出題者の誘導に従う思考力の難問、補助線を引いて正三角形を利用～渋谷教育学園渋谷中２０２２年入試・算数問題３の解き方

半月前の朝日新聞（２０２２年３月１９日・朝刊）に、「中学受験を振り返る［下］　解法暗記より思考力を重視」という記事が載りました。「変わる進学」シリーズの企画の１つ。担当は、編集委員・宮坂麻子記者です。

ここでは、記事の左下で大きめに紹介された算数の図形の問題を考えてみましょう。渋谷教育学園渋谷中学校２０２２年入試問題（２月１日）、算数、大問３の解き方の説明です。作問の意図、「本質を理解」問うため工夫、という見出しが付いてます。

受験者平均４９．９点、合格者平均６２．１点で、やや開きがあったとのこと。特に、大問３は、小問１が９割以上の出来だったのに、小問２と３の正答率は２割程度だったそうです。

私は大人なので、中学・高校の知識を使えばすぐ解けるのですが、小問３の小学校の解き方にはなかなか気づきませんでした。正直、小問２からの誘導が不親切だと思います。図形も補助線も、あまり似ていないので、何かもう一言ヒントを付けるべきでしょう。

「出題者の意図をくんで解き進める数理的思考力が重要」とされてますが、意図を伝える出題者の側の思考力も大切。意図の伝わり方を知る学校側の努力も必要でしょう。この問題は、意図がほとんど伝わってないので。

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解答（１）　下図のように、右下の頂点から左側の辺に垂線を引くと、その長さは５ｃｍの半分で２．５ｃｍ。

左側の辺を底辺と見て、垂線の長さを高さと考えれば、

　（面積）＝５×２．５÷２＝６．２５（ｃｍ²）　・・・答

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解答（２）　下のように、図３に補助線を引くと、左側に正三角形ができる。すると、右側に問１の頂角３０度、底角７５度の二等辺三角形と同じ形ができる。よって、右下の三角形が図２と同じ形（左下の角が４５度）だとわかる。赤線の右下の点に集まる角３つの内、左側が６０度、真ん中が７５度だから。

等しい５辺の長さを７ｃｍとすると、

　（正三角形の面積）－（図２の三角形の面積）

　　　＝（右側の頂角１２０度の二等辺三角形の面積）－（図２の三角形の面積）

　　　＝（中央の頂角３０度の二等辺三角形の面積）

問１と同じように考えれば、

　（中央の頂角３０度の二等辺三角形の面積）

　　　＝７×３．５÷２

　　　＝１２．２５（ｃｍ²）　・・・答

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解答（３）　下の赤線２本と上の辺とで、下にとがった正三角形ができる。また、赤線１本と青線２本で、図２と同じ形の三角形ができて、その右側にも同じ形で同じ大きさの三角形ができる。

また、もとの斜線部分の全体は、縦の青線で半分になっているが、

　（もとの斜線部の右上部分の面積）

　　＝（下図の青の斜線部の面積）

　　＝（問２で面積を求めた図形の、７ｃｍという長さを９ｃｍに変えた図形の面積）

　　＝９×４．５÷２

　　＝２０．２５（ｃｍ²）

よって、もとの斜線部の全体の面積は、その２倍で、４０．５ｃｍ²　・・・答

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中学校になると、きっちり理由を示す「証明」という話が出て来ますが、上の問３を厳密に証明しようとすると大変です。思考力がとてもある小学生は、理屈の難しさが分かって、逆に時間内に答を書けなかったかも知れません。

図形的で特殊なひらめきに頼る面白パズルのような問題を作ることが、本当に思考力の向上とつながるのか。考えることに興味を持つ大人の１人として、学校の先生たちに問いかけたいと思います。それでは今日はこの辺で。。☆彡

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