自然数の素因数（遺伝子）に関する「ａｂｃ予想」、例外が生じる簡易版と本物の違いの解説～ＮＨＫ『笑わない数学』第１０回

望月新一氏の宇宙際タイヒミューラー理論による証明まで出さなくても、今回のテーマのａｂｃ予想は、一般の人にとっては十分難しい。人力で確認するのは面倒だし、いろんな内容が含まれてる。しかも内容の一部は、大学１、２年のレベルだからだ。

素数、素因数分解は高校で出るし、この番組でも既に出てる。ｒａｄ（ラディカル）という関数も説明と具体例があればすぐ分かる。ただ、小さい正の数を表すε（イプシロン）とか、「任意の」～に対して・・・が「存在する」といった論理（述語論理）も、普通は大学で習うものだし、（理系の）大学生でも苦手とする人が少なくない。

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昔の数学記事でも書いたけど、ここでもまず論理（ロジック）と記号の簡単な練習から入ってみよう。

　　∀ｘ，∃ｙ，x<y　（任意のｘに対して、あるｙが存在して、ｘ＜ｙ　）

「任意の」という言葉は、「あらゆる」とか「すべての」という意味。ｘ，ｙが実数なら、上の主張（命題）は正しい。いくらｘが大きくても、それより大きいｙがあるからだ。例えば、ｘ＝１０００なら、ｙ＝２０００とすれば、ｘ＜ｙが成り立つ。

上で、ｙはｘの値の大きさに応じて決めることになる。例えば、ｘ＝３００００なら、ｙ＝４００００と決めるとか。だから、ｙはｘの関数として、ｆ（ｘ）と書くことができる。すると、上の主張は次のように書き直せる。

　　∀ｘ，∃ｆ（ｘ），ｘ＜ｆ（ｘ）　（任意のｘに対して、あるｆ（ｘ）が存在し、ｘ＜ｆ（ｘ）　）

これを難しくした主張が、今回の番組で示されたａｂｃ予想の形なのだ。ちなみに、ａｂｃ予想にはいくつかの書き方、表現の違いがある。このブログでは、１０年前にかなり詳しいａｂｃ予想の記事を書いてるので、参考までに紹介しとこう。

　数学の「ＡＢＣ予想」、簡単な解説（中学～高校レベル）

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では、番組の冒頭に出た、ａｂｃ予想（abc conjecture：ａｂｃ推測）の主張を見てみよう。

尾形の読み上げたセリフは次のようになってた。

　「ａ＋ｂ＝ｃの時、任意のイプシロンに対して、ケー・イプシロンが存在して、ｃ小なりケー・イプシロン・ラディカルａｂｃの１＋イプシロン乗が成り立つはずだ」

正確には、任意の「正の」イプシロンだけど、番組では「正の」という条件を省略してた。要するにイプシロンとは、正の小さな数だから、０．１とかをイメージすればいい。整数でも別に構わないけど、普通は小さな小数を考える。

さらに正確に言うなら、本当は先頭の「ａ＋ｂ＝ｃ」は消して、２行目の左端あたりに、「ａ＋ｂ＝ｃをみたす任意のａ、ｂ、ｃに対して、ｃ＜・・・」とすべき。そう書かないと、実は上の主張は当たり前のことになってしまう（Ｋをいくらでも適当に大きくできるから）。まあ、テレビのバラエティ番組でその辺りを簡単にするのは仕方ない。

上の画像の右下、小さな説明も実は重要。「※　ａ，ｂ，ｃは互いに素な自然数」。「互いに素」とは、公約数が１しかないということ。番組の独自の言い回しなら、同じ遺伝子を持たないということ。

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番組で後に出て来た「簡易版」のａｂｃ予想でもやってたように、まず、分かりにくいＫ（ε）を消してみよう。すると、こうなる。

この主張は「ほぼ」正しいけど、少し例外が出てしまう。つまり、下側の不等式が「ｃ≧」となってしまうことがあるのだ。

ただし、例外は限られた個数（有限個）しかないから、右側のｒａｄに何か大きめの数を掛ければ、「ｃ＜」とすることが出来る。そのための大きめの数は、εに応じて決まるから、Ｋ（ε）と書く。だから結局、元の形になるのだ。

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では、番組に即して、話を簡単化しよう。小さい正の数εは０として、Ｋ（ε）＝１とする（つまりＫを消す）。すると、まずこうなる。

ところで、ｒａｄ（ラディカル：根基）とは何なのか？　番組では「遺伝子」という言葉と映像で感覚的に説明するだけだったので、むしろ分かりにくいと思った視聴者は少なくないはず。

ｒａｄ（整数）とは、その整数を素因数分解した時の、異なる素因数の積（掛け算）のこと。

番組で最初に出た１２６なら、　１２６＝２×３×３×７

だから、ｒａｄ（１２６）＝２×３×７＝４２。

素因数分解と違って、ラディカルの計算では、３は１回しか掛けない。ということは、ラディカルは元の数「以下」であって、多くの場合には、元の数より小さくなる。

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もう１つだけ、番組に出た数で計算してみよう。８４＝２×２×３×７だから、

　ｒａｄ（８４）＝２×３×７＝４２

ところで、番組では４×２１＝８４という掛け算が登場した。

　４＝２×２だから、ｒａｄ（４）＝２

　２１＝３×７だから、ｒａｄ（２１）＝３×７＝２１

ということは、

　ｒａｄ（８４）＝ｒａｄ（４×２１）＝ｒａｄ（４）×ｒａｄ（２１）

これは、４と２１が互いに素（公約数が１しかない）から起きること。

一般に、ｍとｎが互いに素の自然数の時、

　ｒａｄ（ｍｎ）＝ｒａｄ（ｍ）×ｒａｄ（ｎ）

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ところで、ａｂｃ予想のａとｂとｃも、互いに素という条件がついてた（最初の画面の右下）。

だから、上の簡易版の式は、下側の不等式の右側をかけ算の形に書き直すことができて、次のようになる。

さらに、下の不等式の両辺をｒａｄ（ｃ）で割り算すると、番組の中盤の簡易版の式になる。１９８５年に予想を立てた数学者、エステルレ博士（Oesterle）が黒板に書いた式。ちなみに、ｒａｄは正の数だから、割り算しても不等号の向きは変わらない。

上の画面でも、右下の小さい文字は重要。「※　ａｂｃ予想"簡易版"　ε→０，Ｋ（ε）＝１として単純化」。「ε→０」という書き方は間違いではないけど、矢印など使わず、「ε＝０」とした方が分かりやすい。

ちなみに、「ε→０」という書き方は、指数関数の連続性という少し面倒な話を前提にしたもの（高校２年の数学）。ｒａｄ（ａｂｃ）の１＋ε乗とは、｛ｒａｄ（ａｂｃ）｝の１＋ε乗という意味だから、指数関数がポイントになる。１＋εという指数の書き方が特殊で、誤解しやすい点なので、念のため。ここでは、聞き流して頂いても構わない。

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いよいよ、ａ＝２ⁿ、ｂ＝３ⁿとする話に入ろう。ｃ＝ａ＋ｂ＝２ⁿ＋３ⁿ

すると、簡易版の式はこうなる。とりあえず、ｃはそのままにしておく。

　ｃ／ｒａｄ（ｃ）＜ ｒａｄ（２ⁿ×３ⁿ）

右辺のラディカルは、２×３＝６だから、

　ｃ／ｒａｄ（ｃ）＜ ６

ここで、左辺について考えてみる。ｃ／ｒａｄ（ｃ）について、前に見たｃ＝８４＝２×２×３×７で計算してみると、ｒａｄ（８４）＝2×３×７＝４２だったから、

　８４／ｒａｄ（８４）＝８４／４２＝２

要するに、ｃ／ｒａｄ（ｃ）とは、ｃを素因数分解した時に重複した素因数（ｃ＝８４なら、２）になる。

しかし、ｃは、ａ＝２ⁿやｂ＝３ⁿと互いに素だから、ｃ／ｒａｄ（ｃ）が２，３，４（＝２×２）になるはずはない。

だから、ｃ／ｒａｄ（ｃ）＜ ６　より、

　ｃ／ｒａｄ（ｃ）＝１，５

１と５しかないのだ。１というのは、ｃを素因数分解した時、何もダブってないということ。番組の言い方だと、遺伝子に、「長さ１の枝しかない」ということ。

５というのは、ｃを素因数分解した時、５が２つ出て来て、他にはダブってないということ。番組の言い方だと、「５の位置に長さ２の枝　他は長さ１」ということ。

こうした理由で、上図のような番組の予想が出来上がる。ただし、左下の小さい文字に注意。「※　ａｂｃ予想"簡易版"による計算のため一部の例外あり」。

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では、尾形が計算で確かめた場面を見てみよう。

ｎ＝２の時、ｃ＝１３で、遺伝子（素因数）は１３のみで、枝は１本だから、予想は正しい。以下、ｎ＝６までチェックしてた。

しかし、実はこれはあくまで「簡易版」にすぎないから、予想が外れてしまう例外があるのだ。

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私は表計算アプリ２種類（ｅｘｃｅｌ、ｎｕｍｂｅｒ）で計算して、ｎ＝２１が簡易版の例外の１つだと突き止めた。

６よりわずかに大きい素因数７が２つダブって、４９の倍数になってるｃを探したのだ。最後のセル（マス目）の計算式は、４９で割った余りを求めるもので、答が０になってる。

　（２の２１乗）＋（３の２１乗）

＝２０９７１５２ ＋ １０４６０３５３２０３

＝１０４６２４５０３５５

確認のため、毎度おなじみ、カシオの計算サイトで、素因数分解もしてみた。

１０４６２４５０３５５＝５×７×７×４６３×９２２３３

このｃの値は、遺伝子７の位置に長さ２の枝があるから、予想が外れてる。

　　
　　　　

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結局、εとＫ（ε）を省略してしまうと、数学的には正しくないし、それ以外の部分の説明にもかなりの省略がある。テレビ番組の説明は、あくまで分かりやすさや面白さを狙った「簡易版」。学問としての数学とは別物なのだ。

なお、宇宙際タイヒミューラー理論の説明も、非常にざっくりしたもので、あれでは別の宇宙や難しい理論を持ち出す必要はない。

宇宙Ａと宇宙Ｂの代わりに、普通に集合Ａと集合Ｂを用いて、Ａの各要素ｘに対して、Ｂの要素ｘ²を対応させるだけ。Ａで、７＋８＝１５。それに対して、Ｂでは、７²＋８²＝１１３≠１５²で、足し算は「答えが食い違う」のだ。一方、かけ算は「ちゃんと成立する」。Ａでは、７×８＝５６。Ｂでは、７²×８²＝５６²。

そもそも、宇宙Ａと宇宙Ｂを「全く同じもの」というのも難しい。対応する要素が異なるのだから。「全く同じ」なら、１つの宇宙の中で対応させればいいはず。ともあれ、今日はそろそろこの辺で。。☆彡

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