カプレカ数の求め方と証明～３ケタ４９５、４ケタ６１７４（『はじめアルゴリズム』）

たまたま知った数学マンガ『はじめアルゴリズム』の第１巻・無料公開部分（笑）を読んでると、天才少年はじめが自動車２台のナンバープレートの数を引き算し始めた。

９５４１－１４５９＝８０８２

左辺は、１，４，５，９の４つの数を並べて出来る最大の４ケタ数と、最小の４ケタ数との引き算になってる。

ちなみに私の母は、走ってる車のナンバープレートを見て、前の２ケタと後ろの２ケタをすぐ足す脳トレを時々やってた。それはさておき、天才少年の操作を、引いた結果の数値の８０８２で再び行うと、８８２０－０２８８＝８５３２

もう一度繰り返すと、８５３２－２３５８＝６１７４

この後は、７６４１－１４６７＝６１７４となって、右辺は再び６１７４になる。計算プロセスに、いわゆるループ（循環）が出来て、変化がなくなるのだ。

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「このループする数を『カプレカ数』と言い『６１７４』は４ケタでは唯一の数である」という説明を読んで、私は早速、証明開始。考え方は単純で簡単、高校数学レベルだけど、場合分けが非常に面倒で長くて、全部やる気はしない。

試しに、日本語版ウィキペディアで紹介されてる数学論文を読んでみると、やっぱり具体的な説明は省略されてた。そこで、４ケタはあきらめて、１ケタ、２ケタ、３ケタのカプレカ数を求めてみよう。

１ケタは０のみ、２ケタはなし（００は除く）、３ケタは４９５のみ（０００は除く）であることが証明できる。同じやり方で、４ケタも求めることができるし、６１７４のみであることが証明できるはず（００００は除く）。

ちなみに、日本語版ウィキはカプレカ数の定義を２つ載せてて、２つ目が上で見て来たものになってる。英語版ウィキで「Kaprekar number」を見ると、上で見て来たものとは別の定義のみ扱われてた。フランス語版ウィキの「Nombre de Kaprekar」も同様。

上で見て来たような数は、英語だと、「Kaprekar's constant」（カプレカの定数）と呼ばれてる。フランス語も同様の表現。４ケタの場合、最大で７回、最大数ー最小数の操作を繰り返すと、６１７４になるそうだ。「Kaprekar's routine」（カプレカの操作）という項目で、樹形図の形でまとめられてた。

では、順に解説してみよう。私が参考にしたのは、大阪経済大学・西山豊氏の論文「６１７４の不思議」。試しに、検索してすぐ出るサイトの説明を読むと、西山論文とも私のこの記事とも内容的に違ってた。なお、一応以下では、「カプレカ定数」のことを「カプレカ数」と書く。

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（１）　１ケタのカプレカ数

その数を仮にａ（１～９の自然数）と書くと、ａ－ａ＝ａ。すなわち、ａ＝０。よって、１ケタのカプレカ数は、０のみ。

（２）　２ケタのカプレカ数

その数を仮にａｂ（ａ，ｂは１～９）と書く。また、以下、この記事でアルファベットを複数並べて書く時には、かけ算ではなく、２ケタや３ケタの並びを示すものとする。

ａ≧ｂの場合、ａｂ－ｂａ＝ａｂ　　∴ ｂａ＝０　　∴ ａ＝ｂ＝０

ｂ≧ａの場合、ｂａ－ａｂ＝ａｂ　　∴ ba＝2ab　　∴10b＋a＝2(10a＋b)　　∴ 8b=19a

よって、bは１９の倍数だから、ｂ＝０しかなく、この場合もａ＝ｂ＝０となる。

以上より、２ケタのカプレカ数は、００を除くと存在しない。

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（３）　３ケタのカプレカ数

①　各ケタの数がすべて同じ場合

　　ａａａ－ａａａ＝ａａａ　となるから、ａ＝０。つまり、その数は、０００となる。

②　２つのケタだけ同じ数の場合

　まず、ａａｂのタイプについて（ａ≠ｂ）。ａ＞ｂなら、ａａｂ－ｂａａ＝ａａｂ　∴ ｂａａ＝０　　ａ＞ｂだから、これをみたすａ，ｂの組はない。

一方、ｂ＞ａなら、ｂａａ－ａａｂ＝ａａｂ　∴ ｂａａ＝２ａａｂ　　∴ 98b＝209a　これをみたすａ，ｂの組もない。

よって、ａａｂのタイプはない。同様に、ａｂａのタイプも、ｂａａのタイプもない。したがって、２つのケタだけ同じ数である、３ケタのカプレカ数は存在しない。

③　３ケタとも異なる数の場合（仮にａｂｃと書く）

（ア）　ａ＞ｂ＞ｃの場合　　ａｂｃ－ｃｂａ＝ａｂｃ　　∴ ｃｂａ＝０。左辺は正のはずだから、これはあり得ない。

（イ）　ａ＞ｃ＞ｂの場合　　ａｃｂ－ｂｃａ＝ａｂｃ　　これまでと同様の式整理で、ａ＋１０９ｂ＋ｃ＝０。左辺は正のはずだから、これもあり得ない。

（ウ）　ｂ＞ａ＞ｃの場合　　ｂａｃ－ｃａｂ＝ａｂｃ　　整理して、８９ｂ＝１００（ａ＋ｃ）。左辺は１００の倍数にはならないので、これもあり得ない。

（エ）　ｂ＞ｃ＞ａの場合　　ｂｃａ－ａｃｂ＝ａｂｃ　　筆算で引き算する時の１ケタ目を考えると、ａ＋１０－ｂ＝ｃ（ｂ＞ａだから２ケタ目から１０借りる）。２ケタ目より、９＝ｂ。３ケタ目より、（ｂ－１）－ａ＝ａ。

連立一次方程式を自然な流れで解くと、ｂ＝９，ａ＝４，ｃ＝５　　すなわち、ａｂｃ＝４９５。

（オ）　ｃ＞ａ＞ｂの場合　　（エ）と同様の計算で、解なしとなる。

（カ）　ｃ＞ｂ＞ａの場合　　（エ）と同様の計算で、解なし。

（ア）～（カ）より、３ケタとも異なるカプレカ数は４９５のみ。

以上、①～③より、３ケタのカプレカ数は、０００を除くと、４９５のみ。

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上の連立方程式を立てる考えは、西山氏の論文に書かれていたもので、参考になった。

ただし論文では、４ケタを一般的に扱おうとして、「詳細は省略するが」と書いた後、直ちに唯一の解を求めていた。しかも、方程式を立てる際に必要となる、等号付き不等号と等号なしの区別（≧と＞、≦と＜）の話も、サラッと省略。細かい話だが、上のケタから１０借りるかどうかに関わるので重要。論文はその後、パソコンでしらみつぶしに調べる作業に移ってる。

つまり、上で私が３ケタについて行ったような証明をもし４ケタで書いたら、単純な話とはいえ、面倒で長い解答になってしまうのだ。

私としては、１ケタ～３ケタについて、この程度示したところで終わりとしとこう。後はコンピューターかＡＩにお任せ♪　実は、上手い式変形がないかと色々試してみたけど、平凡な人間の知性では思いつかなかった。今日のところはこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　『デート』第９話、「どんな数字も各位の２乗を足すと１か８９になる」ことの証明

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