２進法の計算、直接的な減法（引き算）と、コンピューター内部で「２の補数」を用いる減算 ～ 高校『情報Ⅰ』

１年半ぶりに、高校の新必修科目『情報 I 』の教科書（東京書籍）で記事を書いてみよう。プログラミング記事は別にすると、今まで２本だけ記事をアップ。２本目には地味にアクセスが入り続けてる。相対的にきっちりしたデジタル計算の方が好まれるということか。あるいは、高校のテストに出やすいとか。

　アナログの音のデジタル化（標本化＝サンプリング、量子化、符号化）～高校『情報Ⅰ』（新必修科目）

　デジタル画像の可逆圧縮、「ランレングス（連長）圧縮」の簡単な具体例と説明、圧縮率の計算～高校『情報Ⅰ』

今日ここで扱うのは、正直言うと、私が今までなるべくスルーしてた「２の補数」の話。２進数の引き算をコンピューターが行う時、直接の引き算ではなくて、まず引く数に対する「２の補数」を求めて、引かれる数に足して、最後に「桁上がり」を削除するらしい。

この話を最初に聞いたのはかなり前のことで、ずいぶん回りくどい方法だなと感じてしまった。引き算１回を、３回の演算に分けて処理することになる。今でも、面倒な手続きのデメリットに対してメリットがどれだけあるのか、人間の私としてはよく分からない。

とはいえ、高校の必修科目の教科書で、計算の基本として説明されてるので、試しに学校教育の流れに乗ってみよう。教科書ｐ．３８～ｐ．３９の内容。

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まずは、２進数の足し算の確認から。例題１①。下線の入力が出来ないので、代わりに色を変える。

ポイントはただ１つ。「１＋１＝１０」。つまり、１と１を足す時だけ、１が上の位に繰り上がる。ちなみに、特に何も書かなければ２進数を表すことにする。

　　　０１０１

＋）　１００１

　　　１１１０

この計算は、右端（２の０乗の位）からその左隣（２の１乗の位）へと、繰り上がりが１回あるだけだから、非常に簡単。

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続いて、直接的な減法（引き算）。足し算は昔から普通にある話だが、引き算を前面に出すのは目新しいことのような気がする。

例題１②。ポイントはただ１つ。

「０－１＝１　ただし上の位（左の桁）から１、借りる」。

　　　１０１０　

－）　０１１０

　　　０１００

答の最上位（左端）の０を書いてるのは、この後、全体の桁数や左端が重要な意味を持って来るから。例えば、左端の０は「正（＋、プラス）」の意味にもなる。

もう１問、やってみよう。問題３②。教科書では、２の補数を用いて計算することになってるが、ここではまず普通に引き算してみる。

　　　１１００　

－）　１００１

　　　００１１

この計算では、まず右端で、０－１＝１となって、引かれる数の左隣の桁から１借りる。ところが左隣は０だから、そのまた左隣から借りて来て、結局、１００－１＝１１、と計算することになる。

そうではなく、「０から１借りるから、右端から２番目はまず－１になる。さらに、－１－０＝１で、上の桁から１借りて・・」などと考えることも可能だが、流石に不自然すぎて間違えやすいし、分かりにくいだろう。

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一方、コンピューターの内部では、引き算は、「２の補数」を用いて足し算にすると言われてる。具体的な問題でやってみよう。

まず、上の例題１②の引き算。１０１０－０１１０＝０１００。

引く数０１１０に対して、「補数とは、ある自然数に足して桁が１つ上がる数のうち、最も小さな数のこと」。２進法だと、２の補数とも呼ばれる。

この説明は分かりにくいので、２進法の場合の簡単な説明も載ってた。「補数は２進法の数値の０と１を反転させた数に１を足すことで機械的に求められる」。「２の４乗－元の数」という数学的説明と比べても、反転＋１の方が実用的だと思う。

上の問題の場合、（０１１０の補数）＝１００１＋１＝１０１０。要するに、１００００－０１１０を表してる。（２の５乗）－（元の式の引く数）。

これを用いると、元の引き算は次のように処理できる。ある数を引く代わりに、その数の補数を足して、１００００を引く（４桁の引き算の場合）。

　１０１０－０１１０

＝１０１０＋（１００００－０１１０）－１００００

＝１０１０＋（２の補数）－１００００

＝１０１０＋１０１０－１００００

＝０１００

確かに、直接の引き算と同じ答が出た。

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続いて、問題３②も補数で計算し直してみる。

　１１００－１００１

＝１１００＋（１００００－１００１）－１００００

＝１１００＋（２の補数）－１００００

＝１１００＋０１１１－１００００

＝００１１

これも同じ答になった。

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では最後に、答がマイナスになる引き算について。教科書には載ってなかったので、手元のデジタル関連本の問題を少し改変して考えてみよう。１０１０－１１０１。

直接の引き算だと、最初に少し変形して、引きやすくする。負の数が登場する中学１年くらいで使ってた変形だと思う。

　　１０１０－１１０１

＝　－（１１０１－１０１０）

＝　－００１１

マイナスの符号を除くと、元の引く数１１０１の補数になってるが、これは単なる偶然。ちなみに、上の計算を十進数で書き直すと、１０－１３＝－３ということ。

一方、２の補数を用いて引き算すると、

　　１０１０－１１０１

＝　１０１０＋（１００００－１１０１）－１００００

＝　１０１０＋（２の補数）－１００００

＝　１０１０＋００１１－１００００

＝　１１０１－１００００

＝　－（１００００－１１０１）

＝　－００１１

答は一致するが、やはり人間的にはメリットを感じないどころか、短所・欠点の方が目立つ気もする。

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案外、コンピューターの設計図である論理回路を２種類、書いて比較すれば、２の補数を用いた引き算の長所が見えて来るのかも知れない。

それは図の作成も含めてかなり面倒な作業になってしまうから、先送りにしとこう。とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

　　　　（計　２３５６字）