小屋の窓から入る太陽光と展開図～開成中２０２０年入試・算数・問題４の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載（の）ってました（２０年２月５日）。ＳＡＰＩＸ（サピックス）の広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚ＨＰも同様です。

そこで、最後の図形問題だけ解説してみましょう。とても難しくて面倒なので、少しずつじっくり考える必要があります。ちなみに、今年の灘中の図形問題については先日、記事をアップ済み。過去の開成や桜蔭についても記事を書いてます。

　５人のカードゲームと背理法～開成２０１９入試

　三角形の相似から四角形の面積比へ～１８問題１

　三角形の相似と比の応用～１７入試・算数・問題３

　３人のゲームトーナメント、変わった時計～桜蔭中１９入試

　円と正方形、１０個重ねて作る図形の面積～桜蔭１８入試

　３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、距離と時間～１６入試

　ランニング（５人のリレー）の距離～１５入試

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

では、ちょっと長い問題文を引用しましょう。図は元のものを借ります。

問題４　（図１）のように、１辺の長さが５ｍの立方体の小屋ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。小屋の側面ＡＢＦＥには［窓穴１］が、小屋の上面ＥＦＧＨには［窓穴２］があり、外の光が入るようになっています。

そして、この小屋の展開図は（図２）のようになっています。

晴天の日のある時刻においてこの小屋の床面ＡＢＣＤで日の当たっている部分は、次の（図３）の斜線部分でした。このとき、小屋の中で他の面の日に当たっている部分を解答用紙の展開図に斜線を用いて示しなさい。

（解答）　窓の四隅の点をギリギリ通る太陽光が、どの面のどの点に当たるかを考えて、後は線で真っ直ぐつなげばよい。窓穴の辺を通る光は、辺と当たる面とが平行な場合、辺と同じ長さの平行線になる。また、辺と当たる面とが垂直な場合、斜めの線になる（左右・前後・上下の方向に対して）。

図１の左下の点Ａから他の点を見て、右に何マス、奥に何マス、上に何マス進んでるかを考え、（右３，奥５，上４）などと表すことにする。１マスは５０ｃｍだが、長さの単位は答に不要だから考えない。

まず、与えられた斜線部から、太陽光の性質を考える。窓穴１の左上の点（右２，奥０，上７）を通る光は、床面の点（右９，奥７，上０）に当たっている。また、窓穴１の左下の点（右２，奥０，上３）だと、床面の点（右５，奥３，上０）になっている。

つまり、光が右に１進む時、奥に１，下に１、進んでいる。

よって、窓穴１の右上の点（右８，奥０，上７）と対応する面ＢＣＧＦの点をまず（右１０，奥　　，上　　）と書いて考えると、光の性質からその点は、（右１０，奥２，上５）だとわかる。

また、窓穴１の右下の点（右８，奥０，上３）と対応する面ＢＣＧＦの点をまず（右１０，奥　　，上　　）と書いて考えると、（右１０，奥２，上１）だとわかる。

さらに、問題で与えられた斜線と合わせると、窓穴１から入る光は結局、下の展開図の斜線部に当たる。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

次に、上面の窓穴２の点（右２，奥３，上１０）だと、奥の面ＤＣＧＨの点（右　　，奥１０，上　　）になると書いて考えれば、点（右９，奥１０，上３）だと分かる。

窓穴２の点（右２，奥７，上１０）だと、まず点（右　　，奥１０，上　　）と書いて考えれば、点（右５，奥１０，上７）だと分かる。

ただし、窓穴２の右側の２点（右８，奥３，上１０）と（右８，奥７，上１０）で同じように計算すると、それぞれ（右１５，奥１０，上３）、（右１１，奥１０，上７）となってしまい、奥の面の右側にはみ出してしまう。

よって、窓穴２の右側の２点（右８，奥３，上１０）と（右８，奥７，上１０） を通る光は、右の面ＢＦＧＣに当たる。対応する点をそれぞれ（右１０，奥　　，上　　）、（右１０，奥　　，上　　）と書いて考えると、それぞれ（右１０，奥５，上８）、（右１０，奥９，上８）だと分かる。

最後に、展開図の面ＤＣＧＨとＢＦＧＣにおいて、同じ点がどこかに注意すると、窓穴２から入る光は、下の展開図の斜線部に当たることになる（2ヶ所に離れる）。面ＤＣＧＨを先に考えた後、面ＢＦＧＣを考えると分かりやすい。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

結局、窓穴１と２で考えると、斜線部の全体は下の通り（・・答）。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　１７５７字）