１～７の数字を並べた整数Ａ、Ｂの和が９７２３になるのは何通りか（高校・場合の数）～開成中２０２３年入試、算数・問題５の解き方

今年（令和５年）も、開成中学の入学試験が終了。算数の問題だと、最後の問題５が面白そうに見えましたが、解いてみると、ここ最近の面白問題の中では最も簡単だと感じました。元々、例年のような難問ではない上に、親切で分かりやすい誘導がついてます。解き方を教えてくれてるのです。

ただ、それは私が高校数学を知ってる大人だからかも知れません。問題文の中で丁寧に解き方が説明されてますが、それは高校１年の数学の「場合の数」と呼ばれる所で本格的に扱われる話で、高校１年生にとっては教科書の章末問題くらいのレベルです。

しかし、それを優秀な小学生がどう感じるのかはよく分かりません。確かに、もし自分が小学６年生の時なら、かなり難しく感じるでしょう。そもそも問題文も長いし、時間も短いので。

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それでは、問題５の（１）から、解法や考え方を解説して行きます。問題文はいつものように、四谷大塚ＨＰから引用させて頂きます。

[５]　1、2、3、4、5、6、7 の7種類の数字のみを並べてつくられる整数 A、B を考えます。例えば、5、73、1422 は整数 A、B としてふさわしいですが、8、939、4016 は 8、9、0 の数字をふくむので整数 A、B としてふさわしくありません。

　整数 A、B の和で新たな数をつくることを考えます。例えば、A + B = 20 になる A、B の組は、次の表のように 10通り考えられます。

次の空らんア~キにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(1) A + B = 96 になる A、B の組について考えます。A、Bの一の位の数字は、その和が6になるので、次の表のように5通り考えられます。

　　　　

このうち、Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるものを調べると、A、B の十の位の数字は,その和が9になるので、次の表のように6通り考えられます。

このことから、Ａ ＋ Ｂ＝96 になる Ａ、Ｂ の組のうち、Ａの一の位の数字が５、Ｂの一の位の数字が１であるものは、６通りあることがわかります。

これを参考にして考えると、A ＋ B＝96 になるＡ、Ｂの組は [ア] 通りあることがわかります。

（解答）　同じように考えると、「A の一の位の数字が 4、Bの一の位の数字が2であるもの」も6通り。「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるもの」も、「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるもの」も、「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1」であるものも、それぞれ６通り。

よって、全部で、６×５＝３０（通り）　・・・アの答

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(２) Ａ ＋ Ｂ＝971 になるＡ、Ｂの組について考えます。

971＝960 ＋ 11 に着目して考えると、Ａ、Ｂの一の位の数字は、その和が11になるので、次の表のように4通り考えられます。

また、(1) の結果を参考にして考えると、A + B = 971 になる A、B の組のうち、A の一の位の数字が7、B の一の位の数字が4であるものは、[イ] 通りあることがわかります。
これを参考にして考えると、A + B = 971 になる A、B の組は [ウ] 通りあることがわかります。

（解答）　Ａ、Ｂの十の位と百の位だけで考えると、Ａ＋Ｂ＝９６０となる組合せは（１）より３０通り。

よって、A の一の位の数字が7、B の一の位の数字が4であるものは、３０通り。　・・・イの答

一の位の数字の組は４通りあって、どれも同様なので、

Ａ、Ｂの組の全部は、３０×４＝１２０（通り）　・・・ウの答

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(3) A + B = 972 になる A、B の組について考えます。

A、B の一の位の数字は、その和が12と2のどちらかになるので、次の表のように4通り考えられます。

● A + B = 972 になる A、B の組のうち、A の一の位の数字が 7、B の一の位の数字が5であるものは、[エ] 通りあります。

● A + B = 972 になる A、B の組のうち、 A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものは、[オ] 通りあります。

これらを参考にして考えると、A + B = 972 になる A、B の組は [力] 通りあることがわかります。

（解答）　A の一の位の数字が 7、B の一の位の数字が5であるものは、十の位と百の位だけで考えるとＡ＋Ｂ＝９６０だから、（１）（２）より、３０通り。　・・・エの答

同じく、A の一の位の数字が ６、B の一の位の数字が６であるものも、３０通り。A の一の位の数字が ５、B の一の位の数字が７であるものも、３０通り。

次に、 A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものについて考える。十の位と百の位だけで考えると、Ａ＋Ｂ＝９７。（見方を変えると、９７０。）

よって、十の位だけの和なら７だから、Ａ＋Ｂの十の位は、６＋１、５＋２、４＋３、３＋４、２＋５、１＋６の６通り。

また、百の位だけの和なら９だから、Ａ＋Ｂの百の位は、７＋２、６＋３、５＋４、４＋５、３＋６、２＋７の６通り。

したがって、A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものは、６×６＝３６（通り）　・・・オの答

以上より、A + B = 972 になる A、B の組は全部で、３０×３＋３６＝１２６（通り）　・・・カの答

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(4) A + B = 9723 になる A, B の組は [キ] 通りあります。

（解答）　まず、Ａ＋Ｂの一の位は、７＋６、６＋７、２＋１、１＋２の４通りある。

Ａ＋Ｂの一の位が７＋６か６＋７の場合、十の位以上だけで見ると、Ａ＋Ｂ＝９７１。

よって（２）より、それぞれ１２０通りある。

次に、Ａ＋Ｂの一の位が２＋１か１＋２の場合、十の位以上だけで見ると、Ａ＋Ｂ＝９７２。

よって（３）より、それぞれ１２６通りある。

以上より、Ａ＋Ｂ＝９７２３になるＡ、Ｂの組は、

　（１２０×２）＋（１２６×２）＝４９２（通り）　・・・キの答

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この問題には、何か隠された意味とか背景があるような気もしますが、今のところ分かりません。サイコロの目（１～６）に、７を加えてヒネっただけかも知れません。１～６だけだと、最後の７＋６とか６＋７という話が使えないので、もっと簡単になってしまいます。

ちなみに高校ではよく、Ａ、Ｂを作る数字に０を入れた問題が出ます。その場合、左端（先頭）の数だけは０が使えないから、ちょっと面倒になります。左端だけ別扱いにするわけです。この問題の最後の（４）なら、左端の千の位だけは数え方をちょっと変えるということです。

ともあれ、受験生やご家族、学習塾などの皆さん、どうもお疲れさまでした。それでは今日はこの辺で。。☆彡

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