７進法の循環小数と整数問題（不定方程式）～２０２０年センター試験・数学ⅠＡ・第４問（選択）

最後のセンター試験、「終わった」という悲鳴がＳＮＳで飛び交ってると、産経新聞ＨＰが報じてた♪　令和では、最初で最後の実施。

センター試験の数学Ⅰ・Ａでは、去年の第４問も変わった問題が出題されてたが、今年の第４問もかなり珍しいと思う。７進法の小数と整数問題（不定方程式）の融合。私はたぶん、初めて見た。

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大手予備校の分析を比較してみよう。まず河合塾。「循環小数とn進法に関する問題であった。『整数の性質』の単元の中でも、n進法は演習量が少なくなりがちで、手が動かなかった受験生も多かったであろう。(2)については、7a+bのとり得る値をすべて書き上げれば考えやすい」。他の問題も含めた全体の難易度は、「やや難化」。

駿台、やや難（長いので省略）。代ゼミ、標準（７進法という点に注目してない）。最後に東進ハイスクール。「題意が読み取れれば計算は少ないが、躓く受験生も多かったことだろう」。

私自身は一応、悩むことなく一気に最後まで解いたが、経験がないパターンの問題だからちょっと不安だった。計算量は確かに少ないし、わりと丁寧な誘導も付いてるが、何か勘違いや見落としがあるような気がしてしまうのだ。

そもそも、等式の右辺の７進数を小さい（７）で表すのなら、左辺も小さい（１０）を付けてくれないと、１０進法かどうかハッキリしないから、誤解した受験生もいたはず。１０進法とか１０進数という言葉くらい入れるべきだったと思う。

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では、第４問（選択問題、配点２０）の問題文を見てみよう。元の問題は、ｐｄｆファイルで各予備校サイトが配付中。ここでは簡単に書き直しておく。

（１）　ｘを循環小数２．３６３６３６・・・とする。このとき、

　１００ｘ－ｘ＝２３６．３６・・ － ２．３６・・

であるから、ｘを分数で表すと、 ｘ ＝ アイ ／ ウエ　である。

（解答）　９９ｘ＝２３４　　

∴　ｘ＝２３４／９９

　＝２６／１１　・・（アイ／ウエの答）

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（２）　有理数ｙは、７進法で表すと、循環小数２．ａｂａｂ・・(7) になる。ただし、ａ、ｂは０以上６以下の異なる整数。このとき、

　４９ｙ－ｙ＝２ａｂ．ａｂ・・－２．ａｂ・・　であるから、

　ｙ＝（オカ＋７ａ＋ｂ） ／ キク　と表せる。

（答）　４８ｙ＝２×４９＋７ａ＋ｂ－２

∴　ｙ＝（９６＋７ａ＋ｂ）／４８　

　　　・・（オカ　キクの答）

（注意．　７進法の場合、１ケタ上げて大きくするには７倍。２ケタ上げるには４９倍する。）

（２）（ｉ）ｙが、分子が奇数で分母が４である分数で表されるとき

ｙ＝ケ／４ または ｙ＝コサ／４。

ｙ＝コサ／４ のときは、７ａ＋ｂ＝シス

であるから、ａ＝セ、　ｂ＝ソ。

（答）分子の７ａ＋ｂと分母の４８が、共に１２で割れるのだから、７ａ＋ｂの値で場合分けして、ａ、ｂの不定方程式を解く。

７ａ＋ｂ＝０の時、ａ＝ｂ＝０となってしまい、不適（ａとｂは異なる整数という条件だから）。

７ａ＋ｂ＝１２の時、ａ＝１，ｂ＝５

∴　ｙ＝９／４　・・（ケの答）

７ａ＋ｂ＝２４の時、ａ＝ｂ＝３で不適。

７ａ＋ｂ＝３６の時、　・・（シスの答）

　ａ＝５，ｂ＝１　・・（セソの答）

∴　ｙ＝１１／４　・・（コサの答）

なお、７ａ＋ｂ＝４８の時、ａ＝ｂ＝６

で不適。７ａ＋ｂ＞４８にはならない。

（ｉｉ）ｙ－２は、分子が１で分母が２以上の整数である分数で表されるとする。このようなｙの個数は、全部で タ 個である。

（答）ｙ－２＝（７ａ＋ｂ）／４８

７ａ＋ｂは４８の約数（符合は正）のはずだから、候補となるのは、７ａ＋ｂ＝１，２，３，４，６，８，１２，１６，２４，４８。

この内、ａとｂが異なる整数として求まるのは、１，２，３，４，６，１２の時のみ。

よってｙの個数は６個。　・・（タの答）

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なお、例えば１１／４＝２．７５を７進法で表すには、次のように計算する。２はそのままで、小数部分のみを変換処理。

上から順に読んで、０．５１５１・・。よって、（１０進法の１１／４）＝（７進法の２．５１５１・・）

７倍した時の整数部分が小数第１位。そこを取り除いて、小数部分だけまた７倍した時の整数部分が小数第２位。以下同様。一般に、ｎ進法も同様に計算する。

理由は、例えば７進法の０．５１とは、５／７＋１／４９のことだから。

７倍すると、５＋１／７になって、整数部分が小数第１位になってる。

さらに、５を取り除いてまた７倍すると、１。この整数が小数第２位になってる。

さて、平均点はどうなるのか。今後の発表に注目しつつ、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　（計　１８５０字）