桜（ソメイヨシノ）の開花予想と、気温の時間積分（１次関数、２次関数）～２０２３年共通テスト数学ⅡＢ・第２問〔２〕

今年（２０２３年、令和５年）の共通テストの数学（ⅠＡ、ⅡＢ）は、かなり簡単になってるので、受験生としてはラクだったろうけど、半ば理数系のブロガーとしては物足りない感じもある。

とはいえ、面白い題材を使って工夫された問題ではあるし、恒例行事として、数学ⅡＢの記事も１本書いとこう。桜（ソメイヨシノ）の開花予想を、積分で求めるという話だ。

高校数学の積分など使わなくても、小学校の算数でも十分通じると思う。例えば、毎日の最高気温を足し算して行くだけでも、それなりの近似式は求められるはず。それをヒネって高校数学ⅡＢを使う形にしたのが、この問題なのだ。

問題はまた、河合塾ＨＰから頂いた。既に、国語、数学ⅠＡ、情報関係基礎の記事はアップ済み。

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ではまず、第２問〔２〕の（１）から。

解答

（定積分）＝〔（１／１０）ｘ²＋３ｘ〕（０≦ｘ≦３０）

　　　　　＝９０＋９０

　　　　　＝１８０　・・・タチツの答

（不定積分）＝（１／３００）ｘ³－（１／１２）ｘ²＋５ｘ＋Ｃ　

　　　　　　　　　・・・テトナ、ニヌ、ネの答

感想　極端に簡単なウォーミングアップ問題だけで、１５点中の６点を与えてる。これだけで４割だから、既に前年の平均点みたいな割合。前年の問題が難し過ぎたとして、かなり批判・反省があったということか。

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次の（２）からが本題。まず（ⅰ）。

解答

　Ｓ（ｔ）＝〔（１／１０）ｘ²＋３ｘ〕（０≦ｘ≦ｔ）

　　　　　＝（１／１０）ｔ²＋３ｔ

　　　　　＝４００

∴　ｔ²＋３０ｔ－４０００＝０

∴　（ｔ＋８０）（ｔ－５０）＝０

ｘは０以上だから、ｔも０以上。よって、ｔ＝５０　。

したがって、開花日時は５０日後。選択肢の４が、ノの答。

感想　問題文の日本語が不十分。出題者は、ｔはｘ日後のｘを表す値（パラメーター）だから理解できるだろう、という考えなのだろう。しかし、「開花がｔ日後とすると、Ｓ（ｔ）＝４００である」などとする方が明確。

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続いて、最後の（ⅱ）。

解答

　ｘ≧３０でｆ（ｘ）は増加するので、

　（３０≦ｘ≦４０でのｆ（ｘ）の定積分）

　　　　＜（４０≦ｘ≦５０でのｆ（ｘ）の定積分）

よって、ハの答は、選択肢の０。

（１）より、（０≦ｘ≦３０での定積分）＝１８０

また、問題文より、（３０≦ｘ≦４０での定積分）＝１１５

さらに、（４０≦ｘ≦５０での定積分）＞１１５

∴　（０≦ｘ≦５０での定積分）

　　　　＞１８０＋１１５＋１１５＝４１０

∴　（０≦ｘ≦５０での定積分）＞４００

一方、（０≦ｘ≦４０での定積分）

　　　　　＝１８０＋１１５＝２９５

∴　（０≦ｘ≦４０での定積分）＜４００

したがって開花日時は、４０日後より後、かつ５０日後より前。

結局、ヒの答は、選択肢の４。

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感想　簡単すぎるのはともかく、積分の不等式を考えさせるのは実用的で良い発想。現実の世界では、近似も含めて、不等式の方が遥かに重要なのに、高校までの算数と数学はほとんど等式を扱ってる。そもそも、定積分の定義にも不等式がひそかに入ってるので、もっと不等式の問題が増えていいと思う。もちろん、平均点の低下には何か対策を施すとして。

というわけで、今年の共通テスト記事もこれで一段落ついた。なお、今週は久々にやや少なめ、計１３６６３字で終了（暫定）。また来週。。☆彡

　　　　　　（計　１３４６字）