戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題２～代数、昭和１１年（１９３６年）

クイズ番組を中心に、不思議なほどの東大ブームが続く令和の今、先日に続いて、戦前の東大（第一高等学校）の数学の入試問題を紹介しよう。昭和１１年、１９３６年の入学試験での出題で、前回の幾何（図形）に続いて、今回は代数。整数の２元２次・連立方程式。

わりと大きくて重そうな弾丸を人力で運ぶ問題だから、現在だと出題しにくいはず。兵隊とか軍隊、戦地とまでは書いてないけど、戦前ならではの実用的な整数問題だ。

数十年、数百年前の資料を、一般人が手軽にネットで見れるようになってから、まだ１０年～２０年くらいか。言葉の問題もあって、せっかく無料公開されてる資料はまだまだ利用されてないどころか、閲覧が全く追いつかないほど次々に情報公開されてる。

お金も手間ひまもかかってる作業だから、少しずつでも利用して行きたい。使わないままだと、デジタル化の勢いも失われてしまうはず。

なお、１本目の記事は次の通り。

　戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題～幾何、昭和１１年（１９３６年）

出典は同じで、『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解　昭和１１年度』、欧文社（今の旺文社） 。国立国会図書館デジタルコレクションにて公開中。あえて、画像処理でキレイに修正することは避け、元の古めかしい画像のままで引用。

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６．　弾丸若干個を人夫若干名にて某地へ運ぶに各人各回同数ヅツ運び往復９回を要するものとす。もし人数を７名増し各人毎回の運搬数を２０個減ずれば８回にて了るべく、又人数を４名減じ各人毎回の運搬数を１０個増せば１０回を要すべしといふ。人夫の数及び弾丸の数を問ふ。

（現在の日本語に直した問題文）　いくつかの弾丸を、何人かで、ある地点まで運ぶ。各人が各回、ある一定の数を運ぶなら、往復９回かかる。もし人数を７名増し、各人の毎回の運搬数を２０個減らすと、８回で終わる。また、もし人数を４名減らして、各人の毎回の運搬数を１０個増すと、１０回を要する。もとの人数と、弾丸の総数を求めよ。

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解答　（私が作成）

もとの人数をｘ人、もとの１人１回あたりの運搬数をｙコとすると、ｘは４以上の整数、ｙは２０以上の整数で、条件より、

　９ｘｙ＝８（ｘ＋７）（ｙ－２０）

　９ｘｙ＝１０（ｘ－４）（ｙ＋１０）

∴　ｘｙ＋１６０ｘ－５６ｙ＋１１２０＝０　・・・①

　ｘｙ＋１００ｘ－４０ｙ－４００＝０　・・・②

①－②：　６０ｘ－１６ｙ＋１５２０＝０

　∴　１５ｘ－４ｙ＋３８０＝０　・・・③

不定方程式③を満たす１組の解として、（ｘ，ｙ）＝（４，１１０）がすぐ見つかるので、

　１５×４－４×１１０＋３８０＝０　・・・④

③－④：　１５（ｘ－４）－４（ｙ－１１０）＝０

　∴　１５（ｘ－４）＝４（ｙ－１１０）　・・・⑤

もとの条件である①かつ②は、②かつ③と同値（つまり必要十分）であり、③と⑤は論理的に同等の数式。

結局、条件式は、②かつ⑤と考えてよい。ただし、ｘは４以上の整数、ｙは２０以上の整数。

⑤の右辺は４の倍数だから、左辺も４の倍数。よって、ｘは４の倍数のはず。そこで、⑤にｘ＝４，８，１２，・・・を代入してｙを求め、そのｘとｙで②が成立するかどうかを調べる。

　ｘ＝４，ｙ＝１１０　　　②は不成立

　ｘ＝８，ｙ＝１２５　　　　不成立

ｘ＝１２，ｙ＝１４０　　　　不成立

ｘ＝１６，ｙ＝１５５　　　　不成立

ｘ＝２０，ｙ＝１７０　　　　不成立

ｘ＝２４，ｙ＝１８５　　　　不成立

ｘ＝２８，ｙ＝２００　　　　成立

（28×200＋100×28－40×200－400＝０）

ｘ＝３２，ｙ＝２１５　　　　不成立

ｘ＝３６，ｙ＝２３０　　　　不成立

ここで、②を変形すると、（ｘ－４０）（ｙ＋１００）＝－３６００

両辺の符号はマイナスだから、ｘ－４０＜０　　∴　ｘ＜４０

よって、ｘ≧４０の場合はすべて不適で、これ以上、代入して調べる必要はない。

したがって、ｘ＝２８，ｙ＝２００であり、

もとの人夫は２８人。　・・・（答）

また、弾丸の総数は、

９ｘｙ＝９×２８×２００

　　＝５０４００個。　・・・（答）

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現在だと、この種の問題の条件は不等式のことも多いけど、ここでは等式になっている。２変数で等式２本の整数問題（連立方程式）だから、簡単そうにも見えるけど、弾丸の個数が多いので意外と面倒。

その点を考えると、本の模範解答（下図）のように、代入法で１文字消去した方が良いかも知れない。ただ、私としては、現在の不定方程式の解き方を応用する方法を選択した。整数問題では、因数分解や、具体的な数の代入が有効なことが多いので。「研究」と名付けられた解説を読むと、計算練習や計算能力の大切さが強調されてた。

なお、上図で、「（３）ニ代入」が「（３）代入」と書いてあったり、「２８」が「３」に見えたり、「５０４００」が「５０　００」に見えたりしているので、念のため。

負（マイナス）の数のことを「原数」と書いてるのは、おそらく「減数」の誤植だと思うけど、この言葉を検索してもなかなかヒットしない。古すぎる言葉だからか、あるいは、この解答作成者の独自の言葉づかいなのかも。

以前の海軍兵学校の問題も含めて、１００年前の受験生たちも優秀だったことが実感できたし、数学の基本は不変だとあらためて確認できた。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２１４２字）