宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い（２）～具体例の数学的証明

今日はドリームジャンボ宝くじ（第６０５回全国自治宝くじ）の発売最終日。

あわてて買いに行く前に、ちょっとネットで調べてる方が多いんだろうか。昨

日から、私が半年前に書いたロングセラー記事にアクセスが増えている。

　　宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い～朝日新聞・ｂｅ

この記事は、朝日新聞の手短な解説を突っ込んで分析したもので、かなり

微妙な所まで考えてるし、具体的な計算もそこそこ入れてある。結論として

は、やっぱり朝日の記事は「正しそう」で、「高額当選」の確率を上げたいの

なら、連番よりバラ売りを買う方がかなり「有利そう」だということになった。

この場合の高額当選とは、１等と前後賞のどれかに当たることを指してる。

ジャンボ宝くじなら２億円と各５０００万円だから、どれか１つでも十分高額

で魅力的だろう。

ただ、厳密な数学的証明は出来なかったし、もちろん朝日の記事にもない。

難しい点は２つある。まず、バラ売りする宝くじの選び方がどうなってるのか

という事。朝日新聞では、同時に２つ当たることは無いとされてたけど、信

頼できる根拠はネット上（みずほ、宝くじ協会など）に見当たらなかったし、

仮にそれが正しいとして、どのようにバラを選んでるのかが分からない。

一方、バラの選び方によって、当選確率に特殊な変化が起きないという証

明も難しい。直感的には、意図的に飛び飛びに選んでるのだから、どれか

１つが当たる確率は少し上がりそうな気もする。サイコロにせよ、くじ引き

にせよ、高校数学などの確率の問題では、「無作為抽出」が基本。簡単に

言うと、意図せずでたらめ（＝ランダム）に選び出すわけだが、宝くじのバ

ラ売りの場合、販売以前に（おそらく機械的に）「作為抽出」してるのだ。

それによって当選確率が変わらないというのは、明らかではない。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それら２つの問題点は、その後もそのままになってたけど、昨日になって、

バラ売りのシステムを説明してくださるコメントを頂いた（去年の記事）。や

はり、２つ以上同時に当たらないよう、機械的に選んでるようだ。信頼でき

る根拠は添えられてないし、自分でも発見できてないものの、朝日の記事

とも整合的だ（＝つじつまが合ってる）し、常識的にもそんな気がする。

だから、とりあえず以下では、次の仮説を認めとこう。

　　　「バラ売りでは、２つ以上同時に当たらないような組合せ全体の

　　　　中から、無作為（でたらめ）に販売用の組合せを選んでいる」。

では、こうしたバラ売りは、やはり連番より当選確率が高いのか。また、

その選び方によって、当選確率は変わらないのか。それら２点について、

具体例で考察してみよう。一般化には成功してないし、それはおそらく非

常に大変（ｏｒ 高度）だと思う。

結論的には、やはりバラ売りの方が遥かに当選確率が高いし、バラ売り

セットの作り方によって確率の妙な変化は起きない「ようだ」。私はまだ、

特に後者は確信してないけど、計算した具体例においては、完全に正し

いことが証明された。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

元の朝日の記事では全体で１００枚のくじから１０枚選ぶ（ｏｒ 買う）場合

を考えてるが、これだと計算があまりに面倒で、やる気がしない。上手

い方法も思いつかないので、１３枚から４枚選ぶ場合と、１４枚から４枚

選ぶ場合を考えてみる。

この中途半端な枚数について説明しとくと、１等と前後賞で３枚だから、そ

れを上回る最小限の枚数として４枚を選ぶことにした。キリのいい５枚に

するだけでも、かなり面倒になってしまう。

次に、全体の枚数は、バラ売りが可能な最低枚数が１２枚となる。１～１２

の番号を付けると、例えば（１，４，７，１０）。こうした２枚飛ばし（２枚当選を

避けるため）が可能になるためには、１２枚必要なのだ。１番と１０番が２枚

飛ばしになるには、１２枚必要だという点にご注意あれ。で、最低枚数だと

単純過ぎるから、１枚増やした１３枚の場合と、２枚増やした１４枚の場合

を考えてみることにした。

　　（１）　全部で１３枚の宝くじで、４枚選ぶ（＝買う）場合

　　　　　くじを１～１３番とし、１等を仮に５番とする（何番でも同様）。

　 　　　　まず、連番の選び方は、（１，２，３，４）、（２，３，４，５）、・・・

　　　　　（１０，１１，１２，１３）、（１，１１，１２，１３）、（１，２，１２，１３）、

　　　　　（１，２，３，１３）の１３通り。最後の２セットも連番になることをお忘

　　　　　れなく。

　　　　　この内、１枚以上が１等か前後賞に当選するものは、（１，２，３，４）

　　　　　から（６，７，８，９）の６通り。

　　　　　∴　（連番の当選確率） ＝ ６／１３

　　　　　一方、バラの選び方は、（１，４，７，１０）、（１，４，７，１１）、

　　　　　（１，４，８，１１）、（１，５，８，１０）、（２，５，８，１１）、（２，５，８，１２）、

　　　　　（２，５，９，１２）、（２，６，９，１２）、（３，６，９，１２）、（３，６，９，１３）、

　　　　　（３，６，１０，１３）、（３，７，１０，１３）、（４，７，１０，１３）の１３通り。

　　　　　この内、当選するのは（３，７，１０，１３）以外の１２通り。

　　　　　∴　（バラの当選確率） ＝ １２／１３

　　　　　したがって、バラの方が２倍の当選確率である。あと、このバラの

　　　　　当選確率は、選び方による特殊な影響を受けてない。つまり、４枚

　　　　　の内の１枚が当たる確率を単純に ３／１３ として、それを４倍した

　　　　　数字と一致している。つまり、朝日の記事の計算が通じてるのだ。

　　（２）　全部で１４枚の宝くじで、４枚選ぶ場合

　　　　　 上と同様に、くじを１～１４番とし、１等を仮に５番としておく。

　　　　　 まったく同様の考えで、（連番の当選確率） ＝ ６／１４ ＝ ３／７

　　　　　 一方、バラの選び方は、（１，４，７，１２）～（５，８，１１，１４）の

　　　　　３５通り（途中省略）。この内、ハズレるのは、（２，７，１０，１３）、

　　　　　（３，７，１０，１３）、（３，７，１０，１４）、（３，７，１１，１４）、

　　　　　（３，８，１１，１４）の５通りだから、当選するのは３０通り。

　　　　　∴　（バラの当選確率） ＝ ３０／３５ ＝ ６／７

　　　　　興味深いことに、この場合もバラの方が２倍の当選確率だ。また、

　　　　　（１）と同様に、バラの選び方による特殊な影響を受けてないことも

　　　　　分かる。つまり、４枚の内の１枚が当たる確率を単純に３／１４とし

　　　　　て、それを４倍した１２／１４、つまり６／７が、バラの当選確率と一

　　　　　致してるわけだ。。

という訳で、今回の目的は果たされた。（２）の３５通りは、気になる方は自

分で数え上げてみて欲しい。ダブらず、もらさず、全てを数え上げるには、

何か工夫があった方がいいと思う。

私の場合、番号の飛び方に注目して、例えば間の数字が４枚、２枚、２枚、

２枚と飛んでる、（１，６，９，１２）のような組合せは、「４２２２」と呼んだりし

た。すると、このタイプが１４通りで、「３３２２」タイプも１４通り、「３２３２」タ

イプが７通り、トータル３５通りとなる。図は、横一列のものと、円順列みた

いに両端をつないだものとを併用した。　　　　

もっと「エレガントな解答がある」と思うけど、今日の所はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　「縦バラ」買いについての記事を追加。

　　　　宝くじ、「縦バラ」買い＆「バラだと前後賞が当たらない」説♪　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２９１３文字）　　

宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い～朝日新聞・ｂｅ

（☆追記：　７ヶ月後の２０１１年６月３日、続編記事をアップ。

　　宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い（２）～具体例の数学的証明　）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

今日は早起きして朝ランの予定だったのに、起きれなかったから、代わりに

ややお遊びモードの数学記事を書くことにしよう♪　夜は脚を休ませるため

に、走らないと決めてたのだ。別に、手抜きつぶやき記事でお茶を濁しても

いいんだけど、寝坊して起きたら、たまたま手頃なネタを発見。これ幸いと、

飛び付くことにした。

朝日新聞（１１月２０日）の朝刊・別刷ｂｅで、ニコリのパズルコーナーの右

側に見つけたのは、「今さら聞けない　プラス」シリーズ。今回のテーマは

「宝くじの買い方」だ。２４日に年末ジャンボ宝くじが発売されるし、買い方の

戦略が気になってる人はわりといるだろう。記事の見出しは刺激的で、「期

待額同じだが確率違う」。当然、どうやれば当選確率が上がるのか知りた

くなる。あるいは、天下の朝日がトンデモ理論を書いてるんじゃないかと、

チェックをしてみたくなるわけだ♪

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

確率というのは、数学の中でもちょっと特殊。歴史的に賭け事と結びつき

が強くて、妖しい香りが漂ってるし、それなりに実力のある人でさえ、とんで

もない初歩的ミスをおかしがちな分野でもある。

天才数学者エルデシュが間違えたことで有名な「モンティ・ホール問題」に

ついては、去年記事を書いて、そこそこのアクセスを集めて来た。また、

私の周囲で、自他共に認める数学のプロが、「福引は先に引く方が有利

に決まってる。当たりが沢山残ってるんだから」なんて事を言った時には、

流石にのけぞって爆笑しながら突っ込みを入れた♪　もちろん、福引は先

に引いても後に引いても同じなのだ。簡単な設定なら、高校数学の教科書

レベルにすぎない（一般的に証明するのは大変）。

では今回、朝日新聞の鍛治信太郎記者がどうだったかと言うと、まあ無難

にまとめてあるとは思う。ただ、２ヶ所気になる点があって、その内、後ろの

方はかなりミスリーディングな（＝誤解を招きやすい）だし、少し不正確な

「気がする」。

宝くじのバラ売りシステムに関する情報が詳しく分からないし、余りに計算が

面倒だから、「気がする」とだけ書いとくけど、いずれ後で完全な議論を組立

てたいと思ってる。ひょっとすると、説明が不十分なだけで、結果的には合っ

てるのかも知れない。。

（追記：　やはり反例が見つからないから、合ってるのかも。ただし、証明

　　　　　　するのもあまりに面倒なので、先延ばし中・・・。）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一ヶ所目の気になる点、些細な方は、冒頭の文だ。通し番号の連番で買

う方法と、離れた番号のバラで買う方法について、こう語ってる。

　　　　　「『どちらの買い方の方が高額当選の確率が高いか』という質問

　　　　　　をよく見かけます。『どちらでも確率は変わらない』という誤答

　　　　　　が多いのですが、実際には同じではありません」

気になるのは、「高額当選」という言葉だ。そもそも、普通の人が日常的

にこんな言葉を使うことは少ないはず。「１等（当選）」とか「２億円」と言う

方が自然だと思う。これなら、連番もバラも当選確率は同じなのだ。もちろ

ん「１等と前後賞」合わせて３億円なら、連番でないと当選できない。

ただ、前後賞も各５０００万円だから、「１等か前後賞」が当たれば嬉しいの

は確か。そこで記事では、この少なくともどれかが当たる確率の話にスルス

ルッと持ち込むのだ。これなら、バラの方が遥かに有利という、面白くてやや

意外な結論を導けるからだろう。ポイントは、１等と前後賞の番号が３つつ

ながってること。冷静に考えれば、連番で買う方が全部外れになりやすいの

は、何となく予想できるだろう。　　　　　　

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、ここからが本題。朝日の記事では、１枚１００円、０番から９９番まで

１００枚のくじで、１等が５０００円１本、前後賞・計２本が各１５００円となって

る。これだと、総売り上げが１万円、合計賞金が８０００円だから、「還元率」

が８０％にも達してしまうけど、実際のジャンボは４７．３％とのこと。まあ、

計算を分かりやすくするための工夫だから、良しとしとこう。

（１）　まず、連番で買った時の当選確率について。こちらは簡単だ。仮に５０番

　　　 ～５９番の連番で買ったとすると、

　　　　（１等または前後賞の当選確率）＝（１等が４９番～６０番になる確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝１２／１００

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝０．１２

　　　　もちろん、他の数字の連番でも同じ確率、１２％になる。これについ

　　　　ては、何も異論はない。

（２）　続いて、「バラバラに１０枚買ったとします」（元の記事の表現）。

　　　　　「買った１０枚のどれかが１等になる確率は０．１です。同じく

　　　　　　前後賞のどちらかにあたる確率は０．２。バラだと二つ以上

　　　　　　同時にあたることはないので、どれかにあたる確率は単純

　　　　　　に０．３。・・・・・・バラで買うと・・・確率は２．５倍高くなります」。

　　　つまり、０．１＋０．２。あるいは前後賞の２つを分けて、０．１＋０．１

　　　＋０．１。いずれにせよ、足し算して０．３（３０％）というわけだ。よって、

　　　連番の時の確率０．１２の２．５倍。正確に言うなら、「２．５倍高くなる」

　　　と言うより、「２．５倍の高さになる」か、「２．５倍に上がる」だけど、そこ

　　　はこだわらない事にしよう。　　　　

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

上の（２）の説明、納得しただろうか。あるいは、私が引っ掛かったもう一つ

の点、重要な方に気付いただろうか♪　そう。問題は、上の引用文で私が

赤色を付けてる部分、「バラだと二つ以上同時にあたることはない」だ。

もしこれが正しいのなら、確かにバラの時の当選確率は０．１＋０．１＋０．１

で０．３になり「そうな気がする」。つまり、「単純に」足し算して「良さそうな気

がする」だろう。複数の出来事が「排反」、つまり「同時に起きない」時には、

少なくともどれかが起きる確率は、それぞれの確率を足し算したものにな

る。大げさに言うなら「確率の加法定理」の特殊形だ。

けれど、二つ以上同時に当たることはないように１０枚のクジを選ぶと、意

図的に大きめにバラすことになるから、どれかが当たる確率は少し変化し

ても不思議ではないし、直感的には少しアップするような気もする。実際、

朝日の記事自体が、連番よりバラの方が当選しやすいという内容なのだ。

試しに、３番おきに１０枚、例えば「００、０３、０６、０９、１２、１５、１８、２１、

２４、２７」と選ぶことにしよう。これなら、二つ以上同時に当たることはない

し、末尾１ケタも０～９の間でバラけてる。この時、

　　　（１等または前後賞の当選確率）＝（１等が００～２８か９９の確率）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ３０ ／ １００

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ０．３　　　　

なぜか単純に計算した時の値０．３と一致した。他にも、「００、０５、１１、

１６、２２、２７、３３、３８、４４、４９」と選んでも、やはり当選確率は０．３に

なった。とはいえ、１０枚選ぶ方法を色々考慮した時、本当に常に０．３の

ままかどうかは曖昧だ。特殊な反例が少数あるかも知れない。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、バラの宝くじだと「同時に２つ以上当たることはない」（＝排反）とい

うことについては、少なくともネット上に根拠が見当たらない。実際、１０枚

バラ売りの規則は、末尾１ケタを０～９にすることしか無さそうだし、この規

則さえも、お店によっては避けることが出来るようだ。予約すれば、希望す

る番号で買えるとかいう話がネット上にある。

あるいは普通の店でも、１枚の購入を１０回別々に行う、手作業で臨機応

変の「バラ」なら、「二つ以上同時に当たることはある」し、奇跡的に三つ同

時にあたることさえあるだろう（ただしおそらく、同じ店でほぼ同じ時間帯

の時のみ）。

例えば、たまたま連番になる時も含めて、全く自由に１０枚買う場合なら、

「余事象の確率」公式と、「組合せ」（Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）の記号Ｃを用いて、

　　（１等または前後賞の当選確率）

　　　　　　　　＝１－（どれも当たらない確率）

　　　　　　　 ＝１－（引いた１０枚すべてが、ハズレ９７枚の中にある確率）

　　　　　　　　＝１－（　９７ Ｃ １０　／　１００ Ｃ １０ ）

　　　　　　　　＝１－（９７×９６×９５×９４×９３×９２×９１×９０×８９×８８

　　　　　　　　　　　／ １００×９９×９８×９７×９６×９５×９４×９３×９２×９１）

　　　　　　　　＝１－（９０×８９×８８ ／ １００×９９×９８）

　　　　　　　　≒ ０．２７

これが０．３より小さくなってるのは、わりと自然だろう。二つ以上同時に当

たるのを認めた代わりに、当選確率が下がるのだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上より、「バラだと当選確率０．３で、連番の２．５倍」という計算は、必ず

しも正しいとは言い切れない（今現在）。でも、バラの方がかなり有利だと

いうだけなら、一般に言えそうだ（厳密な証明は面倒）。

ただし、獲得賞金の「期待値」はバラでも連番でも同じ「だろう」。これまた、

バラの選び方が分からないし、完全な計算による証明は面倒だから、断

言までは出来ないけど、常識的に考えて正しいと思う。実際、もっと単純

な設定なら同じだと確認できるし（朝日の記事にもある）、もしどちらかが

有利なら、当然マニアか数学者が研究発表してるはずだ♪

とりあえず、今日の所は時間が来たので、この辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．冒頭に追記したように、７ヶ月後に続編記事をアップした。

　　　宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い（２）～具体例の数学的証明　

Ｐ．Ｓ．２　翌年の年末、「縦バラ」買いについての記事を追加。

　　　宝くじ、「縦バラ」買い＆「バラだと前後賞が当たらない」説♪

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ｃｆ．全国学力調査、伝説の確率の問題が登場

　　お見合いでベストの相手にプロポーズする方法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鳩山新首相の専攻「ＯＲ」２

　　１０人とのお見合いで最高の相手にプロポーズする方法～鳩山の「ＯＲ」３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３９１５文字）