√（ルート）の筆算、開平法～海軍兵学校の数学試験（算術）２

今日は、昨日の記事の続きで、明治３６年の海軍兵学校の数学

試験を解説する。最近の学校教育ではあまり見かけない特殊な

計算だし、まず前置きから入ることにしよう。不要な方はスクロール

すれば、すぐに問題と解答を読める。

自然数の√（ルート）や平方根は、誰でもそれなりには計算した

ことがあるだろう。最初に習うのが、１ケタや２ケタの数の√。

４の平方根は±２、√４＝２とか、√４９＝７とか。

これらは九九（くく）を覚えてれば一瞬で解けるけど、元の数が

３ケタ以上になると、多少考えることになる。

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例えば、２６３が素数かどうかを考える時、２で割れるか、３で

割れるか・・と考えて行って、√２６３以下の最大の自然数

（＝１６）まで試せばいい（正確には素数１３まで）。

私が√２６３の近似値を計算するなら、まず１５²＝２２５

を思いつく。続いて、１６²＝２５６、１７²＝２８９。

　∴　１６²＜２６３＜１７²

　∴　１６＜√２６３＜１７　　

こんな感じで数秒ほど暗算。「１６．・・」だなと考える。

要するに、２乗して、√の中身を超えないような最大の数を

探すのであって、普通は簡単な計算で済む。しかし、√の

中身が大きい数だったり、小数点以下が長い数だったりすると、

ちょっと面倒で、何か工夫をしたくなる。

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普通は「開平法」と呼ばれ、珠算（そろばん）だと「開平算」とも

呼ばれる方法も、√の計算をちょっと工夫して筆算しやすく

したもの。だから、工夫そのものが難し過ぎるとあまり意味は

ない。それなら普通に手探りで２乗して探してもいいことになる。

その意味で、以下に示す明治期の開平法（の一種）は、手頃な

工夫だと思う。ほどよく丁寧で、ほどよく省略されてるのだ。

もっと丁寧な筆算はあちこちで説明されてるし、極端に省略

した筆算は英語版ウィキペディアにあった。

最大のポイントだけ、先に数式で示しとこう。√２６３なら、

十の位が１というのはすぐ分かる。一の位をａとすると、

　（１０＋ａ）² ≦ ２６３

∴　１０²＋（２×１０＋ａ）ａ≦２６３

∴　（２×１０＋ａ）ａ ≦ ２６３－１００

最後の式は見慣れないものだけど、最初の式より両辺の値

が小さいし、右辺の２６３－１００という計算は普通の割り算

と似た操作。

そこで筆算の左側に（２×１０＋ａ）ａを書き、ギリギリ

右側の２６３－１００以下になるようにａを決めるのが基本。

ただし、明治の解答では、筆算の左側に　２×１０＋ａ　

だけ書いてるのだ。慣れれば効率がいいと思う。

より一般的に言うなら、

　（２×「既に求めてる答の部分」＋ａ）ａ

　　≦ 「残ってる数」

という式を利用して、答の次のケタであるａを決めていく。

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では、１００年以上前の「算術」（算数）の入試問題。当時の

略解が国立国会図書館デジタルコレクションで公開されてる

ので、あえてそれを利用してみる。

問題６

　三百坪の正方形の地面あり　其（その）一辺の長さ幾間

　（いくけん）幾尺なるか、但し尺の小数第二位以下

　四捨五入せよ

　　（注．　今の言い方なら、小数第三位を四捨五入して

　　　　小数第二位まで求める。）

解説込みの解答

　（三百坪）＝３００×（６尺×６尺）

　　　　　＝１０８００　（平方尺）

　よって、√１０８００を求めればよい。

　（注．　当時の解答に合わせるため６０√３には変形しない）

１０８００．００００と書いて、小数点の左右を２ケタずつ

縦線で区切る。その右側に、カギカッコで区切って答を書く。

２乗して、左端の１以下になる０以上の整数は、１しかない。

そこで、まず右上に１と書き（答の百の位）、その２乗

（＝１）を元の数から引くと、８になる。

答の最初のケタの１を２倍すると、２。

「２ａ」（つまり２０＋ａ）と掛け合わせて８以下になるような

ａは、０しかない（０以上の整数では）。

そこで、右上に０（答の十の位）を書くと共に、左下は２０と

書く。そして、８の右側に上から００を降ろして、８００にする。

さらに、「２０ｂ」（つまり２００＋ｂ）と掛け合わせて

８００以下となるような最大のｂは、３。

そこで、右上に３（答の一の位）を書き、

２０３×３（つまり６０９）を８００から引いて１９１。

左端は、２０３に３を加えて２０６。要するにこれは、

既に求めてる答の部分「１０３」を２倍した数。

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さらに同様の操作で、答の小数第一位である９を求め、

２０６９×９（つまり１８６２１）を１９１００から引く。

全く同様に、答の小数第２位が２と分かる。第３位は３

になるから、四捨五入によって切り捨てられる。

６尺が１間（けん）だから、答は、

　１０３．９２尺＝１７間１尺９２

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もちろん今なら、

　６０√３＝６０×１．７３２０５・・

と計算する問題だ。明治時代に、上の変形や√３の近似値を

使ってよかったかどうかは不明。

上図の下から３行目、「４７５００」は些細なミスというより

誤植か。正しくはもちろん「４７９００」で、その後の引き算

と結果は正しい。

なぜかこの解答（金刺芳流堂等）だと、小数点は今と同じ「．」

（点）になってるけど、前回の記事の問題文では「，」（コンマ）

だった。両方が混在してたということか？　とりあえず保留。

ちなみに解答の最後は、「９２強」と書いてた。切り捨てた時に

そう書き添えるのが当時の慣例だったのかどうか、これも保留

しとこう。なお、１０√１０８

記事をまとめるのにずいぶん手間ヒマかかったので、最後の

問題の開立法（立方根の計算）はしばらく後回し。オマケの

具体例として、√５と√２６３の計算を付けとこう。　　　

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　（計　２２５０字）