円ｘ²＋ｙ²＝３上に有理点がない証明、円ｘ²＋ｙ²＝２と楕円曲線ｙ²＝ｘ³＋２の有理点の求め方と計算～『笑わない数学２』第８回

ＮＨＫのバラエティ的な教養番組、『笑わない数学』第２シリーズの最終回（第８回）は、ＢＳＤ予想。バーチ・スウィンナートン＝ダイナー予想と書くと、２人の名前の切れ目が「＝」の所のようにも感じられるけど、「・」の所で切れてる。バーチと、スウィンナートン＝ダイナーの２人。

名前だけでも分かりにくいし、理論も計算も非常に難しい話だから、３０分番組ではこんな感じか。前置きの簡単な高校数学で時間を使って、肝心の高度な話は終盤だけ。ほとんど具体的な説明抜きで、あっという間に終わらせてた。

最後に、ＢＳＤ予想に使われた計算結果の整数（自然数）がズラッと順に映し出されてたけど、その１つ１つがどれも大変な値。各楕円関数（方程式）ごとに、「素数ｐを法とする解の個数」Ｎｐを調べ尽くす必要がある。

だからこそ、数学界での研究の進展もゆっくりだったし、彼ら２人も昔の最先端のコンピューター、ＥＤＳＡＣⅡを使って延々と調べたらしい。今のスーパーコンピューターとかだと、彼らが使ったデータを出すだけなら速いのかも。

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Ｎｐの式の変形だけなら分かるし、映像に出た部分だけなら論文の内容も理解できるけど、ここでは前置きになってた高校数学の話を補足的に解説してみよう。解説も計算も証明も、かなり省略されてたから、あらかじめ知ってる人や、すぐに自分で計算した人しか分からないと思う。

まず、ｘｙ平面の円ｘ²＋ｙ²＝２の上にある有理点。これは、すぐ分かる１つの点（１，１）を通る直線を使って、図形的・イメージ的に大まかに説明されてた。実際に計算してみよう。

点（１，１）を通る、傾きａ（有理数）の直線の式は、ｙ＝ａ（ｘ－１）＋１。これを円の式に代入して、ｘの２次方程式を求めると、

　ｘ²＋｛ａ（ｘ－１）＋１｝²＝２

展開・整理すると、

　（ａ²＋１）ｘ²－（２ａ²－２ａ）ｘ＋ａ²－２ａ－１＝０

ｘ＝１以外の共有点（一致する場合、つまり接点の場合も含む）のｘ座標をｐとすると、２次方程式の解と係数の関係より、２次と１次の係数（正負の符号は逆転）に着目して、

　　１＋ｐ＝（２ａ²－２ａ）／（ａ²＋１）

　∴　ｐ＝（ａ²－２ａ－１）／（ａ²＋１）

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よって、このｐも有理数になるし、その時のｙ座標も有理数になるから、もう１つの交点も、有理点。

例えば、番組で映されたａ＝２の場合なら、ｐ＝－１／５で、交点の座標は（－１／５，－７／５）。ａ＝１／２の場合なら、ｐ＝－７／５で、交点は（－７／５，－１／５）。ちなみに、この２点は直線ｙ＝ｘに関して対称の位置。なお、ａ＝－１の時には、ただ１つの接点（１，１）のみになる（元の点のみ）。

同じ論法で、元の点が有理点で直線の傾きが有理数なら、もう１つの点も有理点になる。

ｘ²＋ｙ²＝２の有理点は、いくつのグループに分けられるのか、その話は番組ではなかったし、私も今現在ハッキリとは分からない。直感的にはただ１つのグループだと思うけど、グループ分けの定義も厳密には明示されてなかった。傾きを表す有理数ａの数は無限にあるから、有理点の個数全体が無限なのは明らか。

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続いて、円ｘ²＋ｙ²＝３上に有理点がないことの、背理法による証明。

　１．　有理点があると仮定する。

　２．　ｘ＝Ａ／Ｃ、ｙ＝Ｂ／Ｃとおける。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃは、同時に同じ数で割り切れない整数（互いに素）。

　　　ちなみに、この互いに素という条件は、自分で作り出すもの。まず、ｘを表す分数とｙを表す分数を適当に書いて、Ａ、Ｂ、Ｃを同時に割り切れる最大の数（最大公約数）で割ればいい。そうした点は省略されがちな所で、番組でも説明はなかった。

　３．　Ａ²＋Ｂ²＝３Ｃ²

　４．　Ａ²＋Ｂ²は３の倍数

　５．　ＡもＢも３の倍数。

　　　　これは、Ａ＝３ａ＋ｍ、Ｂ＝３ｂ＋ｎ（ｍ，ｎ＝０，１，２）とおいて計算すれば分かる。

　　　　（３ａ＋ｍ）²＋（３ｂ＋ｎ）²＝３Ｃ²

　　　　ｍ²＋ｎ²＝３（Ｃ²－３ａ²－２ａｍ－３ｂ²－２ｂｎ）

　　　　よって、ｍ²＋ｎ²は３の倍数。　　∴（ｍ，ｎ）＝（０，０）

　　　　したがって、Ａ＝３ａ、Ｂ＝３ｂで、共に３の倍数。　（５の証明終）

　６．　Ａ²＋Ｂ²は９の倍数

　７．　３Ｃ²も９の倍数

　８．　Ｃ²は３の倍数

　９．　Ｃは３の倍数。これは、５と同様の議論で簡単に示せる。

　以上より、Ａ、Ｂ、Ｃを同時に割り切れる整数３がある。これは２と矛盾。

　したがって、円ｘ²＋ｙ²＝３上に有理点があるという仮定は誤り。

　つまり、円ｘ²＋ｙ²＝３上に有理点は存在しない。　（全体の証明終）

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そして、いよいよ楕円曲線の上の有理点の求め方。

まず、ｙ²＝ｘ³＋１について。

すぐ分かる自明な有理点は、（－１，０）、（０，１）、（０，－１）。

最初の２つの点を通る直線の式は、ｙ＝ｘ＋１。これを楕円曲線の式に代入して、ｘの３次方程式を求めると、

　（ｘ＋１）²＝ｘ³＋１

展開・整理すると、

　ｘ³－ｘ²－２ｘ＝０

ｘ＝－１，０以外の共有点のｘ座標をｐとすると、３次方程式の解と係数の関係より、２次の係数（正負の符号は逆転）に着目して、

　１＝－１＋０＋ｐ　　　∴　ｐ＝２

よって、もう１つの交点も有理点（２，３）だと分かる。

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同様の議論で、（－１，０）と（０，－１）を通る直線からは、有理点（－２，－３）が分かる。これで計５個の有理点。

最後に、（０，１）と（０，－１）を通る直線を考えると、ｙ軸に平行な直線だから、もう１つの交点はない。ただ、その直線を、傾き∞や－∞と考えれば、無限遠点で交わると考えることも一応、可能。

だから、ｙ²＝ｘ³＋１の有理点の個数は、「答え　５個」と書いた下に小文字で、「無限遠点を含めると６個」と書いてた。

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そして、この記事の最後は、楕円曲線ｙ²＝ｘ³＋２の有理点の求め方。

すぐ分かる自明な有理点は、（－１，１）と（－１，－１）。この２点を通る直線からも、無限遠点という交点が求められると言うことは可能。ただ、番組ではスルーしてた。というのも、結論がそもそも無限個だから。わざわざ無限遠点という変な点を加えるまでもない。

この場合は、自明な有理点からの接線と曲線の交点を求めてた。接線の扱い方は色々あるけど、一番速いのは、

　ｙ²＝ｘ³＋２の両辺をｘで微分すること。すると、合成関数の微分法より、

　２ｙ・ｄｙ／ｄｘ＝３ｘ²　　∴　ｄｙ／ｄｘ＝３ｘ²／２ｙ

よって、点（－１，１）における接線の傾きは、３（－１）²／（２・１）＝３／２

接線の式は、　ｙ＝（３／２）（ｘ＋１）＋１

これを楕円曲線の式に代入して、ｘの３次方程式を求めると、

｛（３／２）（ｘ＋１）＋１｝²＝ｘ³＋２

展開・整理すると、

　ｘ³－（９／４）ｘ²－（１５／２）ｘ－１７／４＝０

交点のｘ座標をｐとすると、３次方程式の解と係数の関係より、２次の係数（正負の符号は逆転）に着目して、

　９／４＝－１－１＋ｐ　（接点のｘ＝－１は重解だから、－１と－１と考える）

　　∴　ｐ＝１７／４

よって、もう１つの交点も有理点（１７／４，７１／８）だと分かる。ｙ座標の計算式は、直線の式を用いて、　（３／２）（１７／４＋１）＋１＝７１／８　。

同様の方法を使えば、有理点は無限個ありそうな気はするけど、証明は大変そうなので、とりあえず省略。途中で元の点に戻ってしまう循環が生じないこと、接線が点（－１，０）（次の接線を引く時に困る点）を通らないことを示す必要がある。

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なお、前の楕円曲線ｙ²＝ｘ³＋１では、接線は役に立たない。というのも、３つの自明な有理点における接線は、どれも軸と並行で、自分自身を除く共有点が無いから。ｘ＝０は三重解になる。ただし無理やり考えるなら、ｘ＝－１での接線から、無限遠点という特殊な有理点を求めることは可能。

肝心のＢＳＤ予想そのものについては、またいずれ。難し過ぎるから、パスするかも♪　というわけで、やっぱり数式はｍａｃＯＳよりＷｉｎｄｏｗｓの方が入力しやすいな・・とか思いつつ、今日のところはこの辺で。。☆彡

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