1と0のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察~開成中学2021年入試、算数・問題3の解き方
(☆22年の追記: 関連する最新記事を別にアップ。
マス目をぬる暗号の作り方は何種類か(高校・大学の3項間漸化式)~開成中22年入試、算数・問題3の解き方 )
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今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載(の)ってました(21年2月6日)。SAPIX(サピックス)の全面広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚HPも同様です。
そこで最後の第3問、1と0が書かれたカードゲームの問題だけ解説してみましょう。難しいというより、面倒で間違えやすい問題。
単純そうにも見えるルールですが、審判のカードの扱い方にヒネリが入ってて、少しずつ正確に考える必要があります。1度間違えるだけ、1ヶ所ミスするだけで、最後の答が違って来ます。
ちなみにこのブログでは、過去の開成中や灘中、桜蔭中についても記事を書いてます。下の通りで、他にも算数・数学の記事は多数あります。
小屋の窓から入る太陽光と展開図~開成中2020年入試・算数・問題4の解き方
5人のカードゲームと背理法~開成2019入試
三角形の相似から四角形の面積比へ~18問題1
三角形の相似と比の応用~17入試・算数・問題3
灘中学校2020年入試、算数の図形問題の解き方、考え方
3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中19入試
円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭18入試
3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間~16入試
ランニング(5人のリレー)の距離~15入試
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問題文が長過ぎるので、コピペで引用させて頂きます。
解答と正解
(1) 全体のカードの様子をまとめると、下図の流れになる。例えば1回目の操作が終わった直後の様子を➀と書く。審判のカードは「審」、スコアスペースのカードは「ス」と書く。
上図の④より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、0101。 ・・・正答
(2) (1)と同様に、操作の流れを図にすると、下の通り。
上図の⑥より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、011010。 ・・・正答
(3) B君が勝ちで得点が6点ということは、全部で6回の操作すべてでスコアカードに1が置かれて、最後に審判に渡されたのは0のカード2枚ということである。B君の札を左から「あいうえおか」と表して、右端の「か」から順に調べて行く。
上図より、「1」「か」「0」が、「0」「0」「1」になるので、「か」は0。
次に上図より、「お」は1。
さらに上図より、「え」も1。さて、ここまでの前半3回、つまり全体の右半分の操作をまとめると、下のような流れになっている。「えおか」は110と書き直してある。
上図から、左半分も同じ流れだと分かる。つまり、「あいう」=「えおか」=110。後半3回は、下図のようになるはず。
したがって、B君の手札「あいうえおか」は、110110。 ・・・正答
(4) (3)の考察より、全6回の操作の半分、3回に注目してみる。B君の持ち札の半分は、全部で8通り考えられる。
まず、Bの半分が101の時は、問題文より、下図の通り。スコアスペース(の半分)は110。
次に、Bの半分が001の時は、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは010。
続いて、Bの半分が010の時も、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは011。
さらに、Bの半分が110の時は、(3)の解答より下図の通り。スコアスペースは111。
Bの半分が011の時は、下図のように、スコアスペースは100。
Bの半分が000の時は、下図のように、スコアスペースは001。
Bの半分が100の時は、下図のように、スコアスペースは101。
最後に、Bの半分が111の時だけは変則的になる。スコアスペースは000で、審判に最後に渡されるのは11。
以上、全部で8通りをまとめ直すと、下のようになる。ただし、どれも審判の最初の札は0と仮定してある。
Bの半分 000 001 010 011 100 101 110 111
スコア 001 010 011 100 101 110 111 000(審判11)
Bが111の時を除くと、スコアはどれも1点以上。よって、もしBの札全体のどちらか半分に111が入ってないとすると、スコアは合計2点以上になってしまう。よって、Bの札全体のどちらか半分には111が入っている。
111が左半分だけに入っている場合、最後はA君の勝ちになってしまうので、111は少なくとも右半分には入っている。左半分は全部で8通りで、Bの左半分が000か010だと、操作の後半は下の通り。Bの勝ち、得点1点となる。
Bの札の左半分が上の2つ以外だと、条件に合わない。下図の通り。
以上、まとめると、Bの右半分が111の時、左半分の変化は下の通り。
Bの左半分 000 001 010 011 100 101 110 111
スコア 1点 2点 1点 2点 2点 3点 0点(A勝ち) 1点(A勝ち)
したがって、B君が勝ちで得点が1点になるのは2通りのみ。
右半分は111だったから、持ち札は、000111、または、010111。 ・・・正答
(5) B君が勝ちで得点が2点になるのは、B君の札のどちらか半分に111が入っているものだと、(4)の解答より、001111、011111、100111の3通り。
また、B君の札の半分に111が入ってないものだと、(4)の解答より、得点1点の000、001、011を左右に組み合わせたものになる。よって、3×3=9通り。
したがって、B君が勝ちで得点が2点になるのは、3+9=12(通り)。 ・・・正答
☆ ☆ ☆
マジメに書くと、このくらい長い記事になります。学習塾や参考書、問題集の解答だと、かなり省くのが普通でしょう。
実際の試験場では、説明が要らないので、全ての場合を正確に計算するだけでも解けます。Bの持ち札は6枚で、1か0だから、全部で2×2×2×2×2×2=64通りの計算。
それらの内、明らかに問題の条件に合ってないと分かれば、途中で止めればいいので、速い小学生なら15分~20分で計算終了。それで(2)~(5)の答は出ます。
何か、もっと上手い方法もあるような気がしますが、今のところ思いつきません。Bの札6枚を3枚ずつに分けて考えるのがコツとか攻略法でしょう。ただし、審判の札に注意して。
なお、今週は計15728字で終了。ではまた来週。。☆彡
(計 3734字)
(追記79字 ; 合計3813字)
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