５人のカードゲームと背理法による証明～開成中学２０１９入試・算数・問題４

今年も朝日新聞・朝刊（２月５日）で、

開成中学の入試問題と解答例が公表

されたので、面白い問題を解説します。

解き方、考え方、図の変化などです。

小学生（５年、６年）でも読めるよう

書いてるつもりですが、解き方は塾

や小学校と少し違ってるかも知れ

ません。また、スマホ用に１行の

字数を少なくしてます。

過去２年の記事は下の通りです。　　

　三角形の相似から四角形の

　　面積比へ～２０１８問題１

　三角形の相似と比の応用

　　　～２０１７問題３

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さて、目新しい難問の４番は複雑な

設定なので、朝日新聞のＳＡＰＩＸ

（サピックス）の広告からコピペ

させて頂きます（半分ほどです）。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人が

１０枚のカードでゲームします。

ハート♡の１、３、５、７、９と、

スペード♠の２、４、６、８、１０。

１０はＴと書きます（たぶん、

英語のＴｅｎの頭文字）。

最初はみんな、ハート１枚、

スペード１枚。その後全員、数の

大きい方の手持ちカードを右どなり

の人にわたします（手順［１］）。

それで、ハート２枚かスペード２枚

になってしまった人は負けで退場

（手順［２］）。残った人だけで次の

回に向かいます。

問題には具体例が１つあります。

Ａが１２、Ｂが６７、Ｃが４９、Ｄが

３Ｔ、Ｅが５８から始めると、手順

［１］［２］を２回繰返して、Ａが

勝ち残ります。

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長いので、ウォーミングアップ

の問題（１）は省略。問題（２）を

見ましょう。

手順［１］［２］を２回行った直後、

Ｄが３と８で勝ち残ったとします。

このゲームの最初と途中はどう

なってたのでしょう？　

問題では、まずＤの途中（ケ）に

３があることを説明します。

「もし（ケ）に３がなかったと仮定

すると、おかしなことになる。だから

実際は３があったはず」という流れ。

高校で「背理法」（はいりほう）とか

呼ばれる、特別な証明です。背理

とは、おかしな理屈という意味。

「もし、ある事を仮定するとおかしな

事になるから、その仮定は誤り」と

いう形で、論理的思考力が必要です。

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まず、ケに３がないと仮定します。

最後にＤが３と８を持っているの

だから、途中のＣは３を持ってた

はず。それでＣは退場してないから、

Ｃは２３だったはず（ク・・（ｘ））。

その時、Ｄはすでに８を持ってた

はずだし、もう１枚は８より大きい

数（次にＥにわたすから）。しかも

Ｄは退場してないから、Ｄは８９

だったはず（ケ・・（ｙ））。

ということは、最初のＣが８か９を

持ってて、Ｄにわたしたはずです。

最初のＣが９を持ってたとしたら、

２と９。そこから９をわたして、３

を受け取って、２３になったのです。

最初のＣが８を持ってたとしたら、

３と８。そこから８をわたして、２

を受け取って、２３になったのです。

結局、最初のＣは２９か、３８

・・・（ｚ）。以上のｘｙｚが、問題

（２）の（ａ）の解答です。

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ところが一方、１回目には誰も負け

なかったのだから、全員が同じ

マークのカードをわたしたはず。

スペードのＴ（つまり１０）は一番

大きい数で、必ずわたしたはず

だから、１回目は全員スペードを

わたしたことになります。

２をわたした人は１２だったはず。

すると、４をわたした人は３４。

さらに、６をわたした人は５６。

８をわたした人は７８。

Ｔ（＝１０）をわたした人は９Ｔ。

つまり、「スペードがハートより

１大きい」・・・（２）（ｂ）の答。

これは仮定とは関係ない真実、

事実です。そして先ほどの（ウ）、

つまり最初のＣが２９か３８だった

ということと話が合わない。

だから（ケ）に３がなかったと仮定

したのは誤り。実際は、（ケ）に

３があったことになります。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

ということは最初、Ｂが８を

持ってて、それが２回の操作で

Ｄまで来たことになります。

つまり最初の配置はＢ７８、

Ｄ３４。スペードはハートより

１大きいことを考えてます。

ここでＣが１２だと、１回目に２を

Ｄにわたしたあと、２回目にＤが

３をわたすことになってしまいます。

よって、Ｃは１２ではありません。

また、ここでＣが９Ｔだと、１回後に

８９となって、２回目にＤに９を

わたすことになってしまいます。

よってＣは９Ｔでもありません。

だから最初、Ｃは５６です。

もし、ＡとＥが９Ｔと１２だと（下図）、

その後上手くいきません（試して

みてください）。

正しいＡとＥは最初、１２と９Ｔ。

以下、２回の操作でＤだけが勝ち

残ります。

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なお（２）（ｃ）の答は次の通りです。

最初（下から３番目の図）の

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。　（ア）１２

（イ）７８（ウ）５６（エ）３４（オ）９Ｔ 。

１回目の後（下から２番目の図）

のＡＢＣＤＥ。（カ）１Ｔ （キ）２７

（ク）５８ （ケ）３６ （コ）４９ 。

これだけハイレベルの論理

パズルをわずかな時間で小学生

に解かせるというのは凄い中学

だと思います。４問で６０分、１問

平均１５分しかありません。

とにかく受験生の皆さん、どうも

お疲れさま。ではまた。。☆彡

ｃｆ． ３人のゲームトーナメント、

変わった時計～桜蔭中１９入試

　　　　　（計　２０１１字）

　（追記３０字 ； 合計２０４１字）