答の小数第１位は３で、２８から３³（＝２７）を引く。

右側は次の３ケタを下ろして、１９３４にする。左側は、

９（＝３×３）と２７００（＝３×１００×３²）を書く。

　

２７００より少し大きい数とかけ合わせて１９３４以下になる

数は、０～９の中だと０のみ。そこで、答の次のケタ（小数

第２位）に０と書き、左端の９の次に０と書く（後で補足）。

答の３ケタ目（小数第３位）を７とすると、上図のように

キレイに差し引きゼロになる。

　９０７×７＝６３４９

　２７００００＋６３４９＝２７６３４９

　２７６３４９×７＝１９３４４４３

　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

なお、小数第２位を求めた時の答の書き方は、上では省略

してある（当時の解説書がそうなってるから）。

省略せずに書くと、下のようになる。右上の答の所に

「０．」を書き忘れてるので、悪しからず。

最後に、答が０を含まない３ケタの場合も示しとこう。

９６６３５９７の立方根２１３の求め方。

左下には、３×２１と３×２１²を書く。

ちなみに検算は、例えばカシオのサイトが便利だ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　（計　１７３５字）