連続する３つの整数の関係（高校・大学の三項間漸化式、不定方程式）～桜蔭中学２０２２入試問題・算数１（３）

新型コロナで混乱する中、女子の最難関と言われる桜蔭中学の入試が２月１日に行われました。いつものように、朝日新聞の朝刊（２月５日）で算数の問題を紹介。中学受験でおなじみ、ＳＡＰＩＸの全面広告です。

私の目にすぐ留まったのは、問題１の（３）。これは、見た目は全く違ってますが、もともと数学（＝中学以上の算数）では有名な話だし、男子の最難関・開成中学の入試問題３の最後と似たタイプです。要するに、連続する３つの数の間に関係があって、前の２つから次の１つが次々と決まる数の列の話。

ちなみに開成中については、既に先日、記事をアップしました。

　マス目をぬる暗号の作り方は何種類か（高校・大学の３項間漸化式）～開成中２２年入試、算数・問題３の解き方

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本来は高校や大学の数学で習う話ですが、全国トップクラスの小学生なら、ハイレベルな問題でも解いて欲しいということなのでしょう。

では、これから解き方を解説しますが、私は大人なので、小学生がどう解くのか、どう教えられてるのか、よく分かりません。中学・高校だと、分からない数をｘ（エックス）と表して、それについての等式（＝でつないだ式）を書いて、そこからｘの値を出します。方程式を解く、と呼ばれる基本的な操作です。

小学校でも、分からない数を四角で表して、その値を求めるという問題は時々あるでしょう。実際、今年（令和４年）の桜蔭の問題１（１）はこうなってました。

だから、この記事でも、分からない数をまず丸（〇）や三角（△）で表して、後でその値を求めるやり方で解いてみます。本当は、まったく違う小学校の解法もあるのかも知れません。

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（３）　次のようなルールで整数を１つずつ選んでいきます。１つ目は１以上の整数を選びます。２つ目は１つ目より大きい整数を選びます。３つ目以降は、直前に選んだ２つの数の和である数を選びます。 たとえば、１つ目の数が１、２つ目の数が２であるとき、 ３つ目の数は３、４つ目の数は５、５つ目の数は８、 ..... となります。

①　１つ目の数が２、４つ目の数が２４であったとき、２つ目の数は、〔エ〕です。

②　8つ目の数が 160 であったとき、１つ目の数は、〔オ〕、２つ目の数は〔カ〕です。

（解答）①　１つ目の数が２、２つ目の数が 〇 とすると、３つ目の数は、２＋〇。４つ目の数は、２＋２×〇。

よって、４つ目の数が２４のとき、　２＋２×〇＝２４。　だから、〇＝１１　・・・エの答

②　１つ目の数を〇、２つ目の数を△とすると、３つ目の数は、〇＋△。４つ目は、〇＋２×△。

（５つ目）＝２×〇＋３×△　。　（６つ目）＝３×〇＋５×△　。　（７つ目）＝５×〇＋８×△　。　（８つ目）＝８×〇＋１３×△。

よって、８つ目の数が１６０のとき、　８×〇＋１３×△＝１６０

この式で、△は〇より大きいので、８×〇よりも１３×△の方が大きい。したがって、１３×△は１６０の半分（＝８０）より大きいので、△は７以上。

△＝７のとき、８×〇＋９１＝１６０　　これをみたす〇は整数でない。

△＝８のとき、８×〇＋１０４＝１６０　　よって、〇＝７。確かに〇は△より小さい整数なので、〇＝７、△＝８は答の１つ。

念のため、他には答がないことを確認する。

△＝９のとき、８×〇＋１１７＝１６０　 これをみたす〇は整数でない。

△＝１０のとき、８×〇＋１３０＝１６０　 これをみたす〇は整数でない。

△＝１１のとき、８×〇＋１４３＝１６０　 これをみたす〇は整数でない。

△＝１２のとき、８×〇＋１５６＝１６０　 これをみたす〇は整数でない。

△が１３以上のとき、１３×△は１６０を超えてしまうので、不適当。

以上より、答はただ１通りのみ。　〇＝７、△＝８　・・・オ、カの答

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上の解答で、△＝８で上手く行った後、小学生なら、それを答として終わりです。どうせ、答は１通りのみだし、時間もないし、説明も書かなくていいから。

でも、高校や大学以上では、そこで止めずに、他にも答があるのではないか？、と考えることが大切。そこで実力に大きな差がつくのです。

△＝８なら「十分」、問題に合ってる。でも、△＝８は「必要」なことなのか？　実は他の△の値でもいいのではないか？　こうした考え方は、論理的な算数（中学からは数学）の基本の一つです。一昨年まであった大学入試センター試験では、毎年のように出題されてました。

ちなみに、パズルや詰め将棋の問題を自分で作る場合も普通、答が１つでないといけないので、他の余分な答がないように注意して作ることになります。

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なお、（次の数）＝（直前の数２つの和）という関係を、高校以上では次のように書きます。

（ｎ＋２番目の数）＝（ｎ＋１番目の数）＋（ｎ番目の数）

例えば、ｎが１なら、

（３番目の数）＝（２番目の数）＋（１番目の数）

ｎが２なら、

（４番目の数）＝（３番目の数）＋（２番目の数）

今回の桜蔭の問題と同じことですね。

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上の難しい式で、もし最初の２つが、順に０と１だったら、０，１，１，２，３，５，・・・で、「フィボナッチ数列」と言います。

最初の２つが、順に２と１だったら、２，１，３，４，７，１１，・・・で、「リュカ数」（の列）と言います。どちらも数学者の名前から来てます。

開成中学で出た話は、次の式で表せるものでした。

桜蔭と似たやり方で、次の数を、直前の２つの数で作って行く式。これを高校以上では、「三項間漸化式」と言います。来年の中学入試でも出るかも知れませんね。

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最後に、８×〇＋１３×△＝１６０という式は、中学以上では、アルファベットのｘとｙを使って、こう書きます。

　８ｘ＋１３ｙ＝１６０

これだけだと、ｘとｙが何なのか、定まらない式。「不定方程式」と呼ばれるもので、高校や大学入試でも、整数であるとか、ｙの方が大きいとか、色々と条件をつけて答を出す問題が出てます。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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