マス目をぬる暗号の作り方は何種類か（高校・大学の３項間漸化式）～開成中学２０２２年入試、算数・問題３の解き方

新型コロナ、特にオミクロン変異株が原因で大変な試練になった、２０２２年の中学入試。今年も最難関校の１つ、開成中学の算数の問題で記事を書いてみます。去年に続いて、筋の通った思考力が問われる問題３。

途中まではともかく、一番最後の問いは論理的に考えると非常に難しいというか、考えにくい問題ですね。（３）（ウ）。理系の大学生でもきっちりとは解けない人が大半だと思います。推測でたまたま正答を出せたとしても、なぜなのか理由を書けないでしょう。記述式なら、難関大学の入試問題に出してもいいレベル。（２）（ウ）も、数える時に間違えやすい。

ただ、開成中学の算数では答が合ってれば（ほぼ）良いので、超優秀な受験生の中にはサラッと解いた人もいると思います。数の規則性を素早く見抜く能力がポイント。試験問題は、中学受験でおなじみ、四谷大塚ＨＰを参照させて頂きました。

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

開成（あけなり）君は、図１のような縦２マス、横７マスのマス目を用意し、マス目のいくつかを黒くぬりつぶして「暗号」を作ろうと考えました。そこで、次のようなルールを決め、何種類の暗号を作ることができるかを調べることにしました。

　・黒くぬりつぶすマス目は、上下左右が隣り合わないようにする。
　・読むときは、回したり裏返したりしない。

次の問いに答えなさい。

（１）　最大で何か所をぬりつぶすことができますか。その場合,暗号は何種類できますか。

（解答）　１列ごとに、最大で１ヶ所ぬりつぶすことができるので、７列だと最大で７ヶ所以下。また、実際に７ヶ所ぬることは可能で、Ａ、Ｂ、Ａ、Ｂといった感じでジグザグにぬって行けばよい。

よって、最大で７か所。　・・・答

暗号は、左端がＡの段のもの（ＡＢＡＢＡＢＡ）か、Ｂの段のもの（ＢＡＢＡＢＡＢ）だから、２種類。　・・・答

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（２）１４個のマス目のなかで５か所だけをぬりつぶす場合を考えます。

（ア）　左から１列目と３列目のマス目をぬりつぶさないことにしてできる暗号をすべてかきなさい。黒くぬりつぶす部分は,次のページの図２のように斜線を入れ、ぬりつぶす部分が分かるようにしなさい。また、解答らんはすべて使うとは限りません。使わない解答らんは、らん全体に大きく×印を入れて使わなかったことが分かるようにしなさい。

（解答）　以下の４種類のみ。　（ここでは使わない解答らんはのせてないので、×印は省略）

（イ）　左から３列目と５列目のマス目をぬりつぶさないことにしてできる暗号は何種類ありますか。

（解答）　１列目と２列目のぬり方が２通り（左からＡＢの順か、ＢＡの順か）。４列目のぬり方が２通り。６列目と７列目のぬり方が２通り。それぞれ自由に組み合わせることができるので、全部で、２×２×２＝８種類。　・・・答

（ウ）　１４個のマス目のなかで５か所だけをぬりつぶす場合、暗号は全部で何種類できますか。

（解答）まず、５か所が連続したマス目のタイプは、１～５列、２～６列、３～７列の３通りある。それぞれ、ぬりつぶし方が２種類ある（ＡＢＡＢＡ、ＢＡＢＡＢ）ので、２×３＝６種類。

次に、（ア）のように、５か所が２つの部分に分かれてるタイプを考える。ぬりつぶさない２列の選び方に注目すると、１３、１４、１５、１６、２３、２７、３４、３７、４５、４７、５６、５７の１２通り。それぞれ、ぬりつぶし方が４種類あるので、４×１２＝４８種類。

さらに、（イ）のように、５か所が３つの部分に分かれてるタイプを考える。ぬりつぶさない２列の選び方に注目すると、２４、２５、２６、３５、３６、４６の６通り。それぞれ、塗りつぶし方が８種類あるので、８×６＝４８種類。

以上、３つのパターンのみなので、５か所だけをぬりつぶす暗号は全部で、６＋４８＋４８＝１０２種類。　・・・答。　

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（３）　左から１列目だけ、左から１列目と２列目の２列だけ、・・・ と使う列の数を増やしながら、暗号が何種類できるかを考えようと思います。ただし、１マスもぬりつぶさない場合も１種類と数 えることにします。たとえば、一番左の１列だけで考えると、暗号は図２の３種類ができます。

（ア）　 左から２列だけを考えます。このときできる暗号のうち、１マスもぬりつぶさないもの以外をすべてかきなさい。解答らんはすべて使うとは限りません。使わない解答らんは、らん全体に大きく×印を入れて使わなかったことが分かるようにしなさい。

（解答）　１マスもぬりつぶさない１種類をのぞくと、下の６種類のみ。　（ここでは使わない解答らんはのせてないので、×印は省略）

（イ）　左から１列目から３列目までの３列を考えます。このときできる暗号は何種類ありますか。

（解答）　（ア）の６種類と、１マスもぬりつぶさない１種類、計７種類の２列の右側に、１列くわえることで、３列にする方法で考える。

まず、右側に、全くぬりつぶしてない白い１列をくわえたパターンで、７種類できる。

次に、右側に、１マス黒くぬりつぶした列をくわえたパターンについて。これは、もとの２列の右端（つまり２列目）に黒マスがあったものが７種類と、無かったものが３種類ある。

２列目に黒マスが無かったもの（上図の下側の６つ）は、３列目のぬりつぶし方が自由だからそれぞれ２種類ある。３列目の上（Ａ）が黒か、下（Ｂ）が黒か。

結局、全体を見ると、７種類×２＋３種類と考えられる。この式の右側の「＋３種類」とは、１列のみのぬりつぶし方の数になっている。これは、２列目が白いので、１列目（上図の青い波線部分）しか変化しないからである。

以上より、３列の暗号は、７×２＋３＝１７種類。　・・・答

（ウ）　左から１列目から７列目までのマス目全部を使うとき、暗号は全部で何種類できますか。

（解答）　（イ）と同じように考えて、右側に１列ずつくわえて行く。

（４列の暗号の数）＝（３列の暗号の数）×２＋（２列の暗号の数）＝１７×２＋７＝４１。

（５列の暗号の数）＝４１×２＋１７＝９９。

（６列の暗号の数）＝９９×２＋４１＝２３９。

（７列の暗号の数）＝２３９×２＋９９＝５７７。

よって、７列の暗号は全部で、５７７種類。　・・・答

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

上の（イ）と（ウ）の考え方は、高校の「数学」の「数列」のところ（普通は高校２年）で出て来ます。

４、５、６、７など、色々な数をｎ（エヌ）で表すと、

　（ｎ＋２列の暗号の数）＝（ｎ＋１列の暗号の数）×２＋（ｎ列の暗号の数）

高校の書き方だと、下のようになります。

３つの項目の間で、次の項目が前の２つの項目から次々と出て来る式。これを、３項間漸化式と言います。ａ₁＝（１列の暗号の数）＝３。ａ₂＝（２列の暗号の数）＝７。

たぶん、最難関レベルだと中学校の数学でやるのでしょうが、普通は本格的に習うのは大学です。それでは今日はこの辺で。。☆彡

（関連する記事）

１と０のカードゲーム、複雑な連続操作の考察～開成中２１年入試、算数・問題３の解き方

小屋の窓から入る太陽光と展開図～開成中２０２０年入試・算数・問題４の解き方 　

５人のカードゲームと背理法～開成２０１９入試

三角形の相似から四角形の面積比へ～１８問題１

三角形の相似と比の応用～１７入試・算数・問題３

灘中学校２０２０年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

３人のゲームトーナメント、変わった時計～桜蔭中１９入試

円と正方形、１０個重ねて作る図形の面積～桜蔭１８入試

３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、距離と時間～１６入試

ランニング（５人のリレー）の距離～１５入試

　　　　　（計　３０８６字）