３人と４人のリーグ戦の関係、優勝決定の抽選つき～ ２０２６年共通テスト・数学 Ⅰ Ａ・第４問（場合の数、確率）の解き方

２０２６年（令和８年度）共通テスト・数学 I Ａは、去年よりやや難化ということで、公式の中間集計における全体の平均点は５０．５８点。いつも指摘してることだけど、生徒の学力の問題はさておき、全体の問題の量が多過ぎて時間６０分では足りないと思う。

ただし、それは全て完全に解くとか、高得点を狙う場合のこと。もし、半分の５０点くらいでいいと考えるのなら、別の話になる。第４問（２０点）の場合の数と確率も、わずか１２分くらいの配分時間で完答しようと思うと大変だけど、半分の１０点くらいなら難しくはない。実際、前半の１０点分（サまで）、あるいは１３点分（セまで）は簡単。

ただ、後半または終盤の問いは、試験場の短い時間で正確に処理するのは大変だろう。特に、単なるリーグ戦ではなく最後の抽選まで考えるので、うっかりミスが増えるし、３チームの話を４チームの話に使うことは簡単ではない。

問題はいつものように、予備校ＨＰを経由して、大学入試センターから部分的に縮小引用させて頂いた。

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（１）( ⅰ )　Ａが２勝０敗の確率は、（２／３）×（２／３）＝４／９　・・・ア、イの答

( ⅱ )　Ａが１勝１敗の確率は、（２／３）×（１／３）＝２／９

　ＢがＣに勝つ確率は、１／２

　よって、問いの対戦結果になる確率は、（２／９）×（１／２）＝１／９　・・・ウ・エの答

　さらに、Ａが抽選で選ばれる確率が１／３だから、

　その対戦結果でＡが優勝する確率は、（１／９）×（１／３）　・・・オ、カの答

　つまり、１／２７。ＡがＣに勝つ場合も考えると、求める答はその２倍で、２／２７　・・・キ、ク、ケの答

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（２）( ⅰ )　Ｄが全敗する確率は、Ａに負けて、ＢとＣにも負ける場合だから、

　（２／３）×（１／２）×（１／２）＝１／６　・・・コ、サの答

Ｄが全敗して、Ａが２勝１敗で優勝する場合、ＡはＢ、Ｃとの間で１勝１敗だから、

　（１）( ⅱ ) 最後の答の確率２／２７を用いて、

　（１／６）×（２／２７）＝１／８１

Ｂが全敗の場合、Ｃが全敗の場合も同様だから、

全敗する人がいて、Ａが２勝１敗で優勝する確率は、３×（１／８１）＝１／２７　・・・シ、ス、セの答

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( ⅱ ) 　全敗する人がいない場合で、ＡがＢに負け、ＣとＤに勝ち、優勝するときの対戦結果は、下図の４通り。　・・・ソの答

また、ＡがＢに負け、ＣとＤに勝つ確率は、（１／３）×（２／３）×（２／３）＝４／２７

そのときの対戦結果は、残りの３試合の勝ち負け（２通り）で決まるから、全部で２×２×２＝８通り。

その内の４通りが題意をみたす場合で、どれも確率は同じ。

さらに、抽選でＡが優勝する確率は１／２。

したがって、ＡがＣやＤに負ける場合も考え合わせると、

∴ （求める確率）＝３×（４／２７）×（４／８）×（１／２）＝１／９　・・・タ、チの答

結局、Ａが２勝１敗で優勝する確率は

　（全敗する人がいる時の確率）＋（全敗する人がいない時の確率）

＝（１／２７）＋（１／９）

＝４／２７

それとは別に、Ａが３勝０敗で優勝する確率は、（２／３）×（２／３）×（２／３）＝８／２７

よって、　（Ａが優勝する確率）＝４／２７＋８／２７＝４／９　・・・ツ、テの答

最後に、（１）で求めた、３人のリーグ戦でＡが優勝する確率は、

　（４／９）＋（２／２７）＝１４／２７

したがって、４人のリーグ戦でＡが優勝する確率は、３人の場合の確率と比べて小さい。　・・・ヌの答は０

その差は、　（１４／２７）－（４／９）＝２／２７　・・・ト、ナ、ニの答

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補足と感想も少しだけ書き添えとこう。

（２）の全体の構造を樹形図（ツリー）で表すと、こうなる。

３段階の場合分けを誘導した上で、最後に全体をまとめさせる問題は、旧センター試験や共通テストだとあまり見かけない気がする。共通テストの数学 I Ａの対策を考える際の１つの目安になるかも知れない。４段階の場合分けの誘導は複雑すぎて、さすがにやらないと思う。

ちなみに上図で、全敗がいる場合の確率と、全敗がいなくてＡが・・・に負ける場合の確率は、どちらも１／２７。

この値がなぜ一致するのか、上手い考え方を探してるけど、なかなか分からない。今だとすぐＡＩに聞きたくなるけど、もう少し我慢してみよう♪

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なお、４人リーグで全敗がいる場合、３人リーグと似た話になるのは、普通に考えてもいいし、下図（Ｄが全敗の時）を見ればイメージ的にほぼ明らか。後は、赤枠の中での３人リーグになる。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

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