４×９＝３６マスの格子を、８つの長方形（１～８マス）に区切る方法～開成中２０２５年入試、算数・問題２の解き方

２週間遅れになりましたが、今年も最難関・開成中学校の入試の算数を見てみましょう。小学６年生に対する試験として良い問題だと思ったのは、第２問。分かりやすい設定で、開成中の受験生なら誰でも半分くらいの点数は取れて、しかも時間をかけて努力すれば少し点数が上がると思われるからです。

ただし、最後の（３）の理論的に完全な解説はかなり難しいというか、面倒でしょう（この記事の最後で大まかに説明します）。もちろん、そんな事までは試験で問われていませんが、有名な塾の先生たちがどうやって「正解」を出したのか、興味深いところです。

コンピューターを使って、すべての場合の区切り方を調べたのかも知れません。あるいは、少し条件をつけて。例えば、一番上の１行目にタテ１×ヨコ７の長方形、２行目にタテ１×ヨコ５の長方形を置くとか。変化が多いので、人間が行うと、うっかり何かを見落としてしまう可能性が十分あります。

なお、問題は、四谷大塚ＨＰから引用させて頂きました。

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［２］　同じ間隔でタテ４行×ヨコ９列の目盛りがかかれた板があります。

この板を目盛りにそって８つの長方形に区切ります。長方形は、ふくまれるマス目の個数が１,２,３,４,５,６,７,８のものが１つずつあるようにします。なお、例えば、４マスの長方形のタテ×ヨコは、 １x４,２x２,４×１のいずれでもかまいません。

このとき、行ごとに長方形が何種類あるかを数え、上からｘ行目にｙ種類あるとき、ｘとｙの積を計算します。そして、その値を１行目から４行目まで加えた数をポイントとします。

例えば、次の（図１）の区切り方のポイントは２８です。

（１）　次の（図２）、（図３）の区切り方のポイントをそれぞれ答えなさい。

（解答）　

（図２のポイント）

＝１×３＋２×３＋３×２＋４×２

＝２３　・・・答

（図３のポイント）

＝１×２＋２×３＋３×５＋４×３

＝３５　・・・答

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（２）　ポイントが２０、３０となる区切り方をそれぞれ１つずつ答えなさい。

（解答の例）

（ポイントが２０の区切り方）

　（１×２＋２×２＋３×２＋４×２＝２０）

（ポイントが３０の区切り方）

（１×４＋２×３＋３×４＋４×２＝３０）

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（考え方、発展）　横方向の種類が多いとポイントが増えるので、大まかに見ると、長方形はなるべく縦型に使う方がポイントが増えます。逆に言うと、ポイントを少なくするには、長方形を横型に使えばいいことになります。

だから、ポイント２０の区切り方は簡単に分かるでしょう。ちなみに、図１、図２、図３のポイントがそれぞれ２８、２３、３５だから、ポイント２０というのはかなり少ない方だろうと推測できます。

ところで、最小値が２０であることの証明なら簡単に出来ます。中学以降なら、不等式を使って処理するところですが、小学校ではあまりやらないようなので、等号つきの不等号（≧、≦）などは使わずに証明します。

（証明）　各行は９マスで、長方形は１～８マスなので、行ごとの最小の種類は２種類。

そして実際、解答例のように、すべての行に２種類の長方形だけを置くことができる。

よって、最小のポイント数は、１×２＋２×２＋３×２＋４×２＝２０　（証明、終わり）

一方、ポイントを３０にするには、２０の時の式に似た形で、

１×３＋２×３＋３×３＋４×３＝３０

とする考え方もあります。

ただ私は、図１のポイントが２８だから、それを少し変更して、ポイントが少しだけ上がるようにしました。

この問題は、受験としては、理屈や数式でスパッと解く問題ではありません。だから解答欄には、下書き用のマス目がたくさん書かれていました（１８コ）。「試行」錯誤するのも、「思考」力です。

素早く解いた生徒には、書かずに頭の中だけで解いた人もいたでしょう。遥かに複雑な将棋や囲碁でさえ、頭の中だけで出来る小学生もいるので。

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（３）　ポイントがなるべく大きい区切り方を１つ答えなさい。また、そのポイントを答えなさい。（ポイントが大きい答ほど、高い得点を与えます。）

（解答の例）

（１×３＋２×４＋３×５＋４×５＝４６ポイント）

（考え方、発展）　横に長い７マスと５マスの長方形は、それぞれ１行目と２行目に置けばいいでしょう。左右にズラすことも出来るので、それだけでも変化が増えます。

なるべく長方形を縦長に使うということでは、例えば８マスの長方形と６マスの長方形を下のように置くのは筋が通った考えで、区切り方もすっきりキレイです。

ただ、これだと、１×２＋２×３＋３×４＋４×５＝４０ポイント。これで何点もらえるのか分かりませんが、半分くらいはもらえるのかも知れません。

欠点があるのはハッキリ分かります。４マス、３マス、２マスの長方形を、縦長に使えてないからです。そこで、上図の右端の８マスの長方形を横向きにして左下に置いて、代わりに４マス、３マス、２マスの長方形を縦長に置き直したのが、正解の例の図なのです。 

ちなみに、１行あたりの長方形の種類の最大値は６（例えば、１×１＋２×１＋３×１＋４×１＋２×３＋４×２）なので、下図のように、４行目を６種類にすることは、試す価値があります。ただ、残念ながら、７マスの長方形が置けなくなってしまいます。

とはいえ、上図のような事を試すと、１～４、６、８マスの長方形すべてを縦長に使うことはできないことが分かります。４マスと８マスの両方を縦長に使うだけでも不可能（７マスの長方形が置けなくなる）。では、どれを諦めて、どうするのか。時間内で素早く実験することになります。

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最後に、ポイントの最大値について。上のように考えると、どうも１行あたり６種類というのは無理そうなので、１行あたり５種類が最大だろうと考えられます。しかも、下図（正解の別の例）のように、５種類の行はおそらく２つの行が限度。

さらに、１行目は７マスの長方形を置くと、最大で３種類。２行目は５マスの長方形を置くと、最大で４種類（３、４行目を５種類にしたいから）。

よって、ポイントは最大でも

１×３＋２×４＋３×５＋４×５＝４６（以下）

そして実際、この４６に出来るから、ポイントの最大値は４６。

まだ説明不足ですが、こんな感じでもう少し頑張れば、きっちりした証明になりそうです。とりあえず、今日はそろそろこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２６１７字）