歩行者と自転車、移動と停止の折れ線グラフと数列の連立漸化式～２０２２年・共通テスト・数学ⅡＢ・第４問

令和４年の大学入学共通テストが終了して、１週間が経過。数学Ⅱ・Ｂの平均点は、中間集計だと１００点満点で４６点。数学Ⅰ・Ａの４０点ほどではないけど、かなり低い点数になってて、ネットでも難しかったという情報が多かった。下は大学入学センターＨＰより、１月１９日の発表ｐｄｆ。数学ⅡＢの受験者数は１４万人弱。

どのくらい難しかったのか、数学好きとしては興味があるので、ⅡＢでも１問だけ記事にしとこう。解答と解説・感想。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

個人的に、ランニング・ウォーキング・自転車が趣味なので、やはり第４問に目が行く。選択問題、配点２０点。

一見、非常に変な設定で意味不明だけど、２０ｋｍとか５０ｋｍとか、長距離の個人的ウォーキングの補給を身内が自転車でやってると思えば、一応の筋は通る。スポーツドリンクとか、軽い食べ物とか。ウェアや雨具の受け渡しもあり。

新型コロナで普通の大会はほぼ中止が続いてるから、個人で地道に運動する人が多いのだ。ひょっとすると出題者は、長距離の散歩かジョギングが趣味なのかも。私も去年と一昨年は、１人でフルマラソンを走ってるから、誰か補給してくれればな・・とか思う気持ちはよくわかる。

ちなみに、試験終了後すぐアップしてある数学ⅠＡの記事は次の通り。他に、国語の小説記事も２本アップしてある。

　共通パラメーターを持つ２次方程式・２次関数のグラフ・２次不等式の関係と必要十分条件～２０２２年・共通テスト・数学ⅠＡ・第２問〔１〕　

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（１）　解答

最初、歩行者の直線の式は、ｙ＝ｘ。

また、点（２，０）を通る自転車の直線（右側）の式は、ｙ＝２（ｘ－２）

連立して、交点の座標を求めると、

　ｘ＝２（ｘ－２）　　∴　ｘ＝４　　∴　ｙ＝４　・・・アの答

よって、そこから右に１だけ進んだ点（自転車が歩行者と別れて自宅に戻り始める時）の座標は、（５，４）。

そこを通る自転車の直線（右側）の式は、ｙ＝－２（ｘ－５）＋４＝－２ｘ＋１４。

よって、ｘ切片（ｘ軸との交点のｘ座標）では、－２ｘ＋１４＝０　　∴　ｘ＝７

よって、ａ₂＝７＋１＝８　・・・イの答

また、自転車と別れる点（５，４）より右側の歩行者の直線の式は、

ｙ＝１（ｘ－５）＋４＝ｘ－１

よって、ｘ＝ａ₂＝８における歩行者のｙ座標は、

ｂ₂＝８－１＝７　・・・ウの答

（解説・感想）　上では図形の式と方程式できっちり解いたが、試験場なら、図を見て直感的にすぐ数値を見抜く方が速い。マークシート試験の基本戦略の１つ。数直線の図が無いので、ｘｙ平面のｘ軸（時刻）と混同した人もいるはず。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

　　　

点（ａn，０）を通る自転車の直線（右側）の式は、ｙ＝２（ｘ－ａn）＝２ｘ－２ａn

点（ａn，ｂn）を通る歩行者の直線（右側）の式は、ｙ＝１（ｘ－ａn）＋ｂn＝ｘ－ａn＋ｂn

連立して、交点の座標を求めると、

２ｘ－２ａn＝ｘ－ａn＋ｂn　　∴　ｘ＝ａn＋ｂn　・・・エの答

ｙ＝（ａn＋ｂn）－ａn＋ｂn＝２ｂｎ　・・・オの答

（別解：　本当は、自転車が点（ａn，０）で歩行者が点（ａn，ｂn）だから、自転車が追いつくまでに時間ｂｎかかると考えた方が速い。追いつく点のｘ座標は、ａｎ＋ｂn。追いつくまでに歩行者はｂn進むから、追いつく点のｙ座標はｂn＋ｂn＝２ｂn。これは花子さんの考えの応用。）

上で求めた交点のすぐ右側の点は、（ａn＋ｂn＋１，２ｂn）。

そこを通る自転車の直線（右側）の式は、

ｙ＝－２｛ｘ－（ａn＋ｂn＋１）｝＋２ｂn＝－２ｘ＋２ａn＋４ｂn＋２

よって、ｘ切片では、０＝－２ｘ＋２ａn＋４ｂn＋２

　∴　ｘ＝ａn＋２ｂn＋１

したがって、ａn₊₁＝ａn＋２ｂn＋２　・・・カ、キの答

また、点（ａn＋ｂn＋１，２ｂn）を通る歩行者の直線（右側）の式は、

ｙ＝１｛ｘ－（ａn＋ｂn＋１ ）｝＋２ｂn＝ｘ－ａn＋ｂn－１

ｘ＝ａn＋２ｂn＋２とおいて、ｂn₊₁を求めると、

ｂn₊₁ ＝（ａn＋２ｂn＋２）－ａn＋ｂn－１ ＝３ｂn＋１　・・・クの答

ｂn₊₁＋１／２＝３（ｂn＋１／２）

∴　ｂn＋１／２＝（３のｎ－１乗）×（ｂ₁＋１／２）＝（５／２）（３のｎ－１乗）

∴　ｂn＝（５／２）（３のｎ－１乗） －１／２

よって、ケの答は、７。

数列｛ａn｝の漸化式にｂnの一般項の式を代入すると、

ａn₊₁＝ａn＋２｛（５／２）（３のｎ－１乗） －１／２ ｝＋２

　　　＝ａｎ＋５（３のｎ－１乗）＋１

よって、階差数列の一般項は、　ａn₊₁－ａn＝ ５（３のｎ－１乗）＋１

∴　ａn＝ａ₁＋Σ｛５（３のｋ－１乗）＋１ ｝　（ｋ＝１からｎ－１まで）

　　　＝２＋５｛（３のｎ－１乗）－１｝／（３－１）＋（ｎ－１）

　　　＝（５／２）｛（３のｎ－１乗）－１｝ ＋ｎ＋１

　　　＝（５／２）（３のｎ－１乗） ＋ｎ－３／２

よって、コの答は、９。

（解説・感想）

誘導や選択肢があるとはいえ、共通テストの配点２０点の問題としては確かに難しい。２０点ということは、時間配分は１２分間しかないし、問題を読むだけでも時間がかかってしまう。ｂnはともかく、ａnを試験場で正確に求めるのは大変だろう。

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（２）　（解答）

ｂ₅＝（５／２）（３の４乗） －１／２ ＝（５／２）×８１－１／２＝２０２

ｂ₆＝（５／２）（３の５乗） －１／２ ＝（５／２）×２４３－１／２　＞　３００

よって、ｂn＝（５／２）（３のｎ－１乗） －１／２が初めて３００以上になるのは、ｎ＝６の時。

その直前について調べてみる。

ａ₅＝（５／２）（３の４乗） ＋５－３／２＝２０６

点（２０６，０）を通る自転車の直線（右側）の式は、

ｙ＝２（ｘ－２０６）＝２ｘ－４１２

また、（ａ₅，ｂ₅）＝（２０６，２０２）を通る歩行者の直線（右側）の式は、

ｙ＝１（ｘ－２０６）＋２０２＝ｘ－４

両式を連立して交点の座標を求めると、

２ｘ－４１２＝ｘ－４　　∴　ｘ＝４０８　　ｙ＝４０４

（別解：　（交点のｘ）＝２０６＋２０２＝４０８。（交点のｙ）＝２０２＋２０２＝４０４　）

これは既に、歩行者がｙ＝３００の位置に到着した後。

したがって、歩行者がｙ＝３００の位置に到着するまでに、自転車が歩行者に追いつく回数は、４回。　・・・サの答

さらに、ａ₄＝（５／２）（３の３乗） ＋４－３／２＝７０

　ｂ₄＝（５／２）（３の３乗） －１／２＝６７

点（７０，０）を通る自転車の直線（右側）の式は、

　ｙ＝２（ｘ－７０）＝２ｘ－１４０

点（７０，６７）を通る歩行者の直線（右側）の式は、

　ｙ＝１（ｘ－７０）＋６７＝ｘ－３

連立して、交点のｘ座標を求めると、

２ｘ－１４０＝ｘ－３　　∴　ｘ＝１３７　・・・シスセの答

（別解：　（交点のｘ）＝７０＋６７＝１３７　）

（解説・感想）

やはり、これをわずか１２分間で試験場で完答するのは難しい。たぶん、ａnの式以降が出来なかった学生が大部分だろうし、それが出来たとしても、サの答をうっかり５としてしまうミスが多かったと思う。

配点２０点の内、３点＋２点＋２点で７点失うか、４点失うか。最難関の大学を目指す受験生の多くは、満点を目指してただろうから、試験直後にはショックを受けたはず。泣き出した受験生がいたとかいう目撃情報は事実だろう。

とはいえ、条件はみんな同じで、全体の出来も良くなかったのだから、あまり気にしなくていい。ただし、来年の出題者はこの厳しい結果をフィードバックして、多少は問題を簡単にするべきだ。

自暴自棄になった学生は、何をするか分からない。そう、まざまざと教えてくれたのも、今回の共通テストだった。まさかの刺傷事件のショックで実力を十分発揮できなかった学生も、少なからずいるはず。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　（計　３０８４字）