正十七角形の作図法２～図形的な長さと角度のｃｏｓの数値チェック（手計算とコンピューター半々）

フジのドラマ『やまとなでしこ』特別編（後編）で感動。本気でウルウルした後、私も数学をあきらめずに全部計算しようとしたけど、やっぱり途中で挫けてしまった (^^ゞ　やっぱり魚屋を継ぐべきか♪　いずれ、時間と能力の余裕を作って、三度目の正直にチャレンジしたい。

さて、当サイトでは先週（２０年７月７日）、次の記事をアップした。

　正十七角形の作図を使った、ケーキの６８等分の方法・解説～『やまとなでしこ』（特別編）数学者・欧介

６８÷４＝１７。正十七角形の作図だけなら、日英のウィキペディアも含めて、既存のサイトより分かりやすいと思ってる。不要な線を消して、簡単すぎる作図（中学１年レベル）も省略、点にも名前を書いたからだ。実際、納得したというツイートも頂いてる。

ただ、その作図でなぜ正しいのか、理論的にも計算的にもチェックしてないと正直に付記しておいた。その後、１回の計算間違い（途中で１６分の１にしてた）も含め、ノート５ページ分を計算。わりといい所まで行くけど、あと少しの所で、三重根号その他の面倒すぎる計算に挫けてしまう。「経験したことのない」計算♪　気象庁発表か！

下は、逆にｃｏｓ３６０°／１７（＝ｃｏｓ２π／１７）の値から、図形的な長さを出そうとした計算だけど、３倍角の公式でｃｏｓ３×３６０°／１７を出す時点で挫けてしまった。文字ａ、ｂとかで、上手く置き換えないと苦しいかも。

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というわけで、しばらく忘れようと思ったけど、そう言えば最近、コンピューター計算を使ってない。Ｗｏｌｆｒａｍ　ａｌｐｈａなんて高級なサイトは要らないはずで、カシオの計算サイトで十分だろう（ちょっと失礼かも）と思って挑戦。わりと簡単に成功♪　やっぱりコンピューターを使えないとダメか。数学も、将棋も囲碁も、語学も金融マーケットも。。

では本題。前の記事の図をそのまま使って、計算の説明を行う。作図そのものの説明は前の記事で書いたから、ここでは省略。円Ｏ（オー）は半径４として、ＯＣ＝１と設定。するとＡＣ＝√１７。

上図のＯＤを計算するには、角の二等分線の性質を二重に使えばいい（斜辺の比＝底辺の分割比）。二等分をくり返すと、角の４等分になる。

結局、上図で、ＯＤ＝{√（５７８－３４√１７）＋√（３４－２√１７）－４－４√１７}／１６。ノート１ページ目の下側。

これをカシオのサイトで１０ケタ計算すると、　ＯＤ＝０．３４４１５０７３１４。

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上図で、原点ＯとＥの距離ＯＥは、ＯＤの長さとｔａｎ（タンジェント）の加法定理から求められる。

ＯＥ＝ｔａｎ（４５°－∠ＯＣＤ）

　＝（ｔａｎ４５°－ｔａｎ∠ＯＣＤ）／（１＋ｔａｎ４５°ｔａｎ∠ＯＣＤ）

　＝（１－ＯＤ）／（１＋ＯＤ）

　＝・・・・・・

　＝（√（３４－２√１７）－√１７＋１）／４　（ノート２ページ目の下側）

よって、ＥＡの中点（作図用の円の中心）をＭとすると、

ＯＭ＝ＥＭ－ＯＥ

　　＝（ＯＥ＋ＯＡ）／２－ＯＥ

　　＝（ＯＡ－ＯＥ）／２

　　＝{１５＋√１７－√（３４－２√１７）}／８　　（ノート２ページ目の右下）

ＦＭ＝ＥＭ＝（ＯＥ＋ＯＡ）／２

　　＝（１７－√１７＋√（３４－２√１７））／８　（ノート３ページ目の右上）

∴　ＯＦ²＝ＦＭ²－ＯＭ²

　　　　＝・・・・・・

　　　　＝１－√１７＋√（３４－２√１７）　　（ノート３ページ目の一番下）

∴　ＤＦ²＝ＯＤ²＋ＯＦ²

　　　＝・・・・・・

　　　＝（６８－１２√１７＋７√（３４－２√１７）－√１７√（３４－２√１７））／１６

　　　　（ノート４ページ目の中段）

この√　（三重根号）がＤＦで、カシオのサイトで計算すると、　１．４３８８０２６９２。

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∴　ＯＧ＝ＯＤ＋ＤＦ

　　　＝０．３４４１５０７３１４＋１．４３８８０２６９２

　　　＝１．７８２９５３４２３

　　　　　　　（有効数字が１つズレるけど、些細な事だから無視）

この図形的な長さＯＧが、４ｃｏｓ３×３６０°／１７の値と一致すれば、作図の正しさが示される。ちなみに４倍するのは、半径４だから。

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この４ｃｏｓ３×３６０°／１７ の値は、直接、カシオで計算すると、１．７８２９５３４２３。ピッタシ。

一方、ｃｏｓ３６０°／１７の小数の値は、ドイツ語版ウィキペディアだと０．９３２４７２２２９４・・と載ってたから、そこから三倍角の公式を使って上の値を求めても、ぴったり合ってた。

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というわけで、作図は少なくとも、ほとんど合ってそうなのだ。残る問題は、コンピューターなしでｃｏｓの値をどうやって求めるのか。そして、手計算だけでＯＧの長さを求めること。ウィキに載ってる三重根号の値まで、正確に導きたい所だ。

まあ、かなり時間も労力も使って疲れたし、ドラマも終わったから、しばらくは休養ということで。『やまとなでしこ』。特別編は省略だらけになってたけど、良質の恋愛コメディだったし、刺激的な数学コネタドラマだった。ひょっとすると、制服姿の美人「スッチー」を前面に押し出した最後のドラマかも♪

押し出し過ぎて、航空会社の協力が取れなかったとかウィキに書いてあった（笑）。今だともう、少なくとも地上波ゴールデンタイムでは作れない内容だろうな・・とか、郷愁を覚えつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　（計　２１３３字）