３人のゲームトーナメント、変わった時計～桜蔭中学２０１９入試・算数問題１，４

２月１日、女子の最難関である桜蔭

（おういん）中学入試が行われました。

６日の朝日新聞・朝刊に算数の問題

が掲載されたので、面白い２問を

解説してみます。

問題文が長くて、設定も複雑なので、

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コピペも付けておきます。解答（＝

答の説明）は私が作ってるので、

塾や学校とは多少違うでしょう。

スマホ向けに１行の文字数を少なく

してるので、ＰＣやタブレットだと少し

読みにくいかも知れません。

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まずウォーミング・アップとして、

問題１（３）を見ましょう。

必ず３人ずつで行って１人の勝者

が決まるゲームを、何回か行う

トーナメント戦を考えます。図１

のように、余った人は自動的に上

のレベル（準決勝とか２回戦）の

ゲームに進めます。

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図２のように８１人で始めると、

優勝者が１人決まるまでに合計

何回のゲームが行われるか？

優勝者が決まるまでに、８０人が

負けたことになります。ゲーム１回

で２人負けるので、合計のゲーム

は４０回です。　・・空欄アの答

また、最初２３５人だと、優勝者が

決まるまでに２３４人が負けるので、

ゲームは合計１１７回です。　・・イ

式はこうなります。

　（２３５－１）÷２＝１１７ （回）

さらに、計２４回ゲームが行われた

のなら、優勝者１人が決まるまでに

４８人負けてるので、トーナメント

の参加者は４９人です。　・・ウ

式はこう書けます。

　１＋２４×２＝４９ （人）

解き方、考え方は、ゲーム１回で

何人減るかがポイント。なるべく

図を書かないのがコツです。

図３は、気にしない方が得。

数十人、数百人のトーナメント

の図を書くと、時間がかかるし、

むしろ考えにくいでしょう。高校の

算数（＝数学）だと、普通の２人

ゲームの問題が時々出てます。

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つづいて本題の、問題４。意外と

難問で間違えやすいと思います。

７から１７までの数字と目盛だけ

書かれた、かわった時計を考えます。

図は８時０分。

長針は７時から１７時までは、

６０分で１周。１７時から翌日

７時までは、１６８分で１周。

長針が１周する間に短針が回転

する角度は一定のままで、短針は

２４時間で１周します。

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（１）　長針が１周する間に短針が

回転する角度は何度か？

長針は、７時から１７時までは

１０周します。

一方、１７時から翌日７時までは

１４時間だから８４０分。

長針は１６８分に１周するから、

この間に５周します。

結局、２４時間で長針は１５周して、

短針は１周（＝３６０度）回転。

よって、長針が１周する間に短針

が回転する角度は

　３６０÷１５＝２４度　・・（１）ア　

次に、１２時４５分だと、長針は

一番上から２７０度回転してます。

一方、短針はまず、一番上の７時

から１２時までに、

　５×２４＝１２０度

回転します。

さらに４５分（＝４分の３時間）で

　２４×３／４＝１８度

回転します。

合わせて、短針は１３８度回転。

だから、長針と短針のつくる角は

２７０－１３８＝１３２度　・・イ

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（２）　１０時から１１時までに

長針と短針のつくる角が６０度に

なる時刻は何時何分か？

１０時０分には、短針は

　２４×３＝７２度

回転してます。

また、短針は１分に０．４度、

長針は１分に６度回転するので、

１分あたり長針の方が５．６度

多く回転します。

最初に６０度になるまで、長針は

１２度（＝７２度－６０度）だけ

追い上げてるので、

　１２÷５．６＝（２と１／７）分

経ってます。だから答の１つは

　１０時（２と１／７）分。

次に６０度になるのは、１０時０分

から長針が１３２度（＝７２＋６０）

多く回転した時だから、

１３２÷５．６＝（２３と４／７）分

経ってます。だからもう１つの答は

　１０時（２３と４／７）分です。

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（３）　１７時から翌日７時までに

長針と短針が重なる時刻は何時

何分か？

長針は１６８分で１周（＝３６０度）

回転するので、１分で

　３６０÷１６８＝１５／７度

回転します。

短針は、長針が１周する１６８分

で２４度回転するから、１分で

　２４÷１６８＝１／７度

回転します。

よって、１分あたり、長針の方が

　１５／７－１／７＝２度

多く回転します。

１７時０分には、一番上から見て、

短針だけ２４０度回転してるので、

最初に重なるまでに

　２４０÷２＝１２０分

　　　　　　＝２時間

かかります。

つまりそれは、１９時０分です。

次に重なるのは、長針が３６０度

多く回転してる時だから、

　３６０÷２＝１８０分

　　　　　　＝３時間

経った後。つまり２２時０分。

さらに翌日の１時０分、４時０分

に重なります。以上より答は、

１９時０分、２２時０分、１時０分、

４時０分。

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なお、１７時から翌日７時まで、

短針は１分で１／７度回転する

から、１時間だと６０／７度。

つまり（８と４／７）度回転します。

だから、時計の図の空欄では、

数字と目盛の間隔が狭まってる

ことになります。

この問題、そもそも時刻とは何か。

誤解した受験生もいるでしょう。

出題した先生は、どこかに本物の

時刻を示す別の時計を考えてるの

です。その時刻は「絶対時間」とか

「標準時刻」とか呼ばれます。

でも普通は、時刻とは身近な時計が

示してるもの。問題図なら８時７分と

読みたくなるはず。ちょっと不親切

な問題にも感じます。

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ちなみに問題１（３）も、参加者数

がたとえば１０人だったら困ること

になります。

２で割れる「偶数」は困るのです。

２で割れない「奇数」（１１人、

８１人、２３５人など）でないと

ゲームが組めません。ところが

その点は、問題文で説明なし。

桜蔭中学校は、その辺りまで柔軟

に問題を理解する思考力を求める

のでしょう。大変ですね。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ． 円と正方形、１０個重ねて作る

　図形の面積～桜蔭２０１８入試

　５人のカードゲームと背理法に

　よる証明～開成中学２０１９入試

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