陸上１００ｍ走のタイム（時間）とストライド（歩幅）、ピッチ（歩数）の関係～２０２１年・大学入学共通テスト・数学ⅠＡ・第２問〔１〕

今年はコロナのせいで例年より忙しくて、丸２日遅れになってしまったけど、一応、センター試験・・じゃなくて大学入学共通テストの数学の記事を書いとこう。

とにかく今、時間が無いので、小問１つだけ。数学好きの市民ランナーで、元・陸上部としてはやはり、ランニングの最適化理論に目が留まる。まあ、机上の空論かも知れないけど♪

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自分で走ってみればすぐ分かるように、ストライド（歩幅）とピッチ（歩数）の関係は微妙で、特に本気で走る時は、そう簡単に最高の組合せにできるものではない。

ストライドを伸ばすと、足腰への負荷が大きくなって、ダメージがやがて故障につながる。足の裏、足首、ふくらはぎ、膝、太腿、腰。

逆にピッチを上げると、心肺に負荷がかかってなかなか続かないし、ストライドが予想以上に縮んでしまう。ストライドにせよ、ピッチにせよ、意図的に変化させるとどうしても走りのバランスが崩れがちになる。

自転車のギア選択と足の回転数の関係と少し似てるけど、陸上の方が足腰への負荷が高いのは間違いない。というわけで、今回のテストの問題は、陸上競技の現実とはかなり違ってるのだ。

では、例によって河合塾で数学Ⅰ・Ａの問題を頂いて、解説してみよう。必答問題の第２問、〔１〕。

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解答（１）　（平均速度：１秒あたりの進む距離）

　　　＝（１秒あたりの歩数）×（１歩あたりの進む距離）

　　　＝　（ピッチ）×（ストライド）

　　　＝　ｘｚ　・・・②（アの答）

（感想・解説）　文章の誘導に従って式を書くと、ｚｘになるはずだけど、選択肢ではｘｚ。細かい話だけど、これはｘとｚの定義が逆順だから起きてることで、意図的にせよ偶然にせよ、問題作成としてはビミョーな所。まあ、最初にストライドから話を書き始めてるし、ストライドの方が簡単（単なる長さ）だから、ストライドをｘにしたんだろう。

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　（２）　ストライドｘが０．０５大きくなると、ピッチｚが０．１小さくなるので、ｚをｘで表す１次関数の傾きは、

－０．１÷０．０５＝－２

　また、この関数は点（ｘ，ｚ）＝（２．１０，４．６０）を通るから、

　ｚ＝－２（ｘ－２．１０）＋４．６０

　　＝－２ｘ＋８．８

　　＝－２ｘ＋４４／５　・・・②　（イウエオの答）

ピッチｚが最大値４．８の時、

　４．８＝－２ｘ＋８．８

　∴　ｘ＝２．００

　∴　２．００ ≦ ｘ ≦ ２．４０　・・・（カキクの答）

（感想・解説）　小数と分数が混ざってるし、小数第２位まで無理やり書くので、ちょっとやりにくい。参考のためのグラフも書きにくい。これは適度なヒネリで、いいと思う。

どうして小数第２位まで考えてるかというと、本来ならストライドは身長と同じく、ｃｍ単位で測る。ところがそれだと３ケタの大きな整数になってしまうし、１００ｍという距離と単位が変わってしまうので、ストライドをｍ単位で小数第２位までにして、ピッチと合わせてるわけだ。

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ｙ＝ｘｚとおいて、②のｚ＝－２ｘ＋８．８を代入すると、

ｙ＝ｘ（－２ｘ＋８．８）

　＝－２ｘ²＋８．８ｘ

　＝－２（ｘ－２．２）²＋９．６８

２．２はｘの範囲に入っているので、

ｙの最大値を与えるｘは、２．２０　・・・（ケコサの答）

この時、（ピッチ）ｚ＝－２×２．２＋８．８

　　　　　　　　　　＝４．４０　・・・（シスセの答）

さらに、①式より、

（タイム）＝１００／ｘｚ

　　　　　＝１００／（２．２×４．４）

　　　　　＝１００／９．６８

　　　　　＝５０００／４８４

　　　　　＝１２５０／１２１

　　　　　＝１０．３３０・・・

よって、タイムの値は、選択肢③。　・・・（ソの答）

（感想・解説）　最後がかなりキレイな小数第２位までのタイムになってて、しかも現実的なトップクラスのタイムになってる辺りは、流石に上手い問題作成。たぶん、何度も作り直したはず♪　９秒台だと、まだ日本人は滅多に出せないし、１１秒台だと遅すぎて、最速タイムとしてピンと来ない。

こんな速いタイム、ほとんどの人は出せないけど、メディアで報道されてる１００ｍ走の値はこのくらいが圧倒的に多い。多くの受験生にとって、わりと馴染んでる数字だろう。

理論的には簡単な１次関数と２次関数の問題だけど、小数・分数も、文章の長さもちょっと面倒だから、難易度も適度。全体的に良問だと思う。

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なお、河合塾の分析では、「問題文が長く、初めて見る用語や関係式に対応して上手に立式できるかがポイント」とのこと。そうか。ストライドとかピッチは「初めて見る用語」なわけか♪

ちなみに当サイトのランニングの記事でそうした言葉を使う時には、基本的に「ストライド（歩幅）」、「ピッチ（歩数）」と書いてる。どうも、適切な執筆方法らしい♪　もちろん、「１歩あたりの」とか「１秒あたりの」という言葉はフツー、省略するわけだ。

数学Ⅰ・Ａ全体の平均点予想は、難しかった去年よりは６点も上がってるけど、５８点だから、低めになって。さて、実際はどうか。

ともあれ、受験生の皆さん、コロナで大変な中、どうもお疲れさま♪　ではまた。。☆彡

　　　　　　　　（計　２０５１字）