１と０のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察～開成中学２０２１年入試、算数・問題３の解き方

（☆２２年の追記：　関連する最新記事を別にアップ。

　マス目をぬる暗号の作り方は何種類か（高校・大学の３項間漸化式）～開成中２２年入試、算数・問題３の解き方　）

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今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載（の）ってました（２１年２月６日）。ＳＡＰＩＸ（サピックス）の全面広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚ＨＰも同様です。

そこで最後の第３問、１と０が書かれたカードゲームの問題だけ解説してみましょう。難しいというより、面倒で間違えやすい問題。

単純そうにも見えるルールですが、審判のカードの扱い方にヒネリが入ってて、少しずつ正確に考える必要があります。１度間違えるだけ、１ヶ所ミスするだけで、最後の答が違って来ます。

ちなみにこのブログでは、過去の開成中や灘中、桜蔭中についても記事を書いてます。下の通りで、他にも算数・数学の記事は多数あります。

　小屋の窓から入る太陽光と展開図～開成中２０２０年入試・算数・問題４の解き方 　

　５人のカードゲームと背理法～開成２０１９入試

　三角形の相似から四角形の面積比へ～１８問題１

　三角形の相似と比の応用～１７入試・算数・問題３

　灘中学校２０２０年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

　３人のゲームトーナメント、変わった時計～桜蔭中１９入試

　円と正方形、１０個重ねて作る図形の面積～桜蔭１８入試

　３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、距離と時間～１６入試

　ランニング（５人のリレー）の距離～１５入試

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問題文が長過ぎるので、コピペで引用させて頂きます。

解答と正解

（１）　全体のカードの様子をまとめると、下図の流れになる。例えば１回目の操作が終わった直後の様子を➀と書く。審判のカードは「審」、スコアスペースのカードは「ス」と書く。

上図の④より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、０１０１。　・・・正答

（２）　（１）と同様に、操作の流れを図にすると、下の通り。

上図の⑥より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、０１１０１０。　・・・正答

（３）　Ｂ君が勝ちで得点が６点ということは、全部で６回の操作すべてでスコアカードに１が置かれて、最後に審判に渡されたのは０のカード２枚ということである。Ｂ君の札を左から「あいうえおか」と表して、右端の「か」から順に調べて行く。

上図より、「１」「か」「０」が、「０」「０」「１」になるので、「か」は０。

次に上図より、「お」は１。

さらに上図より、「え」も１。さて、ここまでの前半３回、つまり全体の右半分の操作をまとめると、下のような流れになっている。「えおか」は１１０と書き直してある。

上図から、左半分も同じ流れだと分かる。つまり、「あいう」＝「えおか」＝１１０。後半３回は、下図のようになるはず。

したがって、Ｂ君の手札「あいうえおか」は、１１０１１０。　・・・正答

（４）　（３）の考察より、全６回の操作の半分、３回に注目してみる。Ｂ君の持ち札の半分は、全部で８通り考えられる。

まず、Ｂの半分が１０１の時は、問題文より、下図の通り。スコアスペース（の半分）は１１０。

次に、Ｂの半分が００１の時は、（２）の解答より下図の通り。スコアスペースは０１０。

続いて、Ｂの半分が０１０の時も、（２）の解答より下図の通り。スコアスペースは０１１。

さらに、Ｂの半分が１１０の時は、（３）の解答より下図の通り。スコアスペースは１１１。

Ｂの半分が０１１の時は、下図のように、スコアスペースは１００。

Ｂの半分が０００の時は、下図のように、スコアスペースは００１。

Ｂの半分が１００の時は、下図のように、スコアスペースは１０１。

最後に、Ｂの半分が１１１の時だけは変則的になる。スコアスペースは０００で、審判に最後に渡されるのは１１。

以上、全部で８通りをまとめ直すと、下のようになる。ただし、どれも審判の最初の札は０と仮定してある。

Ｂの半分　０００　００１　０１０　０１１　１００　１０１　１１０　　１１１　　

　スコア　００１　０１０　０１１　１００　１０１　１１０　１１１　　０００（審判１１）

Ｂが１１１の時を除くと、スコアはどれも１点以上。よって、もしＢの札全体のどちらか半分に１１１が入ってないとすると、スコアは合計２点以上になってしまう。よって、Ｂの札全体のどちらか半分には１１１が入っている。

１１１が左半分だけに入っている場合、最後はＡ君の勝ちになってしまうので、１１１は少なくとも右半分には入っている。左半分は全部で８通りで、Ｂの左半分が０００か０１０だと、操作の後半は下の通り。Ｂの勝ち、得点１点となる。

Ｂの札の左半分が上の２つ以外だと、条件に合わない。下図の通り。

以上、まとめると、Ｂの右半分が１１１の時、左半分の変化は下の通り。

Ｂの左半分　０００　００１　０１０　０１１　１００　１０１　　１１０　　　　　１１１　

　スコア　　１点　　２点　　１点　　２点　　２点　　３点　　０点（Ａ勝ち）　１点（Ａ勝ち）

したがって、Ｂ君が勝ちで得点が１点になるのは２通りのみ。

右半分は１１１だったから、持ち札は、０００１１１、または、０１０１１１。　・・・正答

（５）　Ｂ君が勝ちで得点が２点になるのは、Ｂ君の札のどちらか半分に１１１が入っているものだと、（４）の解答より、００１１１１、０１１１１１、１００１１１の３通り。

また、Ｂ君の札の半分に１１１が入ってないものだと、（４）の解答より、得点１点の０００、００１、０１１を左右に組み合わせたものになる。よって、３×３＝９通り。

したがって、Ｂ君が勝ちで得点が２点になるのは、３＋９＝１２（通り）。　・・・正答

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マジメに書くと、このくらい長い記事になります。学習塾や参考書、問題集の解答だと、かなり省くのが普通でしょう。

実際の試験場では、説明が要らないので、全ての場合を正確に計算するだけでも解けます。Ｂの持ち札は６枚で、１か０だから、全部で２×２×２×２×２×２＝６４通りの計算。

それらの内、明らかに問題の条件に合ってないと分かれば、途中で止めればいいので、速い小学生なら１５分～２０分で計算終了。それで（２）～（５）の答は出ます。

何か、もっと上手い方法もあるような気がしますが、今のところ思いつきません。Ｂの札６枚を３枚ずつに分けて考えるのがコツとか攻略法でしょう。ただし、審判の札に注意して。

なお、今週は計１５７２８字で終了。ではまた来週。。☆彡　　　

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　　（追記７９字　；　合計３８１３字）