陸上長距離・マラソン、ベストタイムの統計分析、ベテランと若手の「偏差値」～２０２４年共通テスト・数学ⅠＡ・第２問〔２〕

今年の数学ⅠＡの問題をザッと見渡すと、電柱の影が身近な問題で面白そうに見える。しかし、私は一応、高校の陸上部出身で市民ランナーの端くれなので、とりあえず今日は長距離・マラソンの問題を扱うことにしよう。どうも、本物のデータ（ベースボール・マガジン社、陸上競技ランキング）を使用して問題作成してるらしい。ちなみに、２問とも扱う余裕は無い。

いつものように、問題は河合塾から借用した。実際のデータの保存先は、提携先の産経ｎｅｗｓ。今回のネット公開は、２１時頃だったと思う。

本来なら、問題文はすべて自分で打ち直したいところだけど、あまりに問題が長過ぎる。まあ、短くすると、得点の分布が高い方に偏ってしまうからだと思うけど、国語や英語の問題ではないのだから、もう少し短くするべきだと思う。

今現在ならともかく、非常に近い将来（今年の内にとか）、長文の問題だとＡＩと人間の差が大きく開いてしまうはず。ＡＩは単純な長文の読み書きが非常に速いけど、人間は遥かに遅いから。

なお、問題とは直接、関係ないけど、昨日行われた全国都道府県対抗女子駅伝の１区で、石川県代表の五島莉乃選手が１位、区間賞を獲得した。元日から続く地震の被災地を勇気づける走りはお見事。沿道からは、「石川がんばれ！」という温かい声援もあったとの事。ランナーでなくても、いいねボタンを押したくなる話だろう。

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２０１８年より前にマラソン・ベストタイムを出した男子選手の数値（データＡ）と、２０１８年以降にベストを出した選手の数値（データＢ）を分けて、全員に共通する２時間という部分をカット。残りの部分を「秒」単位に換算する。もし、「分」と「秒」のまま問題にしてれば、平均点は大幅に下がってたと思う。

簡単にまとめてしまうと、データＡはベテラン（古株）グループ、データＢは若手グループみたいな感じ。単なる年齢だけでなく、「現役度」みたいなもの。例えば、大迫傑は３２歳だから、わりと年齢は高いけど、データＢになる。マラソンのベストは２０２０年。

全体的には若手グループの方が速いけど、各集団内での「偏差値」みたいなものを比較するとどうか？、といった話まで考える専門的な出題。例えば、ベテランの中で非常に偏差値が高いランナーと、若手の中で少し偏差値が高いランナーなら、前者の方が優れてるとか。

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（ｉ）　図１から、Ａの最頻値は階級５１０以上、５４０未満の階級値。よって、サの答は選択肢８。

また、図２から、Ｂの中央値が含まれる階級は４５０以上、４８０未満。よって、シの答は選択肢６。

要するに、ベテラン・グループの方が遅いということ。

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　（ｉｉ）　図３の箱ひげ図を見る。Ｂの速い方から１３番目の選手のベスト（下の四角の左端）は、Ａの速い方から１３番目のベスト（上の四角の左端）より、およそ４５秒速い。よって、スの答は選択肢４。

Ａの四分位範囲（上の四角の横の長さ）から、Ｂの四分位範囲（下の四角の横の長さ）を引いた差の絶対値は、ほぼ０。よって、セの答は選択肢０。

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このｚという値は、いわゆる偏差値みたいなもの。ｚのプラス・マイナスの符号を逆転させて、１０倍して５０を加えた数が、いわゆる偏差値。

Ｂの１位の選手のベストに対するｚの値は、

　（２９６－４５４）／４５　＝　－３．５１

よって、ソタチの答は、３５１。ギリギリで割り切れないのに、３ケタも答えさせるとは、ちょっと意地悪かも。最後の小数第２位の数字で間違えた受験生は結構いると思う。３５「０」とか。

また、ベストはＢの１位の選手の方が速い。

さらに、Ａの１位の選手のｚの値は、

　（３７６－５０４）／４０　＝　－３．２

よって、Ｂの１位の選手の方がｚが小さい（優れてる）。

したがって、ツの答は、選択肢１。

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図４の左下を見ると、マラソンのベストの速い方から３番目までの選手の１００００ｍのベストは、３選手とも１６７０秒未満。よって、（ａ）の記述は正しい。

また、図４と図５を大まかに見比べると、図５のデータの方が、右上がりの直線に近い分布になってる。つまり、マラソンと１００００ｍの相関は、５０００ｍと１００００ｍの相関より「弱い」。よって、（ｂ）の記述は誤り。

したがって、（ａ）（ｂ）の正誤の組合せとして正しいもの（テの答）は、選択肢１。

マラソンは４２１９５ｍだから、１００００ｍの４．２倍もある。それに対して、１００００ｍは５０００ｍの２倍にすぎない。だから、５０００ｍと１００００ｍの相関の方が強いのは自然なこと。競技時間の差を考えても分かりやすい。マラソンは、１００００ｍと比べて、１時間４０分くらいも長いのだ。

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私にはこの問題は、簡単なサービス問題に見えるけど、はたして集計結果はどうなるか？　受験生の性格やパーソナリティーによっては、最後の問題はマジメに全て計算しようとして混乱してしまったかも。

統計というものは一般に、最後の結論の所は非常にざっくりしてるのだ。優れてるとか、速いとか、強いとか、上がったとか。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２１１８字）