数学甲子園２０１９予選、解き方と感想３（問題７～１２）

一昨日に続いて、数学甲子園２０１９予選の第３弾解説をアップする。過去の２本は以下の通り。

　数学甲子園２０１９予選、正答率の低い問題１６の解き方と感想

　　２０１９予選、解き方と感想２（問題１～６）

　（☆追記：　予選、解き方と感想４（問題１３～１５，１７～２０））

今回は直ちに本題に向かおう。

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問題７　次の等式を満たす正の整数ａ，ｂの組をすべて求めなさい。

　ａｂ＝（ａのｂ乗）

解答　（１）ａ＝１の場合

　与式は、ｂ＝１。

（２）ａ≧２の場合

　① ｂ＝１の時

　与式は ａ＝ａ となるから、

　ａは２以上の任意の正の整数。

　②ｂ＝２の時

　与式は、２ａ＝ａ²　∴ａ＝２

　③ｂ≧３の時

　まずｂ＝３と仮定すると、

　（与式右辺）ー（与式左辺）

＝ａ³ー３ａ＝ａ（ａ²ー３）＞０

　また、ｂ＝ｋ（≧３）で

　（与式右辺）ー（与式左辺）

＝（ａのｋ乗）ーｋａ＞０と仮定する。

ｂ＝ｋ＋１の時、

（与式右辺）ー（与式左辺）

＝（ａのｋ＋１乗）ー（ｋ＋１）ａ

＝ａ{（ａのｋ乗）－ｋａ}

　＋ｋａ²ー（ｋ＋１）ａ

＝ａ{（ａのｋ乗）－ｋａ}

　＋ａ{ｋ（ａー１）ー１}＞０

以上、数学的帰納法より、ｂ≧３の

時、与式は等式として成立しない。

したがって、（１）（２）より、

（ａ，ｂ）＝（ｋ，１），（２，２）

　（ｋは任意の正の整数）・・・答

感想　実戦では答だけ出せばいいから、正答に似たものなら多くの参加者が書けたと思う。ただ完全な正答となると、かなり減るはずで、部分点をどうつけるのかが気になる所。中堅大学の記述問題としてなら適度なレベル。

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問題８　右の図は、ある四面体の展開図で、△ＡＥＣは正三角形です。ＡＢ＝５、ＡＣ＝１２、ＢＣ＝１３、∠ＡＢＤ＝９０°のとき、この四面体の体積を求めなさい。

略解　△ＡＢＣを底面として四面体を組み立てると、上の頂点で点Ｄは点Ｅと重なる。また、Ｄから底面の延長上に下ろした垂線の足をＨとすると、直角三角形ＤＨＢは底面と垂直になる。さらに、ＢＨ＝ＡＣ／２。

∴ＤＨ²＝ＤＢ²ーＢＨ²

　＝（１２²ー５²）ー６²

∴ＤＨ＝√８３

∴（体積）＝△ＡＢＣ×ＤＨ／３

　＝１０√８３　・・・答

感想　個人的には適度な図形問題だと思うが、正答率は極端に低かったとのこと。立体のイメージが難しかったのか、あるいはうっかりＡＤ＝１３で計算してしまったのか。△ＡＢＤは、△ＡＢＣより僅かに小さい。

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問題９　tan18°×tan54°の値を求めなさい。

解答　tan18°＝ａとおく（０＜ａ＜１）。

tan36°＝２ａ／１－ａ²

tan54°＝tan(36°＋18°)

　＝(-a³＋3a）/(-3a²＋1)

一方、tan54°＝１／tan36°

　＝(1-a²)/2a

∴　(-a³＋3a）/(-3a²＋1)

＝(1-a²)/2a

∴ ５ａ⁴ー１０ａ²＋１＝０

０＜ａ＜１より、

　ａ²＝１－２√５／５

∴　tan18°×tan54°

＝a×(1-a²)/2a＝(1-a²)/2

＝√５／５・・答

感想　時間が短い実戦だと、これは途中で捨てたと思う。ｔａｎの倍角公式、加法定理、余角公式を使うのだろうということは分かるけど、組み合わせ方にちょっと迷ってしまった。ｓｉｎ、ｃｏｓの３倍角の公式も思いつくから、なかなか方針が一つに定まらない。

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問題１０　数列{ａn}を、

　ａ₁＝１，

(n＋2)ａn₊₁＝nａn＋4ｎ＋2

　（ｎ＝１，２，３，・・・）

によって定めるとき、第ｎ項

ａnを求めなさい。

解答　漸化式の両辺をｎ＋１して、

ｂｎ＝（ｎ＋１）ｎａn とおく。

ｂ₁＝２，

ｂn₊₁＝ｂn＋4ｎ²＋6ｎ＋2

∴ｂn＝2＋∑(4k²＋6k＋2)

　　（1≦k≦n－１）

 ＝n(n＋1)(4n－1)/3　(n≧2)

上式はｎ＝１でも成立。

∴ａn＝(4ｎ－1)/3　・・答

感想　時々ある漸化式の変形で、サービス問題に近い。このレベルの問題で時間が数分だと、ちょうどいい差がつくと思う。以前はこのくらいのレベルの問題ばかりが並んでたから、逆に簡単すぎて疑問を感じてた。

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問題１１　２つの袋Ａ、Ｂがあります。Ａの袋には１０、２０、３０、４０、５０のカードが１枚ずつ入っています。Ｂの袋には０、１、２、５、１０のカードがそれぞれ１０枚、４枚、３枚、２枚、１枚入っています。

Ａ、Ｂの袋から無作為に１枚ずつを取り出し、２枚のカードに書かれた数の積をＸとするとき、Ｘの分散を求めなさい。

解答　Ａの袋のカードはどれも確率１／５。Ｂの袋においては、０のカードは積が０になるから計算不要。１、２、５、１０のカードを取り出す確率は、それぞれ１／５、３／２０、１／１０、１／２０。

∴（Ｘの平均）＝(10＋20＋30＋40＋50)/25＋3(10＋20＋30＋40＋50) /50＋(10＋20＋30＋40＋50) /10＋(10＋20＋30＋40＋50) /10＝４５

（ｘ²の平均）＝(100＋400＋900＋1600＋2500)/25＋3(100＋400＋900＋1600＋2500) /25＋(100＋400＋900＋1600＋2500) /2＋(100＋400＋900＋1600＋2500) /10＝９１３０

∴　（Ｘの分散）

＝(X²の平均)ー(Xの平均)²

＝９１３０－２０２５

＝７１０５　・・・答

感想　これもわりと適度な問題だと思うが、正答率が極端に低かったとの事。問題文を読むだけで面倒そうに感じるから、パスした生徒が多かったのかも。あるいはｘ²の平均の計算に苦戦したのか。上の解答の式は、長く見えるけど計算はカンタンで、割り切れて正の整数になる。私が解いた時には、２種類のカッコは最初の１回だけ書いて、後は空欄のまま計算した。

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問題１２　３次式ｆ（ｘ）が次の条件を満たすとき、ｆ（ｘ）を求めなさい。

ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝１，ｆ（ｘ）＋６ｆ（ｘ－１）＋ｆ（ｘ－２）＝ｆ（２ｘ－１）

解答　第３式にｘ＝０とｘ＝１を

代入し、第１式と第２式を利用

して簡単にすると、

５ｆ（－１）＋ｆ（－２）＝０

ｆ（－１）＝０

∴ｆ（－２）＝０

よって因数定理より、

f(x)=ax(x＋1)(x＋2)

とおける。ｘ＝１を代入して

１＝６ａ　∴ａ＝１／６

∴　ｆ（ｘ）

＝x(x＋1)(x＋2)／６　・・答

感想　これは完全なサービス問題。ただ、先行する１１問で余裕が無くなってる状態だから、計算ミスしやすいかも。

というわけで、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　（計　２５３５字）

　（追記２６字 ； 合計２５６１字）