戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題～幾何、昭和１１年（１９３６年）

先日（２０年９月２６日）、久々にＮＨＫ『ニュース７』を見てたら、終了後に『たけしのその時カメラは回っていた』という番組がスタート。初めてだから、そのまま消さずに流し見してると、既に戦前から、東京大学などの受験戦争は激しかったと説明してた。

早速、国立国会図書館デジタルコレクションで当時の受験雑誌を探したものの、公開されてるものがなかなか見当たらない。そこで代わりに、試験問題を探すと、解答どころか解説までついてる詳しい問題集（または参考書）を発見できた。

『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解　昭和１１年度』、欧文社（今の旺文社）。指導部編ということは、専属の先生みたいな社員がいたのかも。附録として、競争率の一覧表まで付いてて、本格的な受験参考書だ。東京大学（当時は旧制・第一高等学校） は文系も理系も１０倍近い倍率の難関。採用予定数は、文理ともに僅か１５０人。

今日は時間が無いけど、興味深かったから、東大（第一高等学校）入試問題の数学を１問だけ紹介しとこう。全６問中の第１問。幾何だから、今なら上位の高校の入試問題みたいなものか。

試験時間は３時間だから、完答しても１問３０分ある。当時の合格ラインは不明だけど、問題自体は今より簡単で、解答も長くはないから、トップクラスの受験生なら完答できたと思う。

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１．　位置および大きさが与えられたる角ＸＯＹの辺ＯＸ、ＯＹの上にそれぞれ点Ａ、Ｂをとり三角形ＡＯＢの周の長さを定長Ｌに等しからしむるときは、辺ＡＢは一定円に切することを証明せよ。　（引用者による注．切する＝接する）

解答　（私が作成。図は、本の解答のものを修正して利用。）

上図のように、∠ＸＡＢの二等分線と、角ＹＢＡの二等分線との交点を、点Ｐとする。また、点ＰからＯＸ、ＡＢ、ＯＹに下ろした垂線の足をそれぞれ、点Ｅ、点Ｈ、点Ｆとする。

１辺２角が等しい直角三角形なので、△ＰＡＥ≡△ＰＡＨ　　

　∴　ＰＥ＝ＰＨ・・・①　　　ＡＥ＝ＡＨ・・・②

同様に、△ＰＢＦ≡ＰＢＨ

　∴　ＰＦ＝ＰＨ・・・③　　　ＢＦ＝ＢＨ・・・④

①③より、ＰＥ＝ＰＨ＝ＰＦ。よって、中心Ｐ、半径の長さＰＥの円（以下、円Ｐと呼ぶ）は、ＯＡ、ＡＢ、ＯＢと接して、接点はそれぞれＥ、Ｈ、Ｆ。

また、Ｌ＝ＯＡ＋ＡＢ＋ＯＢ　　（∵　仮定）

　　　　＝ＯＡ＋ＡＨ＋ＢＨ＋ＯＢ

　　　　＝ＯＡ＋ＡＥ＋ＢＦ＋ＯＢ　（∵　②④）

　　　　＝ＯＥ＋ＯＦ

ここで、ＯＥとＯＦは、点Ｏから円Ｐに引いた２つの接線だから、長さは等しい。

∴　ＯＥ＝ＯＦ＝Ｌ／２

したがって、点Ａ、Ｂの位置に関わらず、接点Ｅ、Ｆは点ＯからＬ／２の距離の定位置にあり、円Ｐの中心と半径ＰＥも一定となる。

以上より、辺ＡＢは一定円（上の円Ｐ）に接する。

　　　　　　　　　（証明終了）

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三角形の「傍心」と「傍接円」の問題だから、私は２つの外角の二等分線の交点から解いた。

本の解説では、１つの外角の二等分線と角ＸＯＹの二等分線との交点から解いてる。

私は、純粋な論理を重視。本は、この種の問題を解く時の常套手段を重視したということか。

ちなみに本の解答は、点Ｏが２つあるし、他にも間違い（または活字の誤植）がある。軽い実力試しのクイズとして、どうぞ♪　時間が無いので、今日はあっさりこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題２～代数、昭和１１年（１９３６年）

　海軍兵学校の数学試験（算術）～明治３６年度（１９０３年）の問題と解説・解答

　　　　　　（計　１３９０字）

　　　（追記４３字 ； 合計１４３３字）