これはものすごく難しい。特に最後の核心、「Ｓ₅の対称性の構造」のヴィジュアル化はまだ理解できてない。説明も全く無いし、似た図もネット上に見当たらないし、そもそもＳ₅なのに点が４つ組で変化してた。５つ目の点は、何か固定して省略したということか。
数学的にも、抽象的な話や空間図形の回転が入ってて難しいが、そもそも色んな話を詰め込み過ぎなのだ。ガロアと直接的に関係なさそうな話（特に先行研究）も大量に入ってた。
たぶん、ガロア理論を最終回で扱いたかったものの、そのままでは難し過ぎるから、図形とざっくりしたイメージで何となく説明した感じにして、人間的なエピソードも前面に出したということだろう。
「細かいことはさておき」とか、可愛い声の語りが入ると、まっ、いいか、と思ってしまう。語りの合原明子、ごうばると読むらしい。ＮＨＫの中堅アナウンサーとは知らなかった。顔も童顔で可愛い。
女子アナはさておき、理論的に難し過ぎてるから、終盤のビジュアル化では２ヶ所、間違えてた。「Ｓ₄の対称性の構造」の図の左下で、文字（アルファベット）の順番が逆になってたし、右下の線の色が逆だ。あの話は、順番が重要なので、逆にしてはいけない。
さすがに細かすぎて、数学監修の小山信也と青木美穂も気付かなかったか。あるいは最終チェックをしてなかったのかも。まあ、小さい文字の複雑な図だったから、ほとんどの視聴者は気付いてないだろう。映像デザイン・吉田まほ、ＣＧ制作・佐藤芙美奈。隅々まできっちり見てるマニアック・ブロガーもいるので、頑張って♪
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まず、「対称性」（symmetry）の説明。図形の「見た目が変わらない動かし方」のこと。これはあくまで図形の数学（幾何学）の観点の説明だ。そこでは図形を動かす操作が重要だから、こんな定義になる。
一般的には、「複数のもの・部分において、それらが同じような見た目になってるということ、性質」だろう。それを説明・確認する時、「動かし」てみることもあるということ。
左右対称の平面図形なら、対称軸で紙を折って重ねる動作を使うとか。さすがに英語版ウィキペディアでは、その辺りをきっちり分けてあった。
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まず、一番簡単な、１本の棒、線分ＡＢの対称性。左が点Ａ、右が点Ｂの棒ＡＢに対して、点Ａと点Ｂを入れ替えても、見た目は変わらない。点の名前が変わるだけ。
２次方程式ｘ²－５ｘ＋６＝０も、因数分解して（ｘ－３）（ｘ－２）＝０へと変形すると、２と３を入れ替えても同じ式になる。左辺のカッコの順番が変わって、（ｘ－２）（ｘ－３）＝０になるだけ。
ただし、ここで「見た目」が変わってるということは指摘しとこう。棒なら変わらないけど、式だと「見た目」は変わってる。こういった点まで考えると、最初の対称性の説明はちょっと不十分で、後の話とつじつまが合ってないのだ。それほど整合的ではない。
とにかく、棒と２次方程式は、「２つの要素を入れ替える動かし方」を適用しても、（見た目が）変わらない。だから、この共通する動かし方が、Ｓ₂と呼ばれる。画面下の字幕では、「Ｓ₂」の添え字の「₂」がおかしな位置にズレてしまってる。
「Ｓ」という略号はおそらく、「Symmetric group」（対称群）の頭文字。対称群とは、対称性のグループ。つまり、（見た目が）変わらないような動かし方の集まり、集合のことだ。
まとめの画像では、Ｓ₂の右横に、数学者アーベルの絵と名前が書かれてた。彼が発見者ということか？ まだ調べてない。
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続いて、番組で一番詳しく説明してた、正三角形と３次方程式が共通に持つ対称性、Ｓ₃。
３次方程式は、因数分解して考える。たとえば、ｘ³－２１ｘ²＋１４３ｘ－３１５＝０なら、（ｘ－９）（ｘ－５）（ｘ－７）＝０へと変形。
正三角形の左端の点を、方程式の９と対応させて、黄色にする。正三角形の中央の点は、方程式の５と対応させて、赤。右端の点は７と対応させて、青。
ボードに書かれた６つの式に合わせて、パンサー尾形が点Ａ、Ｂ、Ｃを置いてた。手作業だから、点の活字の向きがバラバラに傾いてる。式では、９、５、７の代わりに、Ｃ、Ａ、Ｂとしてた。尾形と視聴者への配慮か。
とにかく、番組的には、３次方程式と正三角形は共にＳ₃という対称性をもつ、ということになる。
画面下には小さな字で、より正確な数学的表現も書かれてた。「３次方程式の解の入れ替えと正三角形の頂点の入れ換えはともに群Ｓ₃を成す」。
私なら、さらに正確に、３次方程式の因数分解における解の位置の入れ換え、と言いたくなる。数学者ルフィニの絵と名前が示されてた。
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同様に考えて、４次方程式と正四面体も、同じく「Ｓ₄」と呼ばれる対称性を持っている。
正確に言うと、「４次方程式の解の入れ替えと、正四面体の頂点の入れ替えは、ともに群Ｓ₄を成す」。数学者ラグランジュの絵と名前が添えられてた。
ここまでは分かりやすかったのに、この後の肝心な所、ガロアの業績の所で急激に難しくなって、説明もほとんど省略されてしまったのだ。
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「５次方程式に解の公式が見つからないのはなぜか？」。ちなみにこれは、５次方程式が因数分解できないということとは微妙に違ってる。
ｎ次方程式の左辺（代数多項式）がかならず因数分解できるという一般論は、ガウスが証明したこと（代数学の基本定理）。
ただ、５次方程式の解の公式を具体的に書けるか、解を普通に計算で求めることができるかどうかは別問題で、ガロアはそれが不可能だということを「独自の理論で」説明したらしい。ところが、ガウスには冷たい対応を受けたという話になってる。ガウスが「できる」と言ったのに、できないと言ったからか？
ちなみに、不可能だということだけなら、先にアーベルが証明したようだ。天才ガロアの凄さは、その独自の理論にある。
「Ｓ₃ Ｓ₄ には正規部分群の系列で隣り合う２つの群から作られる剰余類が全て巡回群になっているものが存在するがＳ₅にはそのようなよい構造は存在しない。」
これではさっぱり分からないから、番組ではヴィジュアル化という方法でざっくり示そうとする。要するに、入れ替える動かし方（対称性）の全体が持つ構造、形に着目。Ｓ₃とＳ₄は「美しく整っている」が、Ｓ₅は「ずいぶん雑になっている感じ」らしい。この説明自体がずいぶん雑だが。
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ではまず、Ｓ₃の美しい構造を解説してみよう。この図、動画だけでも、何を示してるのか分かりにくい。
要するに、３つのものの順番・位置が重要。最初は、ＡＢＣと書いてみる。この後ろの２つを入れ替えると、ＡＣＢになる。そして、ＡＢＣとＡＣＢは太い線でつなぐ。上図の上側。
一方、ＡＢＣのＣを一番前に持って来ると、ＣＡＢになる。これは正三角形ＡＢＣを左回りに１２０度回転するようなものだから、上図では、ＡＢＣをクルッと回転させてＣＡＢにしたように、回転矢印で描いてる。この回転の関係が、「巡回群」という専門用語と関係してるのだろうと想像する。
さらに、ＣＡＢのＢを一番前に持って来ると、ＢＣＡになる。これも上図では、ＣＡＢを回転させたように描いてる。ＢＣＡをさらに回転させれば、元のＡＢＣに戻る。結局、内側の丸まった三角形の矢印が完成。
そして、ＣＡＢの後ろの２つを入れ替えると、ＣＢＡになるから、ＣＡＢとＣＢＡは太い線でつなぐ。上図の左下。ＢＣＡの後ろの２つを入れ替えると、ＢＡＣになるから、ＢＣＡとＢＡＣも太い線でつなぐ。上図の右下。
最後に、外側の３つ組の変化（ＡＣＢ ＣＢＡ ＢＡＣ）は、一番前の文字を一番後ろに持って来るような流れになってるから、内側とは逆向きの回転矢印をつけてる。
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なお、一番後ろを一番前に持って来る操作や、一番前を一番後ろに持って来る操作は、２回連続の入れ替え（置換）ということになる。
例えば、まずＡＢＣの左側のＡＢを入れ替えて、ＢＡＣ。次に、右側のＡＣを入れ替えて、ＢＣＡ。２回連続の入れ替えで、もとのＡＢＣの一番前のＡが、一番後ろに来てる。
こういった単純な操作の組合せは、大学１、２年の数学（代数幾何）の基本として教えられてる。
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「Ｓ₄の対称性の構造」が「美しく整っている」のを示してるらしいのが、上図。太い線に、茶色と濃い青色と、２色の区別がある。
上側は、まず下のＡＢＣＤからスタート。ＡとＤ、ＢとＣを入れ替えると、すべて逆順になって、すぐ右上のＤＣＢＡになる。この関係を茶色の太い線で示してある。
また、ＡＢＣＤの左側のＡとＢ、右側のＣとＤを入れ替えると、すぐ左上のＢＡＤＣになる。この関係を青色の太い線で示してある。それをさらに、すべて逆順にすれば、一番上のＣＤＡＢだから、そこは茶色の太い線になる。
続いて、ＡＢＣＤの右端のＤは固定したまま、ＡＢＣの部分をＳ₃の時のように左回転させると、ＣＡＢＤになる。だから、ＡＢＣＤからＣＡＢＤに対して、左回りの回転矢印がついてる。上図の内側の左側の矢印。
同様に、ＤＣＢＡの右端のＡは固定したまま、ＤＣＢの部分を左回転させると、ＢＤＣＡになる。だから、ＤＣＢＡからＢＤＣＡに対して、左回りの回転矢印がついてる。ＣＤＡＢからＡＣＤＢへの回転矢印についても同様。
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ということは、ＢＡＤＣは、Ｃを固定したまま、ＢＡＤの部分を左回転させて、ＤＢＡＣになるはず。ところが図では、それを間違ってＤＢＣＡと書いてしまってるのだ。下図で短い赤線を引いた箇所。
間違いだからこそ、茶色の太線や青色の太線の関係も崩れてしまってる。さらに、左下の４つの丸の右端だけ見ると、ＡＡＢＤになってしまう。正しくＤＢＡＣと書き直せば、茶色や青色の太線の関係も成立するしし、４つの丸の右端はＣＡＢＤになって４文字すべて揃うのだ。
そして、元の図の右下の太線の色も逆になってしまってる。つながれた４文字、２組の関係を考えれば、茶色と青色が塗り間違いだと分かるのだ。
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そうした太線や回転矢印の関係が「美しく整っている」のかどうか、よく分からないが、Ｓ₄までは一応、理解可能。
ところが上図の下側。Ｓ₅の対称性の構造は全く分からない。文字が無いし、５つの点の組合せもないのに、全体は大きく正五角形の形になってる。
既に大量の時間と手間ヒマをかけてるので、とりあえず今回はここで終わりにしよう。ガロアの決闘の敗北と死については、わりと一般ウケしそうなエピソードでもあるし、いずれまた別記事を書くかも知れない。ともあれ、今日はこの辺で。。☆彡
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