数学甲子園２０１９予選、解き方と感想２（問題１～６）

１９年１０月２９日、公式サイトで数学甲子園２０１９の予選の問題と模範解答（最後の答だけ）が公開された。私が気付いたのはその日の夜遅くだったか。春まで公開されないかも・・と思ってたので、意表を突かれた。

今年は、ＳＮＳで予選問題が流出するという、初めての（？）不祥事が発生。ひょっとしたら、ずっと問題を公開しないかも・・と思ってたのだ。

今年はその後、「特別対応」で実施したそうだけど、ほとんどの高校生がスマホその他の端末を持ってて、ＬＩＮＥやツイッターを使ってる現在、同じ問題で日にちをずらして全国で予選を行うという形は、無理がある。すべての会場で（ほぼ）同じ日時に行うのが理想。もし、違う日時にせざるを得ないのなら、問題を変えるとか、対応を考えるべきだろう。

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公開された全問題を見て、なぜ不祥事が起きたのか、ちょっと分かったような気がした。毎年すべて自分で解いてブログ記事にしてる私の目で見て、今年は難しすぎると思う。特に、簡単だった昔と比べると、雲泥の差。

２０問で１時間なら、１問あたり３分。実際の問題の平均的レベルだと、１問あたり５分でもいいはず。その方が得点分布がキレイになって、予選として上手く機能する。全２０問の中には、簡単なのもあるけど、普通の「大学生」が１０分かけても解けない（ｏｒ間違える）ような問題がかなり入ってる。流出の背景には、先に予選を受けた参加者の衝撃や不満があったのではないか。

とにかく、今日は時間がない中、最初の６問の解き方と感想だけ、簡単にまとめとこう。ちなみに、正答率が低くて先に公表されてた問題１６については、９月の本選直後に解説記事をアップしておいた。

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問題１　次の式を因数分解しなさい。

　a²(c－b)＋b²(a－c)＋c²(b－a)

解答　（与式）

＝(cーb)a²－(c²ーb²)ａ＋bc(cーb)

＝(c-b){a²ー(b＋c)a＋bc}

＝(aーb)(bーc)(cーa)　・・・答

感想　これはウォーミングアップ用のサービス問題。ただ、解くスピードで差がついたか。与式は、ａ→ｂ→ｃ→ａ→b・・の順に並ぶ「輪環形」で書くと、a²(-b＋c)＋b²(-c＋a)＋c²(-a＋b)。こう見えた人は、一瞬でいきなり答を書き込んだかも。

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問題２　数学定数の１つにネイピア数ｅがあり、その値は ｅ＝2.718281828459 と無限に続きます。ｅを近似する循環小数２．７１８２８１８２８・・・を既約分数で表しなさい。

解答　10000ｅ－ｅ＝27180.1

∴ 99990e＝271801　

∴ e＝271801/99990　・・・答

感想　これもサービス問題。ただ、「既約分数で」と指示されてるから、99990＝2・3²・5・11・101と素因数分解して、271801と比較する必要がある。11と101は、惜しくも共約数にならない。実際には、チェックせずにたまたま合ってた参加者が多いかも♪

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問題３　下の枠内の文章は、図の円柱、球、円錐の体積や表面積について述べたものです。ア、イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。　（枠内　円柱、球、円錐の体積の比は３：２：１で、表面積の比は３：ア：イです。）

解答　（円柱の表面積）

＝２πｒ²＋２πｒ×２ｒ＝６πｒ²

（球の表面積）＝４πｒ²

一方、（円錐の母線）＝ｒ√５ｃｍ

「円錐の展開図の扇形の中心角」

をａ°とすると、

２πｒ√５×ａ／３６０＝２πｒ

∴　ａ／３６０＝１／√５

∴　（円錐の表面積）

＝πｒ²＋π（ｒ√５）²×１／√５

＝（１＋√５）πｒ²

以上より、表面積の比は、

６：４：１＋√５

＝３：２：（１＋√５）／２

∴　ア＝2、イ＝(1＋√5)/2 ・・答

感想　時間に追われる中、円錐の計算にはちょっとプレッシャーがかかる。公式は一応あるけど、使う機会が少ないから、覚えて実際に使える人はごく少数だろう。円柱の表面積で、円を１つ足し忘れるというのもありがちなミス。

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問題４　３辺の長さがそれぞれＡＢ＝３３１、ＢＣ＝３４１、ＣＡ＝２１である△ＡＢＣの内角の大きさを∠ＡＢＣ＝ｘ°、∠ＢＣＡ＝ｙ°、∠ＣＡＢ＝ｚ°とします。このとき、ｘ、ｙ、ｚの中に、値が整数であるものが１つだけ存在します。それはどれですか。また、その値を求めなさい。

解答　ｃｏｓ∠ＢＣＡ

＝(341²＋21²ー331)/2・341・21

＝7161/(2・7161)＝1/2

よって、値が整数であるものはｙ。

値は６０。・・・答

感想　カンタンな図を書くと、ｘは小さすぎるから、ｙが６０か４５、あるいはｚが１２０か１５０なんだろう・・といった想像はつく。それにしても、余弦定理を用いた算数の計算も、時間が無い中だと間違えやすい。

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問題５　１辺の長さがａである正四面体Ａと、１辺の長さがａである正八面体Ｂがあります。Ｂの体積はＡの体積の何倍ですか。

略解　直角三角形に着目、三平方の定理

で計算して、Ａの高さは ａ√６／３。

底面積は、ａ²√３／４。

∴（Ａの体積）＝ａ³√２／１２

一方、Ｂの半分（四角錐）の

高さはａ√２／２。全体だとａ√２。

∴（Ｂの体積）

＝ａ²×ａ√２×１／３

＝ａ³√２／３

以上より、Ｂの体積は

Ａの体積の４倍。　・・・答

感想　これも、３分で正確に計算するのは大変。出て来た答の４倍も、ちょっと大き過ぎるような気がするし、あまりにキレイな答で不安になるところだ。

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問題６　正六角形の板があります。その各辺に、以下の規則で赤、青、黒のいずれかの色をぬるとき、全部で何通りのぬり方がありますか。　（枠内　・必ずしも３色すべてを使う必要はないが、隣り合う辺は別の色にする。　・回転して同じになるぬり方は同一のものとして、区別しない。　・裏返してはじめて同じ色の配列になる鏡像体は、別のぬり方とする。）

解答　下図の場合分けと数え上げより、１４通り。　・・答

感想　何色使うか、また、それぞれの色を何本の辺で使うかで場合分けした。もし時間１５分なら、シンプルで考えさせる良問だと思う。実際は、この問題に回せる時間はせいぜい５、６分のはず。ちなみに、私がこの分類方法に気づいたのは、考え始めて１０分ほど経った後。実戦なら捨てて、ほぼカンで書いて間違えたと思う♪　イメージ的には１０通りくらいに感じた。

というわけで、今日のところはこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１９予選、解き方と感想３（問題７～１２）

　　　　　（計　２６０２字）