数字カードの移動、はじめのゲームの状況と結果の関係～開成中２０２４年入試、算数・問題２の解き方（ＡＩも正答）

小学６年生にとって最難関の一つ、開成中学の入学試験。今年（２０２４年）も算数の問題を１問、ブログ記事にしてみます。第２問は、ルールに従って操作を何度か行う問題で、おなじみのパターン。トランプや、最近は小学生もやり始めてる麻雀（マージャン）をイメージした、単純で面白いゲームです。

ただ、最も難しい最後の（３）の出題意図や狙いが今一つ分かりませんでした。おそらく、（２）から何か規則や法則性を見出して、それを使って（３）に応用して欲しいのだろうと思います。ただ、今のところ、私には発見できないので、普通に解いてみます。分野としては、高校の数学（算数）の「場合の数」で、ハイレベル。大学の入試問題としても難問です。

もし後で、出題者の意図に気付いたら、ここに追記します。たぶん、（２）の終盤と（３）は、高校数学の「連立漸化式」か「三項間漸化式」を応用してるのでしょう。なお、問題は四谷大塚ＨＰから縮小コピペでお借りしました。

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（１）解答　「はじめのカードの状況」が７４６３１２５の場合、

　７→机、４→机、６→箱、３→机、１→机、２→箱、５→箱、というようにカードを動かすことになる。

　よって「結果」は、≪ ７４３１ ≫ 。　・・・答

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（２）解答

（ア）　最初が２で、後のカード２枚（３、１）の並び方は自由だから、［２３１］、［２１３］。　・・・答

（イ）　最初が２で、後のカード３枚（４、３、１）の並び方は自由。よって、３ケタの数と考えて大きい順に書くと、

　　　［２４３１］、［２４１３］、［２３４１］、［２３１４］、［２１４３］、［２１３４］。　・・・答

（ウ）①　最初（１番目）が２で、後のカード４枚（５、４、３、１）の並び方は自由。まず、２番目が４通り。次に３番目が残った３通り。さらに４番目が残った２通り。最後に５番目は残った数のカード。

よって、４×３×２＝２４（通り）。　・・・答

　②　最初は５で決定。後のカード４枚（４、３、２、１）だけからの「結果」が ≪ ２１ ≫ になればよいので、（イ）と同様に考えて、６通り。　・・・答

（エ）　最初は５で決定。

　　　　まず、後のカード５枚（６、４、３、２、１）だけからの「結果」が ≪ ２１ ≫ になる場合は、（ウ）①と同様に考えて、２４通り。

　　　　また、後のカード５枚（６、４、３、２、１）だけからの「結果」が ≪ ６２１≫ になる場合もある（６は最初の５より大きいから箱に移動）。この場合は、（ウ）②と同様に考えて、６通り。

　以上の２つの場合のみが条件をみたすので、２４＋６＝３０（通り）。　・・・答

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（３）（問題）　９枚のカード全部を使う場合を考えます。

　　　結果が ≪ ７５４２１ ≫ になるはじめのカードの状況は何通りありますか。

（解答）　最初は７で決定。後のカード８枚（９、８、６、５、４、３、２、１）のうち、５、４、３、２、１の５枚の並び方は、５４２３１か５４２１３の２通りのみ。

　だから、この５枚はまず「？」５つで表しておくことにする。つまり、９８６？？？？？の８枚の並び方を考える。

　９が何番目かを考えて、８通り。続いて、８が残りの何番目かを考えて、７通り。残った６ヶ所の内、６は、左端以外に並ぶことになるので、５通り。後の５ヶ所の？は、５４２３１か５４２１３の２通り。

　よって、８×７×５×２＝５６０（通り）。　・・・答

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最後の（３）は、（２）④のような、より簡単な２つの場合の足し算を積み重ねれば求められるのかも知れません。

ただ、例えば、５４３２１の５枚からの結果が ≪ ５４２１ ≫ となる場合とか、６５４３２１の６枚からの結果が ≪ ５４２１ ≫ となる場合などを考えても、あまり役に立ちませんでした。無理やり使うことなら出来ますが、むしろ面倒になってしまうので役に立たないのです。

例えば、答を表す式は、４通りに分けて計算することで、　４２０＋１０＋６０＋（６０＋１０）＝５６０　とも書けます。でもこれなら、８×７×５×２の方が、遥かに簡単な数式計算で、考え方もシンプルです。

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なお、この問題は、話題の対話型生成ＡＩ「ＣｈａｔＧＰＴ（ｍｏｄｅｌ４）」が完全に正答しました。ただ、考え方は人間とは全く違うようです。

というか、問題をｐｙｔｈｏｎ（パイソン）という言語でプログラミングした後、どうやって答にたどり着いたのかは分かりません。単純にすべての場合を試すと大変なので、色々と工夫をしたと言ってました。　　　　

とにかく、今日のところはこの辺で。。☆彡

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