分かりやすい誘導、適度な難問～海陽中等教育学校２０２５年度特別給費生入試、算数・問題４の解き方（図形の折り返しと相似）

今は２０２５年の１月半ば。そろそろ有名中学の入試が始まってる頃だろうと思って、四谷大塚のサイトを見ると、一番上に載ってたのが海陽中等教育学校の特別給費生入試の問題でした。

実施は２０２４年１２月ですが、「２０２５年度」の入試。この学校の問題は今まで見たことがなかったので、今日の記事で解説してみましょう。算数の最後、問題４。

最終的には、三角形の面積を求めるのですが、いきなり聞かれても、やり方がなかなか分からないと思います。そこで、面積の前に、辺の長さや比を求めさせる誘導問題がついてます。

かなり難しいけど、自然な流れの考えで解けるので、適度な難問、良問だと思います。特別給費生の選抜試験だから、たぶん中学や高校の数学を使う受験生もいるのでしょう。三平方の定理（ピタゴラスの定理）、２次方程式、中点連結定理など。

ただ、ここでは小学校の算数で解くことにします。図形の折り返しの特徴を活かしつつ、相似・比例の関係を繰り返し使うことになります。完全な解答を書くと、長過ぎるし、実際の試験でもそんな時間は無いはずなので、ここでも少し省略した解答を書きます。

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解答（１）ＢとＤが重なるように折っているので、

△ＤＥＦ≡△ＢＥＦ。また、ＢＧ＝ＤＧ。 ∠ＥＧＤ＝９０° 。

上図のように、点ＧからＢＣに下ろした垂線の足（下側の点）をＰとすると、直角三角形ＢＰＧとＢＣＤは相似だから、

ＢＰ＝ＰＣ＝８ｃｍ。また、ＧＰ＝１ｃｍ。

さらに、△ＢＣＤと△ＧＰＥは相似だから、

ＰＥ＝ＧＰ×（２／１６）＝（１／８）ｃｍ。

よって、ＢＥ＝ＢＰ＋１／８＝（６５／８）ｃｍ。

ＥＣ＝ＰＣ－１／８＝（６３／８）ｃｍ。

だから、ＢＥ：ＥＣ＝６５：６３　・・・答

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（２）　ＦＥを延長した直線とＡＣを延長した直線の交わる点をＨとします。ＣＨの長さを求めなさい。

（解答）

直角三角形ＢＣＤとＨＣＥは相似だから、

ＣＨ＝ＥＣ×（１６／２）＝６３ｃｍ　・・・答

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（３）　ＡＦ：ＦＢを求めなさい（できるだけ簡単な整数の比で答えること）。

（解答）　

上図で、直角三角形ＢＣＤとＨＡＩも相似だから、

　ＡＩ＝ＨＡ×（２／１６）＝７１／８

さらに、△ＦＡＩと△ＦＢＥが相似だから、

　　ＡＦ：ＦＢ＝ＡＩ：ＢＥ

＝（７１／８）：（６５／８）＝７１：６５　・・・答

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（４）　三角形ＤＥＦの面積を求めなさい。

（解答）

上図より、

△ＤＥＦ＝△ＢＥＦ

　　　　＝△ＦＢＣ×６５／（６５＋６３）

　　　　＝｛△ＡＢＣ×６５／（６５＋７１）｝×６５／（６５＋６３）

　　　　＝｛（１６×８）／２｝×（６５／１３６）×（６５／１２８）

　　　　＝４２２５／２７２

　　　　＝１５＋（145/272）ｃ㎡　・・・答

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実際に試験場で解く時には多分、元の問題図にあれこれ書き込んで解く人も多いのでしょう。ただ、試験問題では、図のすぐ下に文章が書かれてるので、その上に自分であれこれ書き込むと分かりにくいはず。

だから、自分でいくつかの図を書く方が分かりやすいと思いますが、かなりキレイに書かないと勘違いしてミスが出てしまうでしょう。特に、点Ｈはかなり下の方にあるので、縦長の大きな図を書くことになります。あるいは、頭の中だけでイメージするとか。

要するに、底辺と高さの比が８：１の直角三角形が色々と登場するので、８倍とか１／８とかで計算していくことになります。

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なお、（１）で中学の三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使う場合は、直角三角形ＥＣＤに関して、

　ＥＣ²＋ＣＤ² ＝ ＥＤ²

という関係式を使うことになります。

そのまま普通に使おうとすると、中学の√  （ルート）という記号が出てしまいますが、上手く使えば、その記号を避けることができます。 

それでは今日は、この辺で。。☆彡

　　　　（計　１５６０字）