放物線で囲まれた三角形の面積の１／４公式（アルキメデス）＆べき乗和公式の計算の説明～ＮＨＫ『笑わない数学 ＳＰ』微分・積分

「微分のことは微分（自分）でやれ」と♪　ダジャレの名言で締めてくれたから、番組で飛ばした計算を自分でやろう。微分ではない計算を（笑）

この忙しい年末に、急に数学バラエティのスペシャルなんて放送されても困ってしまうけど、先行する再放送がたまたまＮＨＫプラスの動画で目に入ったから、スペシャルは本放送を見てしまった。見たのに書かないと大損した気分になるのが、ブロガー症候群♪　ごく簡単に感想記事（というより計算記事）をアップしとこう。

ちなみに、このブログでは過去、もっとマニアックな内容の『笑わない数学』記事を多数書いてるので、簡単すぎて物足りない方はそちらをご覧あれ。今は１２月３０日の未明で、早めに寝ないとヤバイ！　多数のリンクを張る余裕はないので悪しからず。

なお、番組と関係なく、厳密な解析学（イプシロン・デルタ論法）の初心者向け記事も複数書いてる。あれを理解するためには、「述語論理（学）」とその記号に関する基礎的知識が必要。１本だけ、１５年前の記事にリンクを付けとこう。微分と積分の基礎とされたのが、極限（ｌｉｍｉｔ：リミット）。

　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法による極限の定義

細かいけど、下図のａとα（アルファ）は分かりにくいから、ａとｂにした方がいい。

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ではまず、曲線（放物線）と直線が囲む領域の面積を求める時に出て来た、三角形の面積（の和、足し算）が次々に１／４になって行く法則。例えば、赤い三角形２つの面積の和は、青い三角形の面積の１／４になる。

アルキメデス自身がどう計算したのか、今調べる余裕はないから、自分で普通に座標計算して求めよう。放物線は、ｙ＝ｘ^2 とするけど、ｙ＝ｋｘ^2 としてもほぼ同じ計算になる。

ちなみに番組冒頭で、斜めの三角形の面積を左右２つに分けて、その和を求めてた（上図）。あれは、以下の計算の先取り、簡単な予行演習になってる。

（青い三角形）＝（左の青い三角）＋（右の青い三角）

　　　　　　　＝〔｛（a^2+b^2）/2 －(a+b)^2／4 ｝×｛(a+b)/2 －a｝÷２〕

　　　　　　　　　　＋〔｛（a^2+b^2）/2 －(a+b)^2／4 ｝×｛b－(a+b)/2 ｝÷２〕 

　　　　　　　＝　・・・（省略）

　　　　　　　＝（ｂ－ａ）^3 ／ ８

上の式を公式のように使って、赤い三角形２つの面積を求めて足し合わせると、

（左の赤い三角）＋（右の赤い三角）

　　＝〔｛(a+b)/2 －a｝^3 ／ ８〕＋ 〔｛b － (a+b)/2｝^3 ／ ８〕

　　＝　・・・

　　＝（ｂ－ａ）^3 ／ ３２

∴ 　（左の赤い三角）＋（右の赤い三角）＝（青い三角形）／４

次々に１／４になっていく関係を使うと、放物線と直線が囲む面積が４／３になってた。ただし、青い三角形の面積が１の場合という条件付き。

この条件付きの結果（面積４／３）に関しては、放物線が係数付きでｙ＝ｋｘ^2でも同じになる。ｋが大きくなったら、ａとｂ

の差（図形の横幅）が狭くなるだけ。

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一方、声が可愛い合原明子アナが「とにかく、こうなるんです」と強引にナレーションしてた計算は、右横に小さく「べき乗和の公式を使う」と書いてた。

(1/10)(1/10)^2＋(1/10)(2/10)^2＋・・・＋(1/10)(10/10)^2

　＝（1^2＋2^2＋・・・＋10^2）／ 1000

　＝｛(2×10^3＋3×10^2+10)／6｝／ 1000　（べき乗（２乗）和の公式）

　＝(2×10^3)/6000 ＋ (3×10^2)/6000 + 10／6000

　＝ 1/3 ＋ (1/2)(1/10) ＋ (1/6)(1/10)^2

なお、使った公式は高校２年くらいで習う教科書レベルの公式で、別にハイレベルではなく基礎的なもの。数列の和のΣ（シグマ）計算で出て来る。ここでは、九州大学のｐｄｆファイルから引用させて頂こう。下の式でｎ＝１０とした場合の等式を、上で使用した。ただし右辺は展開して、２n^3＋３n^2＋ｎとして用いてる。

後はもう、微分のことは微分（自分）でやって下さい！（ｂｙパンサー・尾形貴弘）♪　ハマちゃんがちょっと可愛く見えたかも（笑）・・とか思いつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

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