正十七角形の作図を使った、ケーキの６８等分の方法・解説～『やまとなでしこ』（特別編）数学者・欧介

２０年ぶりにフジテレビ・月９に再登場した人気ドラマ『やまとなでしこ』。２時間ドラマ、２本に編集した特別編。

前編の昨日（２０２０年７月６日）は大幅にカットされてたが、全盛期の松嶋菜々子は輝いてたし、全てが懐かしかった。平成ブロガーにとっては、小学校以来という計算になる♪　平均視聴率９．７％（ビデオリサーチ調べ、関東地区）。

本来なら、本格的なレビューを書くところだけど、残念ながら今は仕事に追われる毎日で、余裕がない。そこでとりあえず、数学的なコネタ記事をアップしとこう。ツイッター検索ではちょっとしか話題になってなかったけど、ドラマ抜きでも、多少の数学的な需要はあると思う。

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数学者になる夢をあきらめて魚屋の跡継ぎとなった欧介（堤真一）が、数学研究の仲間の結婚披露宴に出席。イチゴの数は６８個より多かったから、美術スタッフさんのミスかも♪　「あなたと２人で浪漫飛行　サイン　コサイン　恋サイン♡」

新郎・岡本「おい！　そこの誰か！　このケーキ、人数分、均等に分けてくれ」、客１「それじゃ、クリームとスポンジの比率が均等になんないだろ」、客２「欧介、お前の意見は？」。

欧介「６８人分か。１７の倍数だから、ガウスの証明した正十七角形の作図の応用をすればいいんじゃないかな？」、客３「おぉ、リッチモンドの方法か」、新郎「おぉ！　やっぱり欧介だ♪」

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上のように、丸いケーキに正十七角形が書ければ、一切れを半分にすれば、３４等分になる。さらに半分にすれば、６８等分。上図の１７コの扇形を、それぞれ４分の１にするということ。

実際には、それだと細すぎて切りにくいし、見栄えも良くない。スポンジはともかく、クリームの比率も均等にならないはず。私なら、適当に分ければいいよと言うだろうし、仮に数学を使うとしても、遥かに簡単な６４等分を主張する。

半分（２分の１）にする簡単なカットを６回続けて、６４等分。その内の４コを、男性客８人で半分にして分ける。

（６４－４）＋８＝６８

ただ、ドラマ的には欧介の数学的才能を見せつける必要があるので、やっぱり正十七角形の作図が必要。ガウスやリッチモンドを知らなくても、ウィキペディアにやり方が載ってるが（ｇｉｆアニメ画像付）、特に日本版ウィキの説明は非常に分かりにくい。図に点の名前を書き込んでないし、途中で使った線を残してるから、終盤は複雑すぎてゴチャゴチャに見える。

英語版ウィキの「Heptadecagon」のページの方がシンプルだが、それでも途中の線を少し残してるので、大まかな論理の筋を追いにくい。そこで以下では、使い終わった線は消しながら、分解した図で流れを追ってみる。ただし点の名前は、日本版ウィキの説明に合わせた。

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かなり面倒な作図なので、中学１年レベルのカンタンな幾何は前提としよう。まず、線分（両端のある直線）の２等分はすぐ出来る。それを連続で行えば、線分の４等分もすぐできる。もちろん、定規（定木）とコンパスのみ使用。分度器はダメ。

また、角の二等分線もカンタンに引ける。それを連続で行えば、角の４等分もできる。ということは、直線（１８０度の角）を２等分すると、垂直の線が引けるし、それをさらに２等分すれば、４５度の線も引けることになる。

一応、日本版ウィキの「二等分線」の項目にリンクを貼っとこう。正十七角形の作図は、日本版も英語版も、その基礎的操作まで書いてるから、全体が必要以上に複雑に感じられるのだ。

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①　まず、中心Ｏ（オー）の円に、直角に交差する半径ＯＡ、ＯＢを書き込む。次に、半径ＯＢを四等分して、中心Ｏに一番近い四等分点をＣとする。そして、Ａと結ぶ線を引く。

②　上図のように、角ＯＣＡの４等分線を引いて、ＯＡとの交点をＤとする。

③　角ＥＣＤが４５度になるように、ＡＤの延長線上にＥを決める。

④　線分ＡＥを直径とする円を書いて、ＯＢとの交点をＦとする。その円は、先にＡＥを２等分する点を求めて、それを中心として、その点からＡまでを半径として、書けばよい。

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⑤　ＤＦを半径とする円を書き、ＯＡとの交点をＧとする。

⑥　Ｇを通って、ＯＡに垂直な直線を引き、元の円との交点をＨとする。

⑦　この点Ｈが、円の右端の点Ａを始点とする正十七角形の頂点の４番目になるらしい（理論的・計算的には未確認）。

角ＡＯＨ＝角ＧＯＨ＝３×（３６０°／１７）

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⑧　Ｈから左回りに、３×（３６０°／１７）の角度を取って行く。その角を合計６回取って、１周ちょっと回転した時、上図の角ＡＯＭは、３６０°／１７になる。

　６×{３×（３６０°／１７）}－３６０°＝３６０°／１７

これで、線分ＡＭが正十七角形の１辺となった。

⑨　後はもう、角ＡＯＭや辺ＡＭなどを利用すれば、上のような正十七角形が完成。ウィキはこの最後の操作を、コンパスで美しくやってるから、難しく見えてる。１辺が分かれば後はもう、その長さで区切って行くだけでいい。

　

⑩　１７個の扇形をそれぞれ４等分して、正６８角形が完成。ほとんど円に見えるからか、ネットでも（ほとんど）見当たらない。上図は、こちらのサイトのアニメーションから完成図だけお借りして、加工させて頂いた。

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ちなみにドラマではその後、均等に切り分けられたケーキの映像が登場。見事に、普通の長方形・・じゃなくて「直方体」（笑）。欧介も数学も全く関係もなし♪　ここはコメディの綺麗なオチだったわけか。

なお、理論的・計算的な説明はまたいずれ。かなり面倒な二重根号、三重根号とかの計算が必要になるはず。正１７角形の各中心角の角度３６０°／１７（＝２π／１７）の恋サイン・・じゃなくてコサインの値はこうなるらしい。右端は三重根号になってる。

ｃｏｓ３６０°／１７＝１／１６〔－１＋√１７＋√（３４－２√１７）＋２√{１７＋３√１７－√（１７０＋３８√１７）}〕

この記事、こんなに時間がかかるのなら普通にレビューした方が早かったかも・・とか思いつつ、ではまた。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　翌週のドラマ後編の後、計算チェックの記事も新たにアップした。　　

　正十七角形の作図法２～図形的な長さと角度のｃｏｓの数値チェック（手計算とコンピューター半々）

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　　　（追記８０字 ； 合計２５５８字）