天才マリリンの正答が批判されたモンティ・ホール問題（確率論）、元のＴＶ番組にはない作り話～『笑わない数学』第１１回

今回のメインの内容は、数学好きにとってはまた出たか・・といった感もある、確率論の超有名問題。番組では名前を出してなかったが、「モンティ・ホール問題」（Monty Hall Problem）だ。

３つの選択肢から、お目当ての１つを当てる時、自分がまず何か１つ選択した後、ハズレを１つ教えてもらえるという話。その情報を受けて、自分の選択を変えるべきかどうか。

論理的な確率論と人間心理がぶつかる問題で、誰でもすぐに設定は分かるし、不思議で面白い。解説は高校１年の数学の教科書レベルで、実験による確認も簡単に可能。

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ネット上に数学的な説明や感想（納得いかないとか♪）も溢れてるし、このブログでも過去２回、関連記事を書いてる。今さら、同じ説明を繰り返すのは避けよう。

　全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪（モンティ・ホール問題）

　ベルトランの箱のパラドクス～フランス語原文と日本語訳、確率の計算

歴史的な流れをまとめると、もともと「ベルトランの箱」という話があって、それを面白く改良したのが「３囚人問題」。１人の囚人だけ助けてもらえるが、自分はその幸運な１人かどうかを当てようとする。

そして、もっと身近なくじ引きタイプのバリエーションにしたのが、今回のＮＨＫでも大きく扱われた「モンティ・ホール問題」だ。

既に記事を２本書いてる話だから、スルーしようかと思ったが、調べてる内に意外な事実を発見したから気が変わった。日本ではほとんど紹介されてないようだから、私が書いてみよう。この問題はもともと、作り話、単なる若手の統計学者の創作だったということだ。

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『笑わない数学』に即して、問題と騒動の流れをカンタンにまとめとこう。

３つのドアＡ、Ｂ、Ｃの内、どれか１つの向こう側に当たりの商品（車）が隠されてるゲームを考える。あなたがまず、ドアＡを選んだとしよう。すると司会者が、Ｃはハズレだと教えた上で、選択をドアＢに変更してもいいですよと誘う。

残りのドアはＡとＢの２つで、当たる確率はどちらも２分の１だから、選ぶドアを変えても変えなくても同じ（？）。そう考えるのは「自然」な発想の１つだし、「理屈が合ってるような感」もある。

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この問題が約３０年前（１９９０年）、ＩＱ２２８とされる天才女性タレント、マリリン・ヴォス・サヴァント（賢いマリリンという意味の本名）の雑誌コラム、「マリリンに聞け」（Ask Marilyn）に投稿された。写真を見ると、美人でもあるようだ。雑誌名を間違えて書いてる日本の学術論文も見かけたが、正しくは『Parade』（パレード）で、現存する人気週刊誌。

マリリンは質問に対して、「変更する方が有利で、当たる確率は２倍」と返答。これが正解。

ところが、それは間違いだ、おかしい！といった投書が殺到してしまう。批判者の中には、学者も含まれてた。

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ＮＨＫでは、３つの箱を使って１００回ずつ２通りに実験。選択する箱を変える「マリリン派」は、７０回成功。箱を変えない「反マリリン派」は３３回の成功。ほぼマリリンの意見の通り、約２倍の差になった。

実験的にもマリリンは正しそうだし、理論上も正しい。説明は色々とあるが、ＮＨＫが示したのは次の通り。

あなたがＡを選んだとする。もし、当たりがＡなら、変えない方がよい。当たりがＢなら、変えた方が良い。当たりがＣでも、変えた方がよい。

よって、変えずに商品をもらえる確率は３分の１。変えて商品をもらえる確率は３分の２。「確率は２倍なのです」。

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この説明は、数学的、論理的にかなり問題がある。数学監修の小山信也と楠岡成雄は、これで正しい証明だと思ったのだろうか？　まさか炎上狙いとも思えないが、編集の過程でズレが生じて、完成後の最終チェックはしなかったのかも知れない。

そもそも、Ｃがハズレだと分かったという直前の条件を使ってない。だから上図で、Ｃが当たりの場合まで書いてしまってる。つまり、いつの間にか問題を変えてしまってるのだ。

また、Ｃの話と関連することだが、Ｃがハズレと分かった時点で、Ａが当たりの確率とＢが当たりの確率がどうなってるのか、そこも説明されてない。上の説明では、まるでそれらが同じのようにも聞こえてしまう。

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正しい説明は、ウチでも前に書いてるし、至る所に書かれてるから、今回は省略しよう。「条件付き確率」とか「原因の確率」で計算すればいい。

簡単に説明し直すと、ハズレ情報なしの普通の「事前確率」で計算した時、ドアＣが開かれる確率は次の２通り。

　（Ａが当たりで、Ｃが開かれる確率）＝（１／３）×（１／２）＝１／６

　（Ｂが当たりで、Ｃが開かれる確率）＝ （１／３）×１＝１／３

よって、（Ｃが開かれた後、Ｂが当たりの確率）

　＝（１／３）／｛（１／６）＋（１／３）｝

　＝２／３　・・・事後確率

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ただし、理屈の最終的な根拠は、実験による統計的な実証しかない。有名な数学者エルデシュが納得したのも、コンピューターによるシミュレーションだったとか言われてる。その意味で、番組が実験してみたのは正しい姿勢。

といっても、視聴者にはそのデータの信頼性までは分からないが。制作スタッフを主観的に信じるしかない。だからこそ、たまに暴露されるやらせのような偽造、捏造が強く非難されるわけだ。

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さて、この問題は、モンティ・ホールという司会者によるテレビ番組『Let's Make a Deal』（取引しよう）だとされて来た。

番組を受けて、スティーブ・セルヴィン（Steve Selvin）という学者が学会誌『American Statistician』（米国統計学者）の１９７５年２月号で紹介。７５年８月号で「モンティ・ホール問題」と名付けたとか。下は公開されてる部分。なぜか、司会者の名前 Monty が Monte と書かれてる。意図的に少し変えたのかも。

ところが昨日、私がＹｏｕＴｕｂｅで過去の番組の動画を見た所、内容がちょっと違ってる。３つのドアがあって、車が当たりでヤギがハズレとか、ハズレのドアを示すとか、似た形にはなってるが、司会者が変更を促す様子がないし、参加者が選択を変える場面も見当たらない。

そこで調べ直してみると、どうも番組を受けて若手学者がアレンジした創作らしい。作り話であって、本当にテレビでモンティ・ホールが、みのもんたの「ファイナル・アンサー？」みたいなプレッシャーを参加者にかけてた訳ではない。

ホール自身からセルヴィンへの応答が、学会誌に掲載されて、番組ＨＰにも転載されてた。実際にショーに来てくれれば分かりますよ、と書かれてる。セルヴィンも認めてるとのこと。

そもそも、最初の学会誌投稿も「レター論文」であって、正式な学術論文ではない。若手の研究者がちょっと「盛った」話を書いたのが、やがてマリリン騒動につながって、世界中に拡散したという感じか。

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間違った情報、フェイクニュースの方が拡散スピードが速いとか、ウケるという指摘は、こんな所でも正しいようだ。私も昨日まで知らなかったので、ちょっと反省した。

なお、一般化すると、Ｎコのドアの内、ｐコのドアを開けるという形になって、常に選択を変更した方がよいことが示される。ただし、ドア全体が多くて、開くドアが少ないと、あまり違いがなくなって来る。これは直感的にも納得できるだろう。

一般論の説明はもう省略。それでは今日はこの辺で。。☆彡

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