整式の除法に関する剰余定理の発展、複素数範囲の因数分解、論理と同値変形～２０２４年共通テスト・数学ⅡＢ・第１問〔２〕

共通テストから既に丸１ヶ月も経過してしまったが、数学ＩＡの記事しか書いてなかったので、数学ⅡＢの記事も１本だけ簡単にアップしとこう。

この問題の内容は、私には数ⅠＡのように感じられるけど、ネットで調べると、整式の割り算も複素数も数ⅡＢだった。高校に限らず、学校教育の学習指導要領はよく変更されるので、なかなかフォローしきれない。

問題はいつものように、河合塾ＨＰを経由して、大学入試センターから借用させて頂いた。

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第１問〔２〕（１）解答

　Ｓ（ｘ）＝ｘ²＋４ｘ＋７＝０の解は、１次の係数が偶数の時の解の公式より、

　ｘ＝－２±（√３）ｉ　・・・コサシの答

　また、与えられた場合の割り算を実行すると、

　２ｘ³＋７ｘ²＋１０ｘ＋５＝（ｘ²＋４ｘ＋７）（２ｘ－１）＋１２　・・・スセソタの答

（感想）　このくらいの割り算だと、なるべく暗算で済ませる方が時間と労力の節約になる。商の１次の項が２ｘなのはすぐ分かるから、次の定数項－１まで書いてみて、かけ算で素早く確認。最後に、等式の左右の定数項に着目すれば、余りも暗算で分かる。

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（２）（ｉ）の解答

仮定より、　Ｐ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）Ｔ（ｘ）＋ｋ

また、Ｓ（α）＝Ｓ（β）＝０ だから、

因数定理より、Ｓ（ｘ）＝（ｘ－α）（ｘ－β）

よって、Ｐ（ｘ）＝（ｘ－α）（ｘ－β）Ｔ（ｘ）＋ｋ

　∴　Ｐ（α）＝ｋ，　Ｐ（β）＝ｋ

　∴　Ｐ（α）＝Ｐ（β）

したがって、チの答は、選択肢３。ツの答は、選択肢１。

（感想）　このチとツの箇所が、この問題の論理＝ロジックのポイントだが、選択肢がやや不適切。それを確認するために、上では選択肢まで再掲しておいた。チの答で、既にＰ（α）＝Ｐ（β）と書いてしまってるから、次の「したがって」という接続詞が無駄な遊びゴマになってるのだ。

Ｐ（α）＝Ｐ（β）は、次の（ｉｉ）で使う重要な式であり、（ｉ）の結論。だから、チではＰ（α）＝ｋ、Ｐ（β）＝ｋに留めておいて、次のツで、「したがって」Ｐ（α）＝Ｐ（β）、と結論付けるのが正確な論理展開。残念ながら、そういった細かい事まで配慮した問題・解答・教育は数少ない。

ここが少し変な流れになってることも、河合塾の分析の総評に影響したと思われる。「・・・論理的な思考力が試される設問が多かった。出題者の誘導に乗りづらい設問も多く、また、選択肢に紛らわしいものがあった」。

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（ｉｉ）（解答）

　逆に、Ｐ（α）＝Ｐ（β）が成り立つときを考える。

　Ｐ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）Ｔ（ｘ）＋ｍｘ＋ｎ　・・・テの答、選択肢１

　また、Ｓ（α）＝０、Ｓ（β）＝０だから、

　Ｐ（α）＝ｍα＋ｎ　かつ　Ｐ（β）＝ｍβ＋ｎ　・・・トの答、選択肢１

　Ｐ（α）＝Ｐ（β）だから、ｍα＋ｎ＝ｍβ＋ｎ

　∴　ｍ（α－β）＝０

　α≠βより、　ｍ＝０　・・・ナの答、選択肢３

したがって、余りのｍｘ＋ｎは、ｎのみになる。つまり、定数になることがわかる。

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（３）（解答）

Ｓ（ｘ）＝０の２つの解は、２と－１。

よって、（２）までの考察より、

　Ｓ（２）＝Ｓ（－１）

　∴　－４ｐ－１０＝－ｐ＋８

　∴　３ｐ＝－１８　　∴　ｐ＝－６　・・・ニヌの答

　余りは、Ｓ（２）＝－４ｐ－１０にｐ＝－６を代入して計算すればよい。

　－４×（－６）－１０＝１４　・・・ネノの答

（感想）　（３）は簡単だが、（２）の論理でつまづいてしまうと、大幅に点数を失ってしまう恐れがある。論理的に考えさせたいという出題者の狙いは良いので、選択肢の細部まで正確な配慮が必要だった。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　長距離・マラソン、ベストタイムの統計分析、ベテランと若手の「偏差値」～２４年共通テスト・数ⅠＡ・第２問

　　　　　　（計　１５２４字）