連続する３つの自然数の積と倍数、不定方程式の応用～２０１９センター試験・数学ⅠＡ・第４問（選択）

河合塾の分析によると、今年の数Ⅰ・

数Ａの総合的な難易度は「昨年並み」。

ただし、「必答問題は計算量が少なく

易しいものが多かったが、選択問題は

誘導に気づきにくく難しいものがあった」。

以下で解説する選択問題・第４問の

（４）のラストは、確かに誘導に気づき

にくいというか、誘導を使いにくい。

これが時間の長い入試なら普通かも

知れないけど、センター試験は４問で

６０分だから、１問平均１５分。正確

には選択問題は配点２０点だから、

単純計算だと１２分。それでこの誘導

は不親切だろう。

せめて（３）を最初にして、その後で

（１）（２）を続けてれば、自然に（４）

を考えることができた。

ところが実際は（３）で不定方程式の

話の流れが一旦途切れるので、誘導

の流れを見失う。（３）の前半と後半

のつながりも分かりにくい。

特に、１００点満点を取ろうと狙ってた

受験生は焦っただろう。ただし、難しい

のは一番最後だけなので、平均点には

それほど影響しないと思う。河合塾の

数Ⅰ・Ａの予想平均点は６０点で、去年

より２点弱下がっただけになってた。

なお、この記事はスマホで読む人の

割合が多いだろうから、１行の字数を

少なくする。ＰＣやタブレットの方、

悪しからず。ちなみに私の入力はＰＣ。

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問題はまだ大学入試センターで公開

されてないので、河合塾からコピペ

させて頂く。解答・解説は何も参考に

してない。厳密に書くと長いし、元々

マークシートだから、少し省略した。

解答（１）

　４９ｘ－２３ｙ＝１

　４９×８－２３×１７＝１

（注．　８と１７はアイウの単なる候補）　　

辺々引いて、　

　４９（ｘ－８）－２３（ｙ－１７）＝０

　∴　４９（ｘ－８）＝２３（ｙ－１７）

４９と２３は互いに素だから、

ｘ－８＝２３ｋと書ける。

　∴　ｘ＝２３ｋ＋８

よって最小の自然数ｘは８　・・・ア

また、エオは２３。

ｘ＝２３ｋ＋８を元の式に代入して

　４９（２３ｋ＋８）－２３ｙ＝１

　∴　ｙ＝４９ｋ＋１７

ｘ＝８の時、ｋ＝０だから、

　ｙ＝１７　・・・イウ

また、カキは４９

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解答（２）

　Ａ＝４９ｘ、Ｂ＝２３ｙとし、

（１）を参考にして考える。

Ａ－Ｂ＝１の時、

　４９ｘ－２３ｙ＝１

よって（１）より最小のＡは４９×８。

この時のＢは２３×１７。

一方、Ａ－Ｂ＝－１の時

　４９ｘ－２３ｙ＝－１

　４９×８－２３×１７＝１

辺々足して、

　４９（ｘ＋８）－２３（ｙ＋１７）＝０

∴　ｘ＝２３ｋ－８，ｙ＝４９ｋ－１７

最小のＡは４９×１５（ｋ＝１）で、

先ほどの８より大きくなってしまう。

以上より、ＡとＢの差の絶対値が１なら　

（Ａ，Ｂ）

＝（４９×８，２３×１７）　・・クケコ

またＡ－Ｂ＝２の時、上と同様にして

　ｘ＝２３ｋ＋１６

最小の自然数ｘは１６だから、

最小の自然数Ａは、４９×１６

一方、Ａ－Ｂ＝－２の時、

　ｘ＝２３ｋ－１６

最小の自然数ｘは７（ｋ＝１）だから

最小の自然数Ａは４９×７。

これは先ほどの４９×１６より小さい。

この時、Ｂ＝Ａ＋２＝２３×１５　

以上より、差の絶対値が２なら

（Ａ，Ｂ）

＝（４９×７，２３×１５）　・・サシス

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解答（３）

　ａとａ＋２の最大公約数は、

　ａが奇数なら１、偶数なら２。

合わせると、１または２　・・・セ

また、ａ＝１の時を考えると、

　ａ（ａ＋１）（ａ＋２）＝６

これがｍの倍数だから、　ｍ≦６

逆に、ｍ＝６としてみる。

連続する３つの自然数である

ａ、ａ＋１、ａ＋２の中には２の倍数

と３の倍数は必ず含まれるから、

３つの積は６の倍数。

以上より、条件をみたす最大の

ｍは６　・・・ソ

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解答（４）

　６７６２＝２×３×７²×２３　・・タチツテ

まず（３）より、ｂ（ｂ＋１）（ｂ＋２）は

常に２×３（＝６）の倍数。

よって、あと７²（＝４９）の倍数であって、

かつ、２３の倍数であればよい

（正確には、ｂの必要十分条件）。

連続する３つの自然数ｂ、ｂ＋１、

ｂ＋２のどれか１つが、単独で４９の

倍数かつ２３の倍数とすると、それは

４９×２３の倍数だから大きくなって

しまう。

そこで、４９の倍数と２３の倍数が

３つの中の別の数だとしてみる。

例えば、ｂ＝４９ｘ、ｂ＋１＝２３ｙ

なら、４９ｘ－２３ｙ＝－１

また、ｂ＝２３ｙ、ｂ＋２＝４９ｘなら、

４９ｘ－２３ｙ＝２

結局、４９の倍数と２３の倍数の差

の絶対値が１か２だから、（２）の答

２種類を合わせて利用できる。

よって、４９の倍数が最小になる

のは、それが４９×７＝３４３の時

（（２）後半）。この時、２３の倍数は

２３×１５＝３４５。

したがって、３４５がｂ＋２であり、

　ｂ＝３４３　・・・トナニ

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なお、最初や途中の１次不定方程式

（整数解）を解く方法は色々ある。

例えば、４９ｘ－２３ｙ＝１なら、

係数の絶対値が大きいｘの側に

１，２，３，・・・と代入していく

のがコツで、ｘ＝８で成功する。

あるいは、まず

　２３（２ｘ－ｙ）＋３ｘ＝１

と変形して、２ｘ－ｙの所に

１，２・・と代入していくやり方も

ある。２ｘ－ｙ＝２ですぐに成功。

理論派の人なら、さらに

　３｛７（２ｘ－ｙ）＋ｘ｝

　＋２（２ｘ－ｙ）＝１

と変形したくなるかも知れない。

ただ、変形自体が面倒だし、

７（２ｘ－ｙ）＋ｘの所に整数を

代入して成功しても、そこから

出て来るｙが整数とは限らない

ので、あまり上手くはない。

最初の式から

　ｙ＝（４９ｘ－１）／２３

　　＝２ｘ＋（３ｘ－１）／２３

と変形して行く方法は、さらに

面倒で、受験数学では損だろう。

ともあれ、数Ⅰ・Ａの約４０万人の

受験生の皆さん、お疲れさま♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．妻と再会できた夜、月見草の花畑

　～上林暁『花の精』（２０１９国語）

二項分布と正規分布、標本による

　　母集団の推測、信頼区間

　～２０１８センター試験・数学ⅡＢ 　　　

　陸上選手の体格指数ＢＭＩ（散布図

　と補助線の傾き、箱ひげ図）

　～２０１８センター試験・数学ⅠＡ

　　　　　　　（計　２３５６字）