かけ算の九九の表で、長方形で囲まれた数を足して３１５になる場合～灘中学校２０２５年入試、算数１・問題６の解き方

今日は久しぶりに、関西の超難関、灘中学校の算数の入試問題を解説してみます。１日目の算数の時間は、年によって、５０分の時と６０分の時があるようですが、今年（２０２５年）はどうも６０分だったようです（ネットの能開センターの情報）。

いずれにせよ、短い時間で難問を１２問も解くのは大変なこと。全体はこんな感じでした。四谷大塚ＨＰで公開されてるので、縮小して引用します。たぶん大学生でも、１問も解けない人がかなりいるでしょう。学校のサイトによると、受験者の平均点は６０．７点。合格者の平均点は７２．７点。最高は１００点！　みんな、素晴らしく賢い小学生ですね。

この中で私の目に留まったのは、６番。かけ算の基本、九九の表。難しくて面白くて珍しい問題なので、これを説明します。

　　　　　　☆　　　☆　　　☆

上図の太線の長方形を見ると、すべての数の和は、確かに３１５になってます。

　４２＋４８＋４９＋５６＋５６＋６４＝３１５

長方形が全部で２０２５個あるという点は、後で説明します。高校の数学の基本問題なのです。

その２０２５個の長方形の中で、数の和が３１５であるものがいくつあるか？　一つ一つ数える時間は無いし、多すぎてほとんど無理。だから、何か上手い計算方法があるはず。

それを見つけるために、和が３１５になる他の長方形を少し探してみるのは良いことです。

　　　　　☆　　　☆　　　☆

例えば、上の赤・青・緑の長方形は、数の和が３１５になります。ただ、それぞれの長方形の中身の数はバラバラに違ってるので、単純な足し算で調べていくのは無理。そこで、この表がそもそも掛け算の九九だということに注目します。かけ算が使えるのではないか、と。

上図を見てください。例えば、問題で与えられた太線の長方形の場合、数の和は、

　（６＋７＋８）×（７＋８）＝２１×１５＝３１５

と計算できます。

その理由を式で示すと、次のように書けます。分配法則を二重に使って、まとめ直すのです。

　４２＋４８＋４９＋５６＋５６＋６４

＝６×（７＋８）＋７×（７＋８）＋８×（７＋８）

＝（６＋７＋８）×（７＋８）

実際の試験場ではこんな理由など気にせず、答だけ素早く出すことになります。

　　　　☆　　　☆　　　☆

というわけで、長方形を探す代わりに、上のようなかけ算で３１５になるものを探せばよいのです。

ただし、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５だから、４５以下の数しか使えません。

ところで、　３１５＝３×３×５×７

この式を参考にしながら、左側の数が小さいかけ算を書き並べると、次の通り。

　７×４５，　９×３５，　１５×２１

左右の数の中身（連続する数の和）まで考えると、以下の１４通りになります。

　７×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９），

　（３＋４）×（１＋２＋・・・＋９）

　９×（５＋６＋７＋８＋９），

　９×（２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）

　（４＋５）×（４＋６＋７＋８＋９），

　（４＋５）×（２＋３＋・・・８）

　（２＋３＋４）×（４＋６＋７＋８＋９），

　（２＋３＋４）×（２＋３＋・・・８）

　（７＋８）×（６＋７＋８），

　（７＋８）×（１＋２＋３＋４＋５＋６）

　（４＋５＋６）×（６＋７＋８），

　（４＋５＋６）×（１＋２＋３＋４＋５＋６）

　（１＋２＋３＋４＋５）×（６＋７＋８），　

　（１＋２＋３＋４＋５）×（１＋２＋３＋４＋５＋６）

どれも、かけ合わせる左右の数は違うので、左右の入れ替えも考えて、

　１４×２＝２８（通り）

したがって、求める長方形の数は、２８個　・・・答

　　　　　☆　　　☆　　　☆

最後に、すべての長方形が２０２５個であることの説明もしましょう。

高校の数学では、10Ｃ2 × 10Ｃ2 という式（Ｃは「組合せ」の記号）でスパッと解きますが、ここでは小学生でも分かる解き方を使います。

九九の表は、縦線１０本と横線１０本で出来てます。そして長方形は、縦線２本と横線２本で決まります。

まず、縦線２本の選び方を考えます。

２本の内、左側の縦線が、表の左端の時、右側の縦線の選び方は残りの９通り。

次に、左側の縦線が、表の左端から２本目の時、右側の縦線の選び方は残りの８通り。

同じように考えていけば、縦線２本の選び方は、

　９＋８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝４５（通り）

また、横線２本の選び方も同じく、４５通り。

よって、縦線２本と横線２本の選び方は、４５×４５＝２０２５（通り）

というわけで、今日はそろそろこの辺で。。☆彡

　　　　（計　１８１２字）