数学甲子園２０１９予選、解き方と感想４（問題１３～１５，１７～２０）

今年の数学甲子園・予選記事もようやくラスト。正直、パッと見で、残りの７問は簡単だろうと思ってたけど、問題１４と問題１９はそれぞれ３０分くらいかかってしまった。問題１９は、私が解き方を忘れてたのが大きいと思うけど、問題１４は記述式で難関大学の入試問題に出してもいいレベルだろう。答は意外と簡単だけど、きっちり説明するのは大変だ。

解くだけで手間ひまかかったので、今回の記事はいつも以上に省略しよう。ちなみに過去の３本は以下の通り。これ以外にも、過去の数学甲子園記事だけで多数あって、毎年の全国予選前には大量のアクセスが入ってる。ところが、本選の後のアクセスはわずか♪　まあ、私もテスト前とかにならないとなかなか勉強しないタイプだったから、この状況はよく分かる。

　数学甲子園２０１９予選、正答率の低い問題１６の解き方と感想

　２０１９予選、解き方と感想２（問題１～６）

　２０１９予選、解き方と感想３（問題７～１２）

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

問題１４　３直線ｙ＝(-3/4)ｘ＋８、ｙ＝(-5/12)ｘ＋１６、ｙ＝(3/4)ｘ＋２によって囲まれてできる三角形の内接円の半径を求めなさい。

略解　直線の式を一般形に直すと、

　３ｘ＋４ｙー３２＝０、

　５ｘ＋１２ｙ－１９２＝０、

　３ｘ－４ｙ＋８＝０。

内接円の中心を（ａ，ｂ）とし、

点と直線の距離の公式を用いて

半径を３通りに表した上で、

ａ、ｂの連立方程式を立てて解く。

絶対値記号を外す時には、図形的

考察も利用。ａ＝４、ｂ＝１０。

∴（半径）

＝｜3・4-4・10＋8｜／√25

＝４　・・・答

感想　もう少し上手い解き方があるような気もするけど、いずれにせよ実戦で数分で正しく答えるのはラクじゃない。レベル設定としては適度か。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１５　Ａ、Ｂ、Ｃの３人が１対１形式のゲームを次々と行います。１回のゲームでＡがＢに勝つ確率は２／３、ＢがＣに勝つ確率は２／３、ＣがＡに勝つ確率は１／３で、引き分けはありません。第ｎ戦（ｎは正の整数）の勝者と残りの人（第ｎ戦に参加しなかった人）が第（ｎ＋１）戦で対戦し、２連勝した人を優勝とします。第１戦でＡとＢが対戦し、誰かが優勝するまでゲームを続けるとき、第３ｎ戦でＣが優勝する確率を求めなさい。

略解　ｎ＝１なら、Ｃが優勝の確率は

(2/3)・(1/3)・(1/2)＋

(1/3)・(1/2)・(1/3)＝1/6

ｎ≧２の時、第３ｎ戦でＣの優勝なら、

第３（ｎ－１）戦までの勝者だけ

並べると、ＡＣＢとＢＣＡのいずれか

１種類をｎ－１コ並べた列になる。

例えば第３×２戦でＣ優勝なら、

ＡＣＢ・ＡＣＣまたはＢＣＡＢＣＣ

この場合のＣ優勝の確率は、

(1/9)・(1/9)＋(1/9)・(1/18)

＝(1/9)・(1/6)

同様に考えて、

（第３ｎ戦でＣが優勝する確率）

＝{(1/9)のn-1乗}／６

＝３／{２(９のn乗)}

ｎ＝１でも成立するのでこれが答。

感想　難しいというより、まとめにくいし実験もやりにくい。ただ、手と頭は動かせるし計算も簡単だから、巧みな問題作成だなと感心。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１５　ａ＞０、ｂ＞０とします。次の等式が成り立つとき、ａ／ｂのとり得る値をすべて求めなさい。答えが分数になる場合は、分母を有理化して答えなさい。

2log₂(a＋b)＝log₂a＋log₂b＋３

略解　与式を変形して、

log₂{(a＋b)²/ab}＝３

∴ (a＋b)²／ab＝8

∴{(a/b)＋1}²＝8(a/b)

∴　a/b＝3±2√2・・・答

感想　これは教科書章末問題レベルのサービス♪　１～２分か。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１７　次の整式を、係数が整数の範囲で因数分解しなさい。　ｘ⁵＋ｘ＋１

略解　因数定理より、１次式の

因数は持たない。よって与式は

(x²＋ax＋1)(x³＋bx²＋cx＋1)

または、

(x²＋axー1)(x³＋bx²＋cxー1)

とおける。それぞれ展開して

与式と係数比較。前者の式のみ

成功して、与式は

(x²＋x＋1)(x³ーx²＋1)・・答

感想　これも簡単だけど、試験会場の緊張感の中だと動揺してしまうかも。キレイなわりに見慣れない因数分解で、適度な良問だと思う。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１８　ａを定数とします。２次方程式ｘ²＋ａｘ＋ａ=0が異なる２つの実数解をもち、かつ１より大きくて２より小さい解は１つだけ存在するとき、ａのとり得る値の範囲を求めなさい。

略解　ｆ（ｘ）＝ｘ²＋ａｘ＋ａ

とおく。放物線ｙ＝ｆ（ｘ）が

１＜ｘ＜２で重解以外の実数解

を１つだけ持つための条件は、

ｆ（１）・ｆ（２）＜０

∴ (2a＋1)(3a＋4)<0

∴ -4/3＜a＜-1/2　・・答

感想　今回もっとも簡単で、１分以内に解答。チェックも含めて２分か。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１９　２つのベクトル(→ａ)、(→b)が　｜2(→a)＋3(→b)｜＝８、｜4(→a)＋(→b)｜＝５　を満たすとき、｜(→a)＋(→b)｜の最大値、最小値をそれぞれ求めなさい。

略解　｜4(→a)＋6(→b)｜＝16、

｜4(→a)＋(→b)｜＝５

を満たすときの、

｜4(→a)＋4(→b)｜の最大値、

最小値を考える。

つまり、論理的に同じ条件で、

本来の４倍のベクトルの最大・

最小を図形的に考える。

絶対値記号の中の３種の

ベクトルは、→b の係数のみ

異なる。２番目のベクトルに

5(→b)を加えたのが１番目で、

3(→b)を加えたのが３番目。

∴（最大値）

＝（→aと→bが同じ向きの時）

＝5＋(16-5)・(3/5)＝58/5

（最小値）

＝（→aと→bが逆向きの時）

＝(16＋5)・(3/5)－5＝38/5

最後にそれぞれ１／４にして、

最大値29/10、最小値19/10・・答

感想　最初、計算で解こうとして行き詰ってしまったから、図形的に解いた。同じ向きと逆向きの時が答になることは、実は図形的にきっちり証明しようとすると、頭を使うことになる。直観的に明らかに近いけど、最大と最小でそれぞれ、向きがズレてる時との比較を行う。補助線を数本引いて角度や長さを考えれば分かるので、お試しあれ。後で計算に再挑戦してみたい。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題２０　ｆ（ｘ）＝(1/2)ｘ²、ｇ（ｘ）＝ｘ²＋２ｘー７とします。曲線ｙ＝ｆ（ｘ）上の点（a,f(a)）におけるｙ＝ｆ（ｘ）の接線と、曲線ｙ＝ｇ（ｘ）上の点（b,g(b)）におけるｙ＝ｇ（ｘ）の接線が一致しました。このような接線の方程式をすべて求めなさい。

略解　ｙ＝ｆ（ｘ）の接線

ｙ＝ａ（ｘ－ａ）＋(1/2)ａ²

　＝ａｘ－ａ²/2

がｙ＝ｇ（ｘ）と接するため

の条件から、ａを求める。

ａｘ－ａ²/2＝ｘ²＋２ｘー７

が重解を持つので、判別式は０。

∴　ａ＝－８，４

よって接線は、

y=-8x-32，y=4x-8　・・答

感想　これはサービス問題。私はｂを相手にせずに解いたけど、単なる好みの問題かも。

今、公式ＨＰを見ると、１０月３１日にＹｏｕＴｕｂｅで本戦の動画が公開されてた。創作問題の様子だけのような気もするけど、いずれ内容をチェックしてみる予定。マスバトルの問題公開を待つ方が得策か。今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　　（計　２８６０字）