共通パラメーターを持つ２次方程式・２次関数のグラフ・２次不等式の関係と必要十分条件～２０２２年・共通テスト・数学ⅠＡ・第２問〔１〕

完全に忘れていたが、いま確認すると、去年の大学入学共通テストの数学ⅠＡでも第２問〔１〕を記事にしてた。問題作成者の共通了解として、ここがこだわりのある出題箇所ということか。

河合塾の分析では、次のように書かれてた。「２つの２次方程式の共通解、グラフの平行移動、必要条件と十分条件など、さまざまな要素が含まれており、高い思考力が要求される問題であった。（２）（３）が（４）を解くためのヒントになっているが気づきにくい」。

私の感覚だと、やや誇張された評価にも感じるが、センター試験とか共通テストの中では確かにハイレベルな部類。そもそもアプリなしの手書きでパラメーター付き２次関数のグラフを２つ、連動させるという作業はあまりやらない面倒なことだ。特に試験会場で短い時間に追われながらだと大変だろう。

では以下、少しずつ解説していく。しばらく使ってなかったが、定番の関数グラフアプリ「ＧＲＡＰＥＳ」を利用させて頂いた。作者の友田勝久氏に感謝。もちろん、自分で解く際にはアプリは使わず、手書きで色々と大まかに書いて考えた。

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（１）（解答）

　ｐ＝４、ｑ＝－４のとき、

　①　ｘ²＋４ｘ－４＝０　　

　②　ｘ²－４ｘ＋４＝０

①は異なる２つの実数解を持ち、そのどちらも、②のただ１つの実数解（重解）ｘ＝２とは一致しない。よって、①または②を満たす実数ｘの個数は、ｎ＝３　・・・アの答

また、ｐ＝１、ｑ＝－２のとき、

　①　ｘ²＋ｘ－２＝０　　∴　ｘ＝－２，１

　②　ｘ²－２ｘ＋１＝０　　∴　ｘ＝１

よって、①または②を満たす実数ｘの個数は、ｎ＝２　・・・イの答

（感想）　軽いウォーミングアップだが、ｘ²＋４ｘ－４＝０を真面目に解いてしまうと時間のムダになる。無理数の解を書くことは避け、重解ｘ＝２ではないことだけ素早く確認するのがポイント。

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（２）（解答）

　ｐ＝－６の時、

　①´　ｘ²－６ｘ＋ｑ＝０

　②´　ｘ²＋ｑｘ－６＝０

①´②´の共通の解αが存在すると仮定すると、

　③　α²－６α＋ｑ＝０

　④　α²＋ｑα－６＝０

③－④：－（ｑ＋６）α＋ｑ＋６＝０　　∴　（ｑ＋６）（－α＋１）＝０　

ここで、ｑ＋６＝０とすると、ｑ＝－６で、①´②´は同じ方程式になってしまうから、ｎ＝３にはならない。

よって、ｑ≠－６かつ、α＝１。

これを①´②´に代入すると、どちらも　－５＋ｑ＝０になり、ｑ＝５。

これを①´②´に代入すると、

　①´´　ｘ²－６ｘ＋５＝０　　∴　ｘ＝１，５

　②´´　ｘ²＋５ｘ－６＝０　　∴　ｘ＝－６，１

よって、ｑ＝５の時、確かにｎ＝３となる。

一方、①´②´に共通の実数解がない場合にｎ＝３となるのは、一方が重解で、それが他方の異なる２つの実数解と一致しない時。

②´は重解を持たないから、①´が重解を持つ。この時、①´はｘ²－６ｘ＋９＝０。∴　ｑ＝９。重解はｘ＝３。

すると②´は　ｘ²＋９ｘ－６＝０で、ｘ＝３以外の異なる２つの実数解を持つから、確かにｎ＝３となる。

以上より、　ｑ＝５，９　・・・ウ、エの答

（感想）　これは記述試験だと完答するのは困難で、ｑ＝５を完全に導くだけでも大変だろう。（ｑ＋６）（－α＋１）＝０のような方程式は、意味合いが異なる２種類の文字を含むので、論理的に正確に扱える人は少ない。 ただ、穴埋めの答だけだから、それほど難しくはなかったと思う。難関は、この後に続く問い。

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（３）（解答）

　③　ｙ＝ｘ²－６ｘ＋ｑ　のグラフは、ｑの値を増加させると、真上（ｙ軸の正の向き）に平行移動する。よって、グラフは６　・・・オの答

　④　ｙ＝ｘ²＋ｑｘ－６　のグラフは、下に凸の放物線で、頂点の座標は（－ｑ／２，（－ｑ²／４）－６）。よって、ｑの値を増加させると、グラフは大まかに見て左下に移動する。よって、選択肢の１　・・・カの答

（感想）③の動きはすぐ分かるが、④の動きは少し分かりにくい。上の解答では、頂点の座標を求めているが、これはやや遅いと思う。頂点のｘ座標が小さくなることと、ｙ切片（ｙ軸との交点のｙ座標）が－６のままであることから、左下に移動することが読み取れると速い。

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（４）（解答）

（２）のウ、エの答より、５＜ｑ＜９。

左端のｑ＝５の時は、２次方程式①´②´が共通解ｘ＝１を持つので、③④のグラフは次のようになる。③が青線、④が赤線。

ｑの値を１だけ大きくして、③ｙ＝ｘ²－６ｘ＋６と④ｙ＝ｘ²＋６ｘ－６のグラフで考えると、ＡとＢの図は下図のようになる。ｑを５より少し大きい値から連続的に９近くまで大きくすると、ＡとＢは右と左に分かれて、共有点はない。

よって、ｘ∈Ａは、ｘ∈Ｂであるための「必要条件でも十分条件でもない」。したがって、キの答は３。

また、ｘ∈Ｂは、ｘ∈（Ａの補集合）であるための「十分条件であるが、必要条件ではない」。クの答は１。

（感想・解説）　補集合との必要・十分まで問われると、受験生には重圧が加わるが、４択だから単なる勘で答える戦術もあり。ちなみに、ｑ＝９だとＡは１点ｘ＝３のみになって、さらにｑが増えるとＡは空集合になってしまう。Ａを、Ｂと同様の線分（両端なし）にするために、ｑ＜９という条件が付いてる。

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なお、第１問〔２〕の山の地図（測量）の話は、山登りや自転車（サイクリング）が趣味の人にとっては分かりやすいと思う。私は自転車ヒルクライムをやってて、１６度という角度はキツ過ぎると感じたから、花子さんの「本当に１６°なの？」という疑問ツッコミに笑った。試験場でもニヤッとしたはず♪

スキー場の短いゲレンデ（１０００ｍ前後）の斜度で考えても、１６度というのは結構な傾きだから、遥か遠くの山頂への角度としては考えにくい。それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　歩行者と自転車、移動と停止の折れ線グラフと数列の連立漸化式～２２年共通テスト・数学ⅡＢ第４問

　　　　　　　（計　２３４６字）

　　　　（追記４９字 ； 合計２３９５字）