灘中学校２０２０年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

たまたまネットで、灘（なだ）中学校の算数の入試問題（２０２０年）を見かけたので、解き方をカンタンな記事にしてみます。

今まで、開成中や桜蔭中は記事にしてましたが、灘は初めてで、問題を見たのも小学校以来、ひさしぶりのこと。「灘」という漢字は「難しい」という漢字に似てるし、本当にむずかしいですね。

毎日新聞ＨＰの記事では、ＳＡＰＩＸ（サピックス）が作った「解答」例がついてましたが、最後の答の数字だけでした。ここでは図形の問題について、私が自分で解いた時の考え方、コツ、線の引き方などを紹介します。元の図だけ、引用させて頂きます。

灘中は２日続けて試験をするようで、今回見たものは初日（１月１８日・土曜）の算数１のようです。翌日の算数２では、もう少し論理的に考えさせるような問題になってました（四谷大塚ＨＰに掲載されてます）。

灘中のＨＰによると、今年の算数１では、受験者の平均点が５５点、合格者の平均点が７２点でした。去年の平均点が低過ぎたので、問題を簡単にしたようですが、今年も十分ハイレベルです。大学受験生や大学生でも、苦戦する人がほとんどのはず。

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では、試験を見てみましょう。私が一番むずかしいと感じた問題は、最後の１１番でした。

「展開図が右（ここでは上）の図のような立体の体積は、すべての面が１辺の長さ１ｃｍの正三角形からなる三角すいの体積の　　　　倍です。ただし、印・をつけた角の大きさはすべて６０°です。」

この立体は、１辺６ｃｍの三角すいの一部分が欠けたもので、下の赤線で囲まれた形です。頭の中だけだとイメージしにくいので、欠けてない三角すいを元にして、その内側に書き加えると分かりやすいでしょう。

これは、１辺４ｃｍの三角すいを２つ合体させたものと考えられます。ただし、１辺２ｃｍの三角すいの部分が重なります。

１辺４ｃｍの三角すいの体積は、１辺１ｃｍの三角すいの４×４×４倍、つまり６４倍です。また、１辺２ｃｍの三角すいの体積は、１辺１ｃｍの三角すいの２×２×２倍、つまり８倍です。

だから、求める立体の体積は、１辺１ｃｍの三角すいの、「６４×２－８」倍、つまり、「１２０」倍です（答）。

２つの図形の形が、拡大・縮小したものになってる時、面積だと、「４×４」倍とか。体積だと、「４×４×４」倍とかになります。

これは本当は中学校の「数学」で、図形の「相似」について習う内容ですが、難関中学の入試ではフツーに使うようですね。他の図形の問題も、中学３年生がやるようなレベルになってました。

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他の図形の問題については、ヒントだけにしておきます。みなさん、自分で挑戦してみてください。

７番は普通なので飛ばします。８番は三角形ＡＢＣの面積と、６個の正方形の面積の和を求める問題でした。図形の拡大・縮小の関係を使います。最後の式と答は一番下にまとめて書きます。

９番は、私が二番目にむずかしいと思った問題です。四角形ＡＣＤＥの面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍か？　図形の形の「合同」を使います。補助的（ほじょてき）な線の引き方も迷う所でしょう。

　　　

１０番は、台形ＡＢＣＤ（厚さを無視できる薄い板）を、斜めの辺ＣＤの周りに回転させた時の、通過する部分の体積。円周率は３と１／７とします。大学の入試問題みたいに見えますが、線をうまく補（おぎな）うと、大きな直角三角形を回転させた体積から、小さな直角三角形を回転させた体積を引いたものになります。

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では、最後に答だけ。８番。（２８／３）×７／２＝（３２と２／３）。２１＋２１×（３／７）×（３／７）＝（２４と６／７）。

９番。９／５＋７／５＝３．２。

１０番。（４．８×４．８×２２／７×１０×１／３）－（４．８×４．８×２２／７×１０×１／３） × （１／２）×（１／２）×（１／２）＝２１１．２。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　１６０２字）