ルービック・キューブみたいな立体図形、適度な難問～海陽中等教育学校２０２６年度特別給費生入試、算数・問題４の解き方

今は２０２６年の正月明け。今年も四谷大塚のサイトを見ると、一番上に載ってたのは海陽中等教育学校の特別給費生入試の問題でした。

実施は２０２５年１２月ですが、「２０２６年度」の入試。去年のこの時期に初めてこの学校の問題を見て、適度な難問だなと思いましたが、今回も適度な難問なので、今日のブログ記事で解説してみましょう。去年と同じく、算数の最後、問題４。

ルービック・キューブが得意な生徒にとっては、解きやすかったかも知れませんが、最近の小学生だと、むしろスマホのゲームに夢中かも。

去年と同じく、もし完全な解答を書くと、長過ぎるし、実際の試験でもそんな時間は無いはずなので、ここでもかなり省略した解答を書きます。

学習塾とかだと、授業では要点だけ話して、後はたくさんの図をズラッと見せるのかも知れません。プロジェクターでスライドを映して見せるとか、画像ファイルを生徒の端末に送るとか。

受験生は、特別に優秀な小学生たちだから、頭の中だけで次々とイメージして解く可能性もあります。ただ、最後の（５）は微妙な問題なので、うっかり間違えた受験生も多かったと思います。だからこそ、正しく解けた人は、合格に近づくことになるでしょう。

以下、問題の画像は縮小して引用させて頂きました。

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（１）　左端の列のどこに球があるかを考えて、場合分けして図を書くと、次の６通り。　・・・答

ちなみに、図を書くより、数で表す方が早くて簡単です。上の６つの図なら、上から順に、１２３、１３２、２１３、２３１、３１２、３２１などと書くのです。つまり、左の縦の列、中央の縦の列、右の縦の列のそれぞれで、上から何番目に球があるかを表すということです。

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（２）　これも図を書くか、頭でイメージすると、こんな感じになります。

（１）で説明したように、数で表すと、上の２つは順に、１２３４、１２４３。

残りも、小さい順に数を書き並べると、１３２４、１３４２、１４２３、１４３２。

つまり、先頭が１の場合、６通り。先頭が２、３、４の場合もそれぞれ６通りになるから、全部で６×４＝２４通り。・・・答

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（３）　まず、左端の縦の列に球が２コある場合。上側の２ヶ所に球があるとすると、次の５通り。

これらを、（１２）１３、（１２）２３、（１２）３１、（１２）３２、（１２）３３と書くことにします。

すると、左端の縦の列に球が２コある場合は、（１３）で始まるのも５通り。（２３）で始まるのも５通り。

よって、左端の縦の列に球が２コある場合は、全部で５＋５＋５＝１５通り。

同様に、中央の縦の列に球が２コある場合も１５通り。右端の縦の列に球が２コある場合も１５通り。

これらはどれも、重複してないし、数えもらしもないので、全ての合計では　１５×３＝４５通り。　・・・答

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（４）　上段、中段、下段、それぞれが、（１）の６通りのどれかになります。

例えば、上段が次のパターンだったとしましょう。つまり、上段が１２３の時です。

すると、中段２３１、下段３１２の時と、中段３１２、下段２３１の時とで、２通りあります。

ところで、上段は全部で６つのパターンがあります。だから、全て数え合わせると、６×２＝１２通り。・・・答

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（５）　まず、前から見て、左上のマスに球が見えないとします。すると、上の赤線が通る４つのマスには球がありません。

続いて、上から見て、左下のマスに球が見えないとします。すると、上の青線が通るマスには、球がありません。ここまで、合わせて７コのマスには球がありません。左上の角は重複するので、４＋４－１＝７となるのです。

さらに、右から見て、左上のマスに球が見えないとします。この時、緑の線が通るマスには球が無いので、合計では１０コのマスに球がありません。

マスは全部で、４×４×４＝６４コだから、６４－１０＝５４で、最大５４個の球を配置できます。　・・・答

上の配置において、緑の丸（右から見て球が見えないマス）は、下図のように７通り。

また、青い丸（上から見て球が見えないマス）は、すぐ奥側の３ヶ所で考えても同じことだから、合わせて４ヶ所で同様。

よって、上のような配置は、４×７＝２８通り。

　　　

一方、青い丸が下図のようなマスにある時は、この時点で既に８コのマスに球がありません。

　　　

だから、緑の丸は、下図のマス１ヶ所に限られます。この時だけ、球が無いマスが合計１０コになります。

このように、赤線と青線がすれ違うような青い丸の選び方は、全部で１２通りあります。そのそれぞれに対して、緑の丸の選び方はただ１通りに限られます。

結局、赤い丸が左上の時、条件をみたすような配置の数は、２８＋１２＝４０通り。

赤い丸の場所の選び方は、全部で１６通りあるから、結局、条件をみたす全ての配置の数は、　４０×１６＝６４０通り・・・答

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最後、（５）の後半は、時間がないと特に見落としがちでしょう。ただ、じっくり考えれば、特別な才能や直感が無くても解ける良問で、適度な難問だと思います。

この記事の説明を読んでもすぐに分からない場合は、自分で手を動かして図を書いてみることをお勧めします。それでは今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　分かりやすい誘導、適度な難問～海陽中等教育学校２０２５年度特別給費生入試、算数・問題４の解き方（図形の折り返しと相似）

　　　　（計　２２２０字）