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1と0のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察~開成中学2021年入試、算数・問題3の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載(の)ってました(21年2月6日)。SAPIX(サピックス)の全面広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚HPも同様です。

   

そこで最後の第3問、1と0が書かれたカードゲームの問題だけ解説してみましょう。難しいというより、面倒で間違えやすい問題。

   

単純そうにも見えるルールですが、審判のカードの扱い方にヒネリが入ってて、少しずつ正確に考える必要があります。1度間違えるだけ、1ヶ所ミスするだけで、最後の答が違って来ます。

    

ちなみにこのブログでは、過去の開成中や灘中、桜蔭中についても記事を書いてます。下の通りで、他にも算数・数学の記事は多数あります。

   

 小屋の窓から入る太陽光と展開図~開成中2020年入試・算数・問題4の解き方  

 5人のカードゲームと背理法~開成2019入試

 三角形の相似から四角形の面積比へ~18問題1

 三角形の相似と比の応用~17入試・算数・問題3

  

 灘中学校2020年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

     

 3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中19入試

 円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭18入試

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間~16入試

 ランニング(5人のリレー)の距離~15入試

   

  

     ☆     ☆     ☆

問題文が長過ぎるので、コピペで引用させて頂きます。

  

210214x

   

210214y

   

210214z

   

   

解答と正解

(1) 全体のカードの様子をまとめると、下図の流れになる。例えば1回目の操作が終わった直後の様子を➀と書く。審判のカードは「審」、スコアスペースのカードは「ス」と書く。

   

210214a

   

210214b

   

上図の④より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、0101。 ・・・正答

  

  

(2) (1)と同様に、操作の流れを図にすると、下の通り。

  

210214c

  

210214d

  

210214e

  

上図の⑥より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、011010。 ・・・正答

  

  

(3) B君が勝ちで得点が6点ということは、全部で6回の操作すべてでスコアカードに1が置かれて、最後に審判に渡されたのは0のカード2枚ということである。B君の札を左から「あいうえおか」と表して、右端の「か」から順に調べて行く。

  

210214f

   

上図より、「1」「か」「0」が、「0」「0」「1」になるので、「か」は0

  

210214g

   

次に上図より、「お」は1

  

210214h0

   

さらに上図より、「え」も1。さて、ここまでの前半3回、つまり全体の右半分の操作をまとめると、下のような流れになっている。「えおか」は110と書き直してある。

   

210214h-s

   

上図から、左半分も同じ流れだと分かる。つまり、「あいう」=「えおか」=110。後半3回は、下図のようになるはず。

  

210214is

   

したがって、B君の手札「あいうえおか」は、110110。 ・・・正答

   

  

(4) (3)の考察より、全6回の操作の半分、3回に注目してみる。B君の持ち札の半分は、全部で8通り考えられる。

  

まず、Bの半分が101の時は、問題文より、下図の通り。スコアスペース(の半分)は110

   

210214j

  

次に、Bの半分が001の時は、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは010

 

210214k

   

続いて、Bの半分が010の時も、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは011

  

210214l

  

さらに、Bの半分が110の時は、(3)の解答より下図の通り。スコアスペースは111

  

210214m

  

Bの半分が011の時は、下図のように、スコアスペースは100

    

210214o

  

Bの半分が000の時は、下図のように、スコアスペースは001

  

210214p

  

Bの半分が100の時は、下図のように、スコアスペースは101

  

210214q

  

最後に、Bの半分が111の時だけ変則的になる。スコアスペースは000で、審判に最後に渡されるのは11

  

210214r

   

以上、全部で8通りをまとめ直すと、下のようになる。ただし、どれも審判の最初の札は0と仮定してある。

  

Bの半分 000 001 010 011 100 101 110  111  

 スコア 001 010 011 100 101 110 111  000(審判11)

   

Bが111の時を除くと、スコアはどれも1点以上。よって、もしBの札全体のどちらか半分に111が入ってないとすると、スコアは合計2点以上になってしまう。よって、Bの札全体のどちらか半分には111が入っている。

  

111が左半分だけに入っている場合、最後はA君の勝ちになってしまうので、111少なくとも右半分には入っている。左半分は全部で8通りで、Bの左半分が000か010だと、操作の後半は下の通り。Bの勝ち、得点1点となる。

     

210214s

  

210214t

   

Bの札の左半分が上の2つ以外だと、条件に合わない。下図の通り。

  

210214u

   

210214v

   

210214w

  

210214x2

  

210214y2

  

210214z2

  

以上、まとめると、Bの右半分が111の時、左半分の変化は下の通り。

  

Bの左半分 000 001 010 011 100 101  110     111 

 スコア  1点  2点  1点  2点  2点  3点  0点(A勝ち) 1点(A勝ち)

 

したがって、B君が勝ちで得点が1点になるのは2通りのみ

右半分は111だったから、持ち札は、000111、または、010111。 ・・・正答

  

  

(5) B君が勝ちで得点が2点になるのは、B君の札のどちらか半分に111が入っているものだと、(4)の解答より、001111、011111、100111の3通り

   

また、B君の札の半分に111が入ってないものだと、(4)の解答より、得点1点の000、001、011を左右に組み合わせたものになる。よって、3×3=9通り

  

したがって、B君が勝ちで得点が2点になるのは、3+912(通り)。 ・・・正答

   

   

     ☆     ☆     ☆

マジメに書くと、このくらい長い記事になります。学習塾や参考書、問題集の解答だと、かなり省くのが普通でしょう。

  

実際の試験場では、説明が要らないので、全ての場合を正確に計算するだけでも解けます。Bの持ち札は6枚で、1か0だから、全部で2×2×2×2×2×2=64通りの計算

  

それらの内、明らかに問題の条件に合ってないと分かれば、途中で止めればいいので、速い小学生なら15分~20分で計算終了。それで(2)~(5)の答は出ます。

    

何か、もっと上手い方法もあるような気がしますが、今のところ思いつきません。Bの札6枚を3枚ずつに分けて考えるのがコツとか攻略法でしょう。ただし、審判の札に注意して。

  

なお、今週は計15728字で終了。ではまた来週。。☆彡   

   

       (計 3734字)

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