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マス目をぬる暗号の作り方は何種類か(高校・大学の3項間漸化式)~開成中学2022年入試、算数・問題3の解き方

新型コロナ、特にオミクロン変異株が原因で大変な試練になった、2022年の中学入試。今年も最難関校の1つ、開成中学の算数の問題で記事を書いてみます。去年に続いて、筋の通った思考力が問われる問題3。

   

途中まではともかく、一番最後の問いは論理的に考えると非常に難しいというか、考えにくい問題ですね。(3)(ウ)。理系の大学生でもきっちりとは解けない人が大半だと思います。推測でたまたま正答を出せたとしても、なぜなのか理由を書けないでしょう。記述式なら、難関大学の入試問題に出してもいいレベル。(2)(ウ)も、数える時に間違えやすい。

     

ただ、開成中学の算数では答が合ってれば(ほぼ)良いので、超優秀な受験生の中にはサラッと解いた人もいると思います。数の規則性を素早く見抜く能力がポイント。試験問題は、中学受験でおなじみ、四谷大塚HPを参照させて頂きました。

   

   

     ☆     ☆     ☆

220205a

   

開成(あけなり)君は、図1のような縦2マス、横7マスのマス目を用意し、マス目のいくつかを黒くぬりつぶして「暗号」を作ろうと考えました。そこで、次のようなルールを決め、何種類の暗号を作ることができるかを調べることにしました。

 ・黒くぬりつぶすマス目は、上下左右が隣り合わないようにする。
 ・読むときは、回したり裏返したりしない。

次の問いに答えなさい。

   

(1) 最大で何か所をぬりつぶすことができますか。その場合,暗号は何種類できますか。

  

(解答) 1列ごとに、最大で1ヶ所ぬりつぶすことができるので、7列だと最大で7ヶ所以下。また、実際に7ヶ所ぬることは可能で、A、B、A、Bといった感じでジグザグにぬって行けばよい。

  

よって、最大で7か所。 ・・・答

暗号は、左端がAの段のもの(ABABABA)か、Bの段のもの(BABABAB)だから、2種類。 ・・・答

   

  

     ☆     ☆     ☆

(2)14個のマス目のなかで5か所だけをぬりつぶす場合を考えます。

(ア) 左から1列目と3列目のマス目をぬりつぶさないことにしてできる暗号をすべてかきなさい。黒くぬりつぶす部分は,次のページの図2のように斜線を入れ、ぬりつぶす部分が分かるようにしなさい。また、解答らんはすべて使うとは限りません。使わない解答らんは、らん全体に大きく×印を入れて使わなかったことが分かるようにしなさい。

    

(解答) 以下の4種類のみ。 (ここでは使わない解答らんはのせてないので、×印は省略)

   

220205b

   

(イ) 左から3列目と5列目のマス目をぬりつぶさないことにしてできる暗号は何種類ありますか。

  

(解答) 1列目と2列目のぬり方が2通り(左からABの順か、BAの順か)。4列目のぬり方が2通り。6列目と7列目のぬり方が2通り。それぞれ自由に組み合わせることができるので、全部で、2×2×2=8種類。 ・・・答

   

(ウ) 14個のマス目のなかで5か所だけをぬりつぶす場合、暗号は全部で何種類できますか。

  

(解答)まず、5か所が連続したマス目のタイプは、1~5列、2~6列、3~7列の3通りある。それぞれ、ぬりつぶし方が2種類ある(ABABA、BABAB)ので、2×3=6種類

  

次に、(ア)のように、5か所が2つの部分に分かれてるタイプを考える。ぬりつぶさない2列の選び方に注目すると、13、14、15、16、23、27、34、37、45、47、56、57の12通り。それぞれ、ぬりつぶし方が4種類あるので、4×12=48種類

  

さらに、(イ)のように、5か所が3つの部分に分かれてるタイプを考える。ぬりつぶさない2列の選び方に注目すると、24、25、26、35、36、46の6通り。それぞれ、塗りつぶし方が8種類あるので、8×6=48種類

 

以上、3つのパターンのみなので、5か所だけをぬりつぶす暗号は全部で、6+48+48=102種類。 ・・・答 

  

   

     ☆     ☆     ☆

(3) 左から1列目だけ、左から1列目と2列目の2列だけ、・・・ と使う列の数を増やしながら、暗号が何種類できるかを考えようと思います。ただし、1マスもぬりつぶさない場合も1種類と数 えることにします。たとえば、一番左の1列だけで考えると、暗号は図2の3種類ができます。

  

220205c

    

(ア)  左から2列だけを考えます。このときできる暗号のうち、1マスもぬりつぶさないもの以外をすべてかきなさい。解答らんはすべて使うとは限りません。使わない解答らんは、らん全体に大きく×印を入れて使わなかったことが分かるようにしなさい。

   

(解答) 1マスもぬりつぶさない1種類をのぞくと、下の6種類のみ。 (ここでは使わない解答らんはのせてないので、×印は省略)

  

220205d

    

(イ) 左から1列目から3列目までの3列を考えます。このときできる暗号は何種類ありますか。

  

(解答) (ア)の6種類と、1マスもぬりつぶさない1種類、計7種類の2列の右側に、1列くわえることで、3列にする方法で考える。

まず、右側に、全くぬりつぶしてない白い1列をくわえたパターンで、7種類できる。

   

220205e

   

次に、右側に、1マス黒くぬりつぶした列をくわえたパターンについて。これは、もとの2列の右端(つまり2列目)に黒マスがあったものが7種類と、無かったものが3種類ある。

   

220205f

  

220205g

  

2列目に黒マスが無かったもの(上図の下側の6つ)は、3列目のぬりつぶし方が自由だからそれぞれ2種類ある。3列目の上(A)が黒か、下(B)が黒か。

  

結局、全体を見ると、7種類×2+3種類と考えられる。この式の右側の「+3種類」とは、1列のみのぬりつぶし方の数になっている。これは、2列目が白いので、1列目(上図の青い波線部分)しか変化しないからである。

     

以上より、3列の暗号は、7×2+3=17種類。 ・・・

  

(ウ) 左から1列目から7列目までのマス目全部を使うとき、暗号は全部で何種類できますか。

  

(解答) (イ)と同じように考えて、右側に1列ずつくわえて行く。

(4列の暗号の数)=(3列の暗号の数)×2+(2列の暗号の数)=17×2+7=41。

(5列の暗号の数)=41×2+17=99。

(6列の暗号の数)=99×2+41=239。

(7列の暗号の数)=239×2+99=577。

よって、7列の暗号は全部で、577種類。 ・・・答

   

   

     ☆     ☆     ☆

上の(イ)と(ウ)の考え方は、高校の「数学」の「数列」のところ(普通は高校2年)で出て来ます。

4、5、6、7など、色々な数をn(エヌ)で表すと、

 (n+2列の暗号の数)=(n+1列の暗号の数)×2+(n列の暗号の数)

  

高校の書き方だと、下のようになります。

220205h

   

3つの項目の間で、次の項目が前の2つの項目から次々と出て来る式。これを、3項間漸化式と言います。a₁=(1列の暗号の数)=3。a₂=(2列の暗号の数)=7。

  

たぶん、最難関レベルだと中学校の数学でやるのでしょうが、普通は本格的に習うのは大学です。それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

   

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