日テレ『頭脳王2021』ストレンジ・オセロ、先手必勝ゲームの証明と戦略(7通りの場合分け)

2021年の日テレ『頭脳王』では、新たな頭脳ゲームとして、「ストレンジオセロ」が登場。ストレンジ(風変わりな)オセロという意味の合成語(strange othello)だから、当サイトでは分かりやすく点で区切って、「ストレンジ・オセロ」と書いてる。

   

私は最初にテレビで見た時、後手の人間が必勝なんだろうと思ったけど、京大の首席・上木が負けた対局をちょっと調べてる内に、先手が有利のような気がして来た。ネットの一部でも先手必勝という話が出てたけど、具体的な証明は土曜の深夜の時点で見当たらなかった。

  

そこで、日曜日に少し考え始めて、昨日の月曜日に先手必勝の証明完了。予想より変化は少なかったけど、それでも面倒な場合分けにはなる。初めはノートに手書きしてたけど、途中からは100円か200円で昔買ってた携帯オセロを取り出して操作。42の局面を撮影して、PCフォルダにまとめた。

    

多少、省きながら、大まかな証明を示すことにしよう。オセロの評価アプリやプログラムは使用せず、人力で場合分けした論理的証明だ。局面ごとの最善手とか、評価値とか確率・勝率の話ではなく、最終的に「先手が必ず勝てる」ことを示す。何枚取ったのか、枚数も関係なし。過半数で勝ちだ。

   

     

     ☆     ☆     ☆

証明の前に、気になる点について一言。番組では、東大の神脳・河野と新鋭・成瀬が後手なのに勝ってたから、先手のコンピューターは最善の手を指してないことになる。上木戦と河野戦とでは、序盤のコンピューターの指し手が早くも違ってた。

      

演出の範囲か、偶然か、ヤラセかはさておき、事実を指摘すると、頭脳王のコンピューターは数年前からあまり強くなかったのだ。今年だけではない。そもそも、コンピューター・ゲームでアプリとかソフトの側が人間に手加減するのは少しも珍しくないこと。

   

プログラム技術協力のAVILENのtwitterに、技術者側の裏話が少し紹介されてる。もし、文春砲とかが番組制作側のスタッフにさく裂したら炎上の可能性もあるけど、単なるクイズ番組のゲームだし、上木はオセロの前から既に準決勝の最下位(3位)だったから、あまり問題にはならないと思う。

   

   

     ☆     ☆     ☆

先手のコンピューターは、テレビだと青色だったけど、ここでは普通に黒を使う。私が使った基本戦略はただ一つ。最初から置かれてる黒石を活かしつつ、左上あたりに逆三角形の陣地を固めること。上の辺よりも、左の辺の方が1マス長い。

  

210223a

  

この形だと、白に挟まれて取られることも無いし、変化が減って人間が考えやすくなる。ちなみに、コンピューターにとっては、このゲームの変化はほとんどゼロみたいなものだろう。一瞬で完全に分析・判断できるはず。

   

210223b

  

マス目の呼び名は番組に合わせて、左から右にABCD、上から下に1234とする。辺の部分はお互い10コずつで、ひっくり返せないので、カウント不要。内側の4×4=16マスだけカウントすればいい。9マス以上取れば、勝ち。

    

   

     ☆     ☆     ☆

番組では初手がB1になってたけど、逆三角形の辺の長さを考慮すると、直観的にはむしろA2の方が手堅い。少しだけ、自分の陣地の内側になるから。実際、これで先手必勝を示せた。

  

場合分けの全体は、下の7通り。細かい分類は他にも少しある。

  

(1)2手目 白A1 ①4手目 白A3 ②4手目 白C1

(2)2手目 白A3 ①4手目 白A1 (ア)6手目 白C1 (イ)6手目 白D1 ②4手目 白C1

(3)2手目 白C1 ①4手目 白A1 ②4手目 白C1

   

ではいよいよ、一つずつ先手必勝を示して行こう。1手目(初手)はすべて黒A2なので、念のため。

  

  

     ☆     ☆     ☆

(1)2手目 白A1の変化  3手目は黒B1で、下図の通り。  

210223c

  

(1)①4手目 白A3の変化  5手目は黒A4で、下図になる。

210223d

  

6手目、白C1しかない。7手目、黒D1で既に先手の勝ち。例の4×4=16マスの内、10マスが逆三角形で確保できた。

210223e

  

  

     ☆     ☆     ☆

(1)②4手目 白C1の変化  5手目、黒D1で下図。

210223f

   

次に白A3だと、黒A4で先手の勝ちとなってしまう。だから、白A4しかない。黒D2で、白は差す手がないからパス。

下図の次に、黒B4で先手の勝ち。(以下、略)。

210223g

  

  

(2)2手目 白A3の変化  3手目、黒A4で下図。

210223h

 

(2)①4手目 白A1の変化  5手目、黒B1で下図。

210223i

  

(2)①(ア)6手目 白C1の変化  7手目、黒B4で白をパスに追い込んだ後、8手目、黒D1で先手勝ち。以下、略。

210223j

   

(2)①(イ)6手目 白D1の変化  7手目、黒B4で白をパスに追い込んだ後、8手目の黒D2で先手勝ち。以下、略。

210223k

 

 

 

     ☆     ☆     ☆

(2)②4手目 白C1の変化  5手目、黒D2。6手目、白A1で下図。先手は、左上をまとめて取ろうと狙ってる。

210223l

   

7手目、黒B1。8手目、白D1。9手目、黒B4で先手勝ち。以下、略。

210223m

   

  

     ☆     ☆     ☆

(3)2手目 白C1の変化  3手目、黒D2で下図

210223n

   

(3)①4手目 白A1の変化  5手目、黒B1。6手目、白A3。7手目、黒A4で先手勝ち。以下、略。

210223o

  

(3)②4手目 白A3の変化  5手目、黒B4。6手目、白B1。7手目、黒A1。そこで、8手目、白D3なら、9手目、黒A4で先手勝ち。

   

一方、8手目、白D1なら、9手目、黒D3で先手勝ち(下図)。10手目が何かに関わらず、11手目、黒A4で左上に黒の大きな逆三角形ができる。

210223p

  

以上、全部で7通りの場合分けより、ストレンジ・オセロは先手必勝。 Q.E.D.(証明終了)。

   

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

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『頭脳王2021』、純金のピラミッドの金額&シロナガスクジラを持ち上げる金剛力士像の身長、計算式と解説

(☆追記: 続いて2本目、3本目の記事も新たにアップした。

 『頭脳王2021』、光速の半分で未来に&ストレンジ・オセロ第1局の棋譜全体 

 ストレンジ・オセロ、先手必勝ゲームの証明と戦略(7通りの場合分け) )

  

  

     ☆     ☆     ☆

アップルペンシルを探し回って1時間も浪費 (^^ゞ 結局、見つからないまま時間と気力を失ってしまったけど、今年も日本テレビ『頭脳王』の計算・論理系の問題を解説しよう。

   

去年以上に今年は知識・暗記系が多かった気がする。計算だと、神脳・河野が圧倒的で、勝負にならないからかも♪

    

参加者と同様、私も一番考え込んだのは、新登場のパズル「ストレンジ・オセロ」。AIというのは、去年までと同様の単なるハッタリ、こけおどしで、実は大した能力ではないはず。おそらく後手の人間が必勝で、右下の白で囲まれたエリアを中心にコマを集めて行けばいいんだろうとは思う。

  

☆翌日の追記: コンピューター・AIで調べると先手必勝だという情報がネットに流れてる。詳しい具体的解説は見てないけど、私が上木戦を参考に少し動かしてみた感じだと、確かに先手が有利のような気がして来た。)

     

しかし変化が多いし、オセロは変則的な動きになるから、必勝法や戦略はすぐには分からない。周囲を取り囲むコマが、白黒半分ずつなのも分かりにくい設定で、要注意。対称形ではない。

   

とりあえず、東大医学部の神脳・河野玄斗にとっては簡単な計算問題の、純金ピラミッドと金剛力士像を扱うことにしよう。この2つは、番組の宣伝CMでも強調されてた。

  

  

      ☆     ☆     ☆

210220a

  

ではまず、ゲストの女子、朝日奈央も可愛く頭を抱えてる、純金のピラミッドの金額。日本の紙幣と硬貨を使って長さを計測、後は正四角錐の体積を求めて、金の単位価格をかけるだけ。

  

1辺の長さは、1万円札(16cm)と千円札(15cm)と1円玉(2cm)を合わせた長さだから、33cm。この問題を間違えた2人(京大の首席・上木、東大知力の新鋭・成瀬充)は、マジメにこのまま計算したのかも。模範解答(?)も33のまま計算してた。

  

下の少し省略した式を参照。これだと、高さを求める時に33/2の2乗とかルートが出て来て、時間がないと間違えやすいのだ。23.265とか8445.195なんて長い数を、そのまま掛け算に使うのも、遅くて大変だし、意味もない。

    

210220e

      

河野の計算式は見てないけど、普通はまず、1辺を2と仮定して素早く計算するはず。体積だから、後で(33/2)³をかけて、単位を付ければいい。金は1cm³あたり14万3000円。有効数字2ケタだから、3ケタ~4ケタの大まかな数値で計算すれば十分だ。

   

  

     ☆     ☆     ☆

210220b

   

図は1辺の長さ2の正四角錐。上の頂点Oから下ろした垂線の足をHとし、左下の辺の中点をMとする。直角三角形OMAは三角定規の形で、OA=2、AM=1、OM=√3。

  

直角三角形OMHにおいて、

(高さ)OH=√(OM²-MH²)=√(3-1)=√2。    

∴ (正四角錐の体積)=2×2×√2/3=(4√2)/3

  

(純金ピラミッドの体積)={(4√2)/3}×(33/2)³

  =4×33×33×33√2/(3×8)

  =1089×11√2/2

  ≒11980×1.414/2

  =5990×1.414

  ≒6000×1.41

  =8480(cm³)

  

(純金ピラミッドの金額)≒8480×143000

  =1212640000

  ≒1200000000

  =12(億円) ・・・答

   

途中で適切に近似値を使うのがポイント。面倒な掛け算もなるべく後回し。最後の掛け算は、8500×140000でも十分に正確。左の数を少しだけ大きくして、右の数を少しだけ小さくするのは、実用的な近似方法。

     

有効数字2ケタということは、大まかな数値が分かればいいのだから、数百分の1レベルの誤差は気にせずに。

   

  

      ☆     ☆     ☆

続いて、シロナガスクジラを持ち上げるスーパー金剛力士像の身長を求める問題。

  

210220c

   

定番のタイプの問題で、条件が細かく親切に与えられてる。不等式は見掛け倒しで、単なる等式で計算すればOK。³√(75/67)が出るように、式変形して行く。

  

210220d

  

スーパー金剛力士像の体重をxトンとする。まず、y=2.5xを用いて、

150=2.5x  ∴x=60

   

スーパー金剛力士像の身長をhメートルとすると、

 60=(h/8.4)³×6.7

  

∴h/8.4=³√(60/6.7)

    =³√(600/67)

    =2 ³√(75/67)

    =2×1.04

    =2.08

   

∴ h=8.4×2.08

  =17.472

  ≒17.5(m) ・・・答

  

 

相対性理論に従って、光速の半分のスピードで未来に行く問題はまたいずれ。これからまだ夜中に仕事が待ってるので、今日は早くもこの辺で。東大医学部の神脳・河野玄斗、3度目の優勝おめでとう!。。☆彡

  

  

  

cf.日テレ『頭脳王2020』、日本からフランス凱旋門へのキックの時速&富士山サニブラウンの地球一周時間

『頭脳王2020』、太陽がなくなったら地球の温度は何度か&宇宙の星M13へのメッセージ解読(0、1の二進法)

『頭脳王2020』、アラビア語解読(世界で一番長い川)&世界最古のなぞなぞ(くさび形文字)

『頭脳王2021』新・謎解き問題(1次予選)、答えの考え方、解き方(ネタバレ控えめ、少しずつ更新

    

        (計 2144字)

   (追記23字 ; 合計2167字)

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1と0のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察~開成中学2021年入試、算数・問題3の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載(の)ってました(21年2月6日)。SAPIX(サピックス)の全面広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚HPも同様です。

   

そこで最後の第3問、1と0が書かれたカードゲームの問題だけ解説してみましょう。難しいというより、面倒で間違えやすい問題。

   

単純そうにも見えるルールですが、審判のカードの扱い方にヒネリが入ってて、少しずつ正確に考える必要があります。1度間違えるだけ、1ヶ所ミスするだけで、最後の答が違って来ます。

    

ちなみにこのブログでは、過去の開成中や灘中、桜蔭中についても記事を書いてます。下の通りで、他にも算数・数学の記事は多数あります。

   

 小屋の窓から入る太陽光と展開図~開成中2020年入試・算数・問題4の解き方  

 5人のカードゲームと背理法~開成2019入試

 三角形の相似から四角形の面積比へ~18問題1

 三角形の相似と比の応用~17入試・算数・問題3

  

 灘中学校2020年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

     

 3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中19入試

 円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭18入試

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間~16入試

 ランニング(5人のリレー)の距離~15入試

   

  

     ☆     ☆     ☆

問題文が長過ぎるので、コピペで引用させて頂きます。

  

210214x

   

210214y

   

210214z

   

   

解答と正解

(1) 全体のカードの様子をまとめると、下図の流れになる。例えば1回目の操作が終わった直後の様子を➀と書く。審判のカードは「審」、スコアスペースのカードは「ス」と書く。

   

210214a

   

210214b

   

上図の④より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、0101。 ・・・正答

  

  

(2) (1)と同様に、操作の流れを図にすると、下の通り。

  

210214c

  

210214d

  

210214e

  

上図の⑥より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、011010。 ・・・正答

  

  

(3) B君が勝ちで得点が6点ということは、全部で6回の操作すべてでスコアカードに1が置かれて、最後に審判に渡されたのは0のカード2枚ということである。B君の札を左から「あいうえおか」と表して、右端の「か」から順に調べて行く。

  

210214f

   

上図より、「1」「か」「0」が、「0」「0」「1」になるので、「か」は0

  

210214g

   

次に上図より、「お」は1

  

210214h0

   

さらに上図より、「え」も1。さて、ここまでの前半3回、つまり全体の右半分の操作をまとめると、下のような流れになっている。「えおか」は110と書き直してある。

   

210214h-s

   

上図から、左半分も同じ流れだと分かる。つまり、「あいう」=「えおか」=110。後半3回は、下図のようになるはず。

  

210214is

   

したがって、B君の手札「あいうえおか」は、110110。 ・・・正答

   

  

(4) (3)の考察より、全6回の操作の半分、3回に注目してみる。B君の持ち札の半分は、全部で8通り考えられる。

  

まず、Bの半分が101の時は、問題文より、下図の通り。スコアスペース(の半分)は110

   

210214j

  

次に、Bの半分が001の時は、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは010

 

210214k

   

続いて、Bの半分が010の時も、(2)の解答より下図の通り。スコアスペースは011

  

210214l

  

さらに、Bの半分が110の時は、(3)の解答より下図の通り。スコアスペースは111

  

210214m

  

Bの半分が011の時は、下図のように、スコアスペースは100

    

210214o

  

Bの半分が000の時は、下図のように、スコアスペースは001

  

210214p

  

Bの半分が100の時は、下図のように、スコアスペースは101

  

210214q

  

最後に、Bの半分が111の時だけ変則的になる。スコアスペースは000で、審判に最後に渡されるのは11

  

210214r

   

以上、全部で8通りをまとめ直すと、下のようになる。ただし、どれも審判の最初の札は0と仮定してある。

  

Bの半分 000 001 010 011 100 101 110  111  

 スコア 001 010 011 100 101 110 111  000(審判11)

   

Bが111の時を除くと、スコアはどれも1点以上。よって、もしBの札全体のどちらか半分に111が入ってないとすると、スコアは合計2点以上になってしまう。よって、Bの札全体のどちらか半分には111が入っている。

  

111が左半分だけに入っている場合、最後はA君の勝ちになってしまうので、111少なくとも右半分には入っている。左半分は全部で8通りで、Bの左半分が000か010だと、操作の後半は下の通り。Bの勝ち、得点1点となる。

     

210214s

  

210214t

   

Bの札の左半分が上の2つ以外だと、条件に合わない。下図の通り。

  

210214u

   

210214v

   

210214w

  

210214x2

  

210214y2

  

210214z2

  

以上、まとめると、Bの右半分が111の時、左半分の変化は下の通り。

  

Bの左半分 000 001 010 011 100 101  110     111 

 スコア  1点  2点  1点  2点  2点  3点  0点(A勝ち) 1点(A勝ち)

 

したがって、B君が勝ちで得点が1点になるのは2通りのみ

右半分は111だったから、持ち札は、000111、または、010111。 ・・・正答

  

  

(5) B君が勝ちで得点が2点になるのは、B君の札のどちらか半分に111が入っているものだと、(4)の解答より、001111、011111、100111の3通り

   

また、B君の札の半分に111が入ってないものだと、(4)の解答より、得点1点の000、001、011を左右に組み合わせたものになる。よって、3×3=9通り

  

したがって、B君が勝ちで得点が2点になるのは、3+912(通り)。 ・・・正答

   

   

     ☆     ☆     ☆

マジメに書くと、このくらい長い記事になります。学習塾や参考書、問題集の解答だと、かなり省くのが普通でしょう。

  

実際の試験場では、説明が要らないので、全ての場合を正確に計算するだけでも解けます。Bの持ち札は6枚で、1か0だから、全部で2×2×2×2×2×2=64通りの計算

  

それらの内、明らかに問題の条件に合ってないと分かれば、途中で止めればいいので、速い小学生なら15分~20分で計算終了。それで(2)~(5)の答は出ます。

    

何か、もっと上手い方法もあるような気がしますが、今のところ思いつきません。Bの札6枚を3枚ずつに分けて考えるのがコツとか攻略法でしょう。ただし、審判の札に注意して。

  

なお、今週は計15728字で終了。ではまた来週。。☆彡   

   

       (計 3734字)

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宝くじの当選番号を予言して当てる迷惑メールの仕組み、他~2021年・大学入学共通テスト・情報関係基礎

去年のセンター試験で初めて見て、面白いからブログ記事を書いた科目、「情報関係基礎」。数学という教科の一分野という位置づけで、私の関心もかなり数学的なものだ。ちなみに、去年の記事は下の通り

    

 ひらがな情報の符号化・暗号化(エンコード)、データ量の圧縮~20年センター試験・情報関係基礎

  

「基礎」と言いつつ、基礎ではない「情報関係」という科目はないし、「関係」という言葉も逆にボヤけて分かりにくくなってると感じる。

  

まあでも、多数の考えや関係者の妥協の産物なんだろう。例えば、「情報基礎」だと意味が広すぎるとか、「情報処理」だと狭すぎるとか♪

   

それはさておき、初めての「大学入学共通テスト」の情報関係基礎。去年より簡単になったような気がしたけど、平均点は68点から61点へと、1割も低下。受験生の中身が変わったのか、あるいは、私がこの教科に関して素人だということか♪

  

とにかく、問題前半の注目の設問だけ、軽い解説&感想記事にまとめとこう。問題・正解のpdfファイルは、いつものように河合塾HPより。どうして大学入試センターの公式サイトに問題を載せずに、予備校やマスメディア経由で情報を流すのか、前から意味不明。

   

  

     ☆     ☆     ☆

設問が目新しくて面白かったのは、宝くじ当選予言問題だけど、それだけだと1本のブログ記事としては内容が少な過ぎるので、先に他の問題もトッピングしとこう。この世界では普通の基礎的内容だろうけど、個人的には初めて、問題として解いた。

  

210124a

  

第1問(必答問題)、問1・a

 数字(0~9)と、アルファベットの大文字(A~Z)、小文字(a~z)の計62種類の文字をすべて区別して符号化するためには、1文字あたり少なくとも [ ア ] ビット必要である。

   

解答 

 (2の5乗)=32 ≦ 62 ≦ 64=(2の6乗)

   

よって、1文字あたり少なくとも、2の6乗通りの情報を扱うので、6ビット必要。 ・・・アの答

   

  

(解説&感想)

単純に考えると、2進数の000000から111111まで、64コを区別して、1文字を表せばよい。64-62=2だから、2コ余る計算になる。

   

コンピューター関連の発祥地である英語圏にとって、英数1文字あたり6ビットが基本なのに、なぜ8ビットを1バイトに決めたのか? 不思議だったから、ネット検索してみた。

  

上の62種類の文字以外に、よく使う記号が30種類ほどあるから、合計で約92種類。ということは、7ビット(2の7乗通り=128通りの情報)必要だけど、7は奇数で扱いにくいから、8ビットにしたというお話。

   

東洋英和女学院大学、酒井郷平・助教のpdfファイルより。専門は「教育工学」とのこと。まさに分離融合、初耳の学問名。

   

   

     ☆     ☆     ☆

問1・b

 24ビットフルカラーで800×600ピクセルの画像1枚のデータ量は、圧縮をしない場合 [イウエオ] kBとなる。なお、1kBは1000Bである。

 また、この条件の画像を用い、30fps(frames per second)で1分間の動画を作った時のデータ量は、同じく圧縮をしない場合 [イウエオ] kBの [カキクケ] 倍になる。

   

  

解答

 1B(バイト)=8ビットだから、

 (この画像1枚のデータ量)

 =24×800×600 (ビット)

 =24×100×600 (B)

 =24×60 (kB)

 =1440 (kB) ・・・イウエオの答

   

 (1分間=60秒の動画のデータ量)

 =(30×60枚の画像のデータ量)

 =(1枚の画像のデータ量)×1800 ・・・カキクケの答

   

  

(感想) 昔、この種の計算を実際にやって、画像や動画のデータ量と比べたけど、ほとんど合ってなかったから止めた覚えがある。まあ、デジタル超初心者だったから、色々と誤解や間違いもあったのかも。

   

試しに今、400×400ピクセルのビットマップ画像を作ってみると、468KBだった。

  

1KB=1024Bで計算すると、

24×400×400÷8÷1024=468.75(KB)

  

この小数点以下を切り捨てにしてるわけか? いや、プロパティで調べると、元のバイト数は480054バイトになってる。この細かい54バイトは何?

   

「ディスク上のサイズ 472KB(483328バイト)」も意味不明。やっぱり、昔の挫折は自然なことだった♪ 今後の研究課題としとこう。

    

   

     ☆     ☆     ☆

実は理論的に一番興味深かったのは、問2ギザギザ画像の説明。

   

210124b

  

ラスタ(ビットマップ)形式の画像でジャギー(ギザギザ)が出来るのは、画像を「画素(点)の集まりとして」表現するため(ソの答)。一方、ベクタ(ベクトル)形式の画像でギザギザが出来ないのは、「座標や数式を使って」表現するため(タの答)。

  

これは、調べてみたけど、まだあまり納得できてない。点の集まりでも、数(密度)や視力によってはギザギザにならないし、逆に、座標や数式を使ってもギザギザになることはあり得る。公表された正解は、説明としてかなり弱い。

     

私がいま考える正解だと、ギザギザが出来る理由は、「画像の斜めの線を、格子状に縦横に並ぶ画素で表現する時、対応する画素が少ないと斜めに隣り合う画素の縦横の段差が大きくなって、目で見えてしまうこともあるから」。

   

これだと長過ぎて、テストにもクイズ番組にも使えない♪ 雑誌や新聞のパズルでも無理。まあ、このギザギザ&ベクタ形式画像問題も、今後の研究課題ということで。MacのPCを買って、デザインやイラストの勉強をしろということかも。

   

いや、単にMacが欲しいもんで♪ アップル独自のCPU搭載のiMacがいずれ発売されたら、本当に買うかも。とにかく、最後は宝くじ問題。

   

   

      ☆     ☆     ☆

210124c

   

問3(省略形 前半) 宝くじの6等の当選番号(末尾のケタ)を予言するメールが届いて、本当に当たった。なぜか? また、5等の下2ケタの予言も当たってた。合理的な理由は?

   

解答 6等の番号の可能性は10通りだから、予言メールを最低限10人に送っていればよい(ツの答)。それぞれ0~9と予言しておけば、誰か1人が必ず当たる。

  

同じように、5等の番号の可能性は100通りだから、これも最低限100人に送っていればよい(テの答)。それぞれ、00~99と予言しておけば、誰か1人が当たる。

   

  

     ☆     ☆     ☆

210124d

  

問3(省略形 後半) 6等と5等と、2回連続で当たるようにするには、少なくとも何人に予言メールを送ればよいか?

   

解答  まず、6等の予言メールを少なくとも1000人に送ればよい(トの答)。0番から9番まで、それぞれ100人に送ると、合計1000人。

  

この内、6等が当たるのは100人だから、今度はその100人に、それぞれ00番から99番まで予言するメールを送れば、誰か1人は6等、5等と連続で当たることになる。

   

  

(解説&感想)

結局、メールは少なくとも合計1100通、送信することになる。1000通+100通。

    

最初から、6等の番号と5等の番号を順に合わせて3ケタの番号でまとめて予言しておくと、000~999まで1000通で済むけど、受け取った人のインパクトがいま一つになる。だから2回に分けて、「当たった」「また当たった! 凄い・・」と感激させる手口。

   

実際に、誰かをだまして金儲けしようと思ったら、連続当選者の中で引っかかる被害者(ジョンとか♪)が1000人に1人とすると、1100×1000=110万通のメールが必要。もちろん、人力で送ると赤字だろうし間違えてしまうから、機械頼み。

    

ただ、110万通は多過ぎるから、実際の被害者は100人に1人くらいなのかも。それなら、1100×100=11万通で済む。機械的にやれば何とかなるかも。

     

実際、ニュースを見てると、もっと悪質な詐欺ようなものに引っかかってる人は大勢いるらしい。オレオレ詐欺とか、母さん助けて詐欺とか、振り込め詐欺の類もいまだに大勢引っかかってるのが現実。太郎みたいな理屈屋も案外、危ないかも。他人事ではないけど。。

   

  

     ☆     ☆     ☆

ちなみに、私の所にも宝くじの当選番号を予測するとかいう商業メールが、ソースネクストから送られて来てる。

  

210124e

  

今まで全く無視してたけど、いま試しに一つ開いて、リンクをクリックすると、単なる統計理論の応用らしい。

  

210124f

   

まあ、数字の理屈のお遊びみたいなものであって、それで儲かった人は天文学的に少ないはず。ソフトやアプリ、セミナーや「ウェビナー」に払った費用を上回る儲けは難しい。

   

  

      ☆     ☆     ☆

とはいえ、当たった!と思う人もいるだろうから、「この種のものが無くなることは今後もない」。この予言は100%当たる♪ 少なくとも、ハズレを確信できることはない。

     

そもそも、この予言は、いつまで経ってもハズレたと実証することができないのだ。最近あまり見かけないだけだとか、いくらでも言い訳可能だから。

     

なお、今週は計14914字で終了。ではまた来週。。☆彡

  

       (計 3580字)

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陸上100m走のタイム(時間)とストライド(歩幅)、ピッチ(歩数)の関係~2021年・大学入学共通テスト・数学ⅠA・第2問〔1〕

今年はコロナのせいで例年より忙しくて、丸2日遅れになってしまったけど、一応、センター試験・・じゃなくて大学入学共通テストの数学の記事を書いとこう。

  

とにかく今、時間が無いので、小問1つだけ。数学好きの市民ランナーで、元・陸上部としてはやはり、ランニングの最適化理論に目が留まる。まあ、机上の空論かも知れないけど♪

   

   

     ☆     ☆     ☆

自分で走ってみればすぐ分かるように、ストライド(歩幅)とピッチ(歩数)の関係は微妙で、特に本気で走る時は、そう簡単に最高の組合せにできるものではない。

  

ストライドを伸ばすと、足腰への負荷が大きくなって、ダメージがやがて故障につながる。足の裏、足首、ふくらはぎ、膝、太腿、腰。

  

逆にピッチを上げると、心肺に負荷がかかってなかなか続かないし、ストライドが予想以上に縮んでしまう。ストライドにせよ、ピッチにせよ、意図的に変化させるとどうしても走りのバランスが崩れがちになる。

   

自転車のギア選択と足の回転数の関係と少し似てるけど、陸上の方が足腰への負荷が高いのは間違いない。というわけで、今回のテストの問題は、陸上競技の現実とはかなり違ってるのだ。

    

では、例によって河合塾で数学Ⅰ・Aの問題を頂いて、解説してみよう。必答問題の第2問、〔1〕

    

     ☆     ☆     ☆

210119a

    

210119b

   

解答(1) (平均速度:1秒あたりの進む距離)

   =(1秒あたりの歩数)×(1歩あたりの進む距離)

   = (ピッチ)×(ストライド)

   = xz ・・・②(アの答

  

(感想・解説) 文章の誘導に従って式を書くと、zxになるはずだけど、選択肢ではxz。細かい話だけど、これはxとzの定義が逆順だから起きてることで、意図的にせよ偶然にせよ、問題作成としてはビミョーな所。まあ、最初にストライドから話を書き始めてるし、ストライドの方が簡単(単なる長さ)だから、ストライドをxにしたんだろう。

     

   

     ☆     ☆     ☆

210119c

  

210119d

 

 (2) ストライドxが0.05大きくなると、ピッチzが0.1小さくなるので、zをxで表す1次関数の傾きは、

-0.1÷0.05=-2

 また、この関数は点(x,z)=(2.10,4.60)を通るから、

 z=-2(x-2.10)+4.60

  =-2x+8.8

  =-2x+44/5 ・・・② (イウエオの答

  

ピッチzが最大値4.8の時、

 4.8=-2x+8.8

 ∴ x=2.00

 ∴ 2.00 ≦ x ≦ 2.40 ・・・(カキクの答

    

(感想・解説) 小数と分数が混ざってるし、小数第2位まで無理やり書くので、ちょっとやりにくい。参考のためのグラフも書きにくい。これは適度なヒネリで、いいと思う。

  

どうして小数第2位まで考えてるかというと、本来ならストライドは身長と同じく、cm単位で測る。ところがそれだと3ケタの大きな整数になってしまうし、100mという距離と単位が変わってしまうので、ストライドをm単位で小数第2位までにして、ピッチと合わせてるわけだ。

   

  

     ☆     ☆     ☆

210119e

  

y=xzとおいて、②のz=-2x+8.8を代入すると、

y=x(-2x+8.8)

 =-2x²+8.8x

 =-2(x-2.2)²+9.68

   

2.2はxの範囲に入っているので、

yの最大値を与えるxは、2.20 ・・・(ケコサの答

  

この時、(ピッチ)z=-2×2.2+8.8

          =4.40 ・・・(シスセの答

   

さらに、①式より、

(タイム)=100/xz

     =100/(2.2×4.4)

     =100/9.68

     =5000/484

     =1250/121

     =10.330・・・

 

よって、タイムの値は、選択肢。 ・・・(ソの答

    

(感想・解説) 最後がかなりキレイな小数第2位までのタイムになってて、しかも現実的なトップクラスのタイムになってる辺りは、流石に上手い問題作成。たぶん、何度も作り直したはず♪ 9秒台だと、まだ日本人は滅多に出せないし、11秒台だと遅すぎて、最速タイムとしてピンと来ない。

    

こんな速いタイム、ほとんどの人は出せないけど、メディアで報道されてる100m走の値はこのくらいが圧倒的に多い。多くの受験生にとって、わりと馴染んでる数字だろう。

    

理論的には簡単な1次関数と2次関数の問題だけど、小数・分数も、文章の長さもちょっと面倒だから、難易度も適度。全体的に良問だと思う。

  

  

      ☆     ☆     ☆

なお、河合塾の分析では、「問題文が長く、初めて見る用語や関係式に対応して上手に立式できるかがポイント」とのこと。そうか。ストライドとかピッチは「初めて見る用語」なわけか♪

  

ちなみに当サイトのランニングの記事でそうした言葉を使う時には、基本的に「ストライド(歩幅)」、「ピッチ(歩数)」と書いてる。どうも、適切な執筆方法らしい♪ もちろん、「1歩あたりの」とか「1秒あたりの」という言葉はフツー、省略するわけだ。

  

数学Ⅰ・A全体の平均点予想は、難しかった去年よりは6点も上がってるけど、58点だから、低めになって。さて、実際はどうか。

   

ともあれ、受験生の皆さん、コロナで大変な中、どうもお疲れさま♪ ではまた。。☆彡

   

        (計 2051字)

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パズル「絵むすび」17、線を書かずに頭の中だけでイメージする解き方(難易度3、ニコリ作、朝日be)

線で、同じ絵を結ぶだけ。楽しみながら頭のトレーニングができるパズル「絵むすび」について、これまで16本の記事を書いて来ました(本当は他にも少しあります)。どれも朝日新聞に出てた問題です。

  

5本は小学生向けです。新しい順に、絵むすびの解き方16(20年7月4日)。解き方15(20年3月21日)。解き方13(18年5月19日)。解き方12(17年5月2日)。解き方11(16年5月21日)

  

最初からの10本と、3回前の1本は、大人向けです。第1回2回3回4回5回6回7回8回9回10回14回(19年4月21日)

  

  

    ☆     ☆     ☆

5ヶ月ぶりに絵むすびを扱う今日は、大人でも子どもでも読みやすいように書いてみます。ただし、内容はそれほどカンタンではありません。初めてのパターン。

    

手で線を引かずに、頭の中だけで絵むすびを解く方法について、考え方、コツ、攻略(こうりゃく)法みたいなものを書きます。最近はもう、朝日beの絵むすびや「推理」、クロスワードパズルは手を使わずに解くようにしてます。

  

その下の詰将棋も含めて、完全な脳トレ。頭の中にイメージする能力(=脳力)と、途中までの考えを記憶する能力が鍛えられます。

         

20年12月19日の問題は、難易度(なんいど)☆3つ。簡単な問題ですが、ウチの昔の記事へのアクセスはかなり沢山、入ってます。元の画像は、小さく引用しときます。

   

201220a

  

  

     ☆     ☆     ☆

201220b

    

今回の問題は、6つの絵がどれも「り」で始まるものでした。流星(上図では黄色の「流」)、リボン(上図ではピンクの「リボ」)、クリスマスのリース(緑の「リー」)、リンゴ(赤の「リン」)、リヤカー(茶色の「リヤ」)、リュック(水色の「リュ」)。

      

ルールはいつもと同じ。すべてのマス目を1回だけ線が通るように、絵を結びます。線の交差(クロス)や枝分かれ、絵の突き抜けはダメ。応募(おうぼ)用のポイントは、☆印をどの線が通るかだけど、解く時に星印は気にしなくていいです。

   

  

    ☆     ☆     ☆   

いつものように、まず大きくはなれた2組だけに注目しましょう。特に、角(かど、すみ)とか、端(はし)にあるものをえらぶと分かりやすいです。

   

今回だと、まずリボンの線とリースの線だけに注目するのがいいでしょう。大まかな線の流れを頭の中でイメージして考えます。

   

リースの線が、リボンの間を通ると、そのリースの線の右下あたりにあるリボン、リュック、リンゴ、リヤカーの線を左上に引いて行くことができません。図の下側が一段しか空いてないからです。

  

だから、リースの線は、リボンの間を通ることはできなくて、右下の隅(すみ)を通るはず。すると、リースの線は大きく見て、カギカッコ( 」 )みたいな形になります。下の線は長めで。

  

  

    ☆     ☆     ☆

すると、リヤカーを結ぶ線は、左下の隅を通ってグルッと半円形に回る形になります。極端に書くと、「⊂」みたいな感じ。まだ2本目の線だから、イメージしやすいと思います。

     

では、この後、どう考えればいいでしょうか。いつものように、少しずつ更新(こうしん)して行きます。次の更新は今日(12月20日・日曜)の夜にします。ではまた。。

  

  

・・・・・・はい。夜になったので、最初の更新です。あらためて、問題の図を見てみましょう。線は書きません。

 

201220b
   

緑のリースの線は、右下を通過する形でほぼ決まり。茶色のリヤカーの線は、左にグルッと大回りする形でイメージできてます。

  

次に分かるのは、水色のリュックの線。これは、下側にはリースの線があるし、上側にはリヤカーの線があって、はさまれてるのです。だから、狭(せま)い場所の短い線になります。カギカッコ( 「 )の上を長くしたようなイメージ。

  

これでもう、右端と下側の部分はほぼ分かりました。右端には緑のリースの線。下側の部分には、上から、茶色のリヤカーの線(上半分)、水色のリュックの線、茶色のリヤカーの線(下半分)と並んでます。ぼんやり頭の中に浮かぶでしょう。

   

      

     ☆     ☆     ☆ 

この後は、赤いリンゴの線が分かりやすいでしょう。次の更新(こうしん)は明日、月曜の夜です。なお、今週は計14337字で終了。ではまた来週。。☆彡

     

   

・・・・・・月曜の夜になったので、また更新します。もう、3本の線がイメージされてるので、残りの場所はせまいハンイに限られてます。

  

だから、例えば右上のリースのマスの左横を通過する線は、リンゴだろうと分かります。もしリボンの線がそこを通るのなら、リンゴの線が引けなくなってしまいます。流星の線がそこを通るとすると、不自然すぎるし、実際ムリです。

   

というわけで、リンゴの線もほぼ分かりました。上側を大回りしてるのです。後はもうカンタンでしょう。最後の更新は、土曜日(12月26日)に正解が発表された後にします。ではまた。。

   

(☆年末年始はbeがお休みだったので、最後は年明けに更新します。)

   

     ☆     ☆     ☆

ようやく1月9日に正解が発表されたので、最後の更新にします。といっても、間が空き過ぎたし、ほとんどアクセスが入らなくなってるので、もう最後はごく簡単に。

  

既に、リースの線、リヤカーの線、リュックの線、リンゴの線の引き方は大まかに決まってるので、残った狭い場所で流星の線とリボンの線を引くだけです。最後だけは図を示しておきましょう。

   

210110a

   

それでは、この辺で。。☆彡

   

     (計 1732字)

 (追記467字 ; 合計2199字)

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パズル「ナンスケ」の解き方、考え方7~難易度4、ニコリ作、朝日新聞be

朝日新聞・土曜の別刷beで、昨日(20年11月14日)また、「ナンスケ」というパズルが出ました。制作はニコリです。難易度は4(☆4コ)で、苦戦してる人も多いようです。

       

ナンスケ(ナンバースケルトン)とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。最初は、やり方が分からなくて考え込むでしょう。

   

このサイトでは今まで6回、解き方や考え方、コツみたいなものを解説しています。

   

19年5月11日の問題の記事(難易度2)、6月29日(難易度2)、9月7日(難易度3)、10月26日(難易度4)、20年4月4日(難易度4)、7月18日(難易度3、小学生向けの記事)。

     

すべて、リンクを付けてるので、クリックとかタップで参考にしてください。

    

   

   ☆    ☆    ☆ 

201115a

   

今回は、上図の問題。著作権に配慮して、新聞発表の翌日まで待った後、小さく引用してます。図の全体が、中心に関して点対称なので、見た目がキレイです。赤いマス目の数の和(足し算)が、懸賞応募用の答。

   

201115b

   

上の大きな図は、元と同じですが、私がPCとアプリで自作したものです。マス目に入れるのは、次の22コの数。個数が多いし、すべて1、2、5、7で出来てる数だから、迷うでしょう。過去、一番むずかしい問題かも知れません。

     

(3ケタ)115,157,171,177,222,252,517,555,715,751,772,777

(4ケタ)1722,5122,5722,7722

(5ケタ)17117,17751,21215,22257,25571,77157

   

   

    ☆     ☆     ☆

最初は、4ケタの数がすべて、後ろの2つが「22」となってることに注目して、それらを記入。入れる数の共通点を見抜くのは、ナンスケの大きなポイントです。

   

さらに、下側の横の5ケタのマス目を見ると、左から3番目が2なので、左端は2のはず。候補は、21215か、22257しかないので。

   

201115c

  

個人の性格や問題の難易度にもよりますが、私の場合、まだハッキリしてないマス目は空欄のまま残してます。別の人気パズル「数独」や「絵むすび」、「推理」を解く時でも同様。論理的に考えて確実に分かることだけを記入していく。

       

ただ、例えば下側の横の5ケタに21215か22257のどちらかを書きたい人は、それでもいいと思います。後で失敗に気付いたら、消してやり直せばOKです。

   

この後は、左下か右下が分かりやすいでしょう。なるべくネタバレを少なくするため、いつものように、少しずつ記事を更新。次は今日(15日・日曜)の夜に続きを少し書きます。ではまた後ほど。。

   

  

    ☆     ☆     ☆

では、夜になったので、最初の更新です。

  

201115d

  

左下、縦の3ケタは、真ん中が2だから、222。すると、左下の横の3ケタは、最後が2で終わってるので、252か772のはず。

  

ところが、もし252だと、2で始まる数がもう残ってないので、左下の隅に入る数が無くなってしまいます。だから、左下の横の3ケタは、772です。

  

一方、右下を見ると、縦の5ケタの上から2番目が2だから、22257しかありません。

  

この後は、右下を続けるのがカンタンでしょう。次は明日(16日・月曜)の夜、更新します。なお、今週は計16229字で終了。ではまた来週。。☆彡

   

  

     ☆     ☆     ☆

では、月曜の夜になったので、2回目の更新です。

  

201115e

  

右側の横の3ケタは、2で始まってるので、もう252しかありません。下側の横の5ケタは、「2?2?5」と並んでるから、21215に決まります。

  

この後、右下を完成するのは簡単でしょう。その次がちょっと考え所。5ケタの数が3つ残ることになりますが、それら3つの共通点があるので、それを上の方に書き込むと上側が攻略できます。

  

応募の締め切り前、最後の更新は明日(火曜)の夜にします。ではまた。。

  

  

     ☆     ☆     ☆

火曜の夜22時を過ぎました。締め切り前の最後の更新です。普通、火曜日になるとアクセスはほとんど無くなりますが、今回はまだそこそこ入ってます。やはり、難易度4にしては難しめだったのでしょう。難易度4.2くらいかも♪

   

201117i

    

右下の縦の5ケタは、2で始まるので、25571。右下の横の3ケタは、751です。この後がポイント。

  

残る5ケタは、17117、17751、77157だから、どれも2番目の数は7です。すると、左上の少し右寄りにある、縦の5ケタも、2番目の数は7のはず。だから、そこから始まる横の7ケタは、77157です。

  

この後は、上側から考えるといいでしょう。ただ、適当に書き込んでると間違えてしまいます。最後まで注意して。次の更新はもう、正解発表の後。それでは。。

  

  

    ☆     ☆     ☆

20年11月21日、正解が発表されたので、最後の更新をします。

  

201121a

  

まず左上。残る5ケタはどちらも先頭が「17・・・」となってるので、横の77157の左上は1のはず。すると、左上の横の3ケタは、1で終わってるので、171と書けます。中央の上、縦の4ケタは5122のはず。  

    

201121b

  

左上に縦の5ケタが2個あります。もし、左が17117なら、すぐ下の横の3ケタは751となってしまって、既に使った数字になります。だから、左が17751、右が17117。 

  

201121c

  

上側の横の4ケタは、1722しかありません。すると、下側の横の4ケタは5722、縦の4ケタは7722に決まります。だから、2重枠の数字の1つは、5です。

     

201121d

     

左側の中央、横の3ケタは、もし177だとすると、すぐ下の縦の3ケタが777となって、右上の縦の3ケタ(真ん中が7)が書けなくなってしまいます。

    

だから、17751と17117のすぐ下、横の3ケタは、157。その下の縦の3ケタは517です。二重枠の数字のもう1つは、1。よって、応募用の答は、5+1=7です。

     

201121e

  

すると、もし右上の縦の3ケタが777なら、その下の横の3ケタと左下隅の縦の3ケタに入れる数に困ります。7で始まる数が足りなくなるからです。

  

だから、右上の縦の3ケタは177。その下の横の3ケタが、もし777なら、すぐ下の縦の3ケタと左下隅の縦の3ケタに入れる数に困ります。

 

よって、右上の横の3ケタは715で、左下の縦の3ケタは777。この辺り、最後まで論理的にビミョーな問題で、注意しないと間違えるでしょう。

  

その後はもう、右上に115と書き込んで、一番最後が右上の555。ようやく終わりました。それでは、この辺で。。☆彡

   

      (暫定字数 1391字)

  (追記1253字 ; 合計2644字)

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戦前の東京大学(旧制・第一高等学校)の数学の入試問題2~代数、昭和11年(1936年)

クイズ番組を中心に、不思議なほどの東大ブームが続く令和の今、先日に続いて、戦前の東大(第一高等学校)の数学の入試問題を紹介しよう。昭和11年、1936年の入学試験での出題で、前回の幾何(図形)に続いて、今回は代数。整数の2元2次・連立方程式。

   

わりと大きくて重そうな弾丸を人力で運ぶ問題だから、現在だと出題しにくいはず。兵隊とか軍隊、戦地とまでは書いてないけど、戦前ならではの実用的な整数問題だ。

       

数十年、数百年前の資料を、一般人が手軽にネットで見れるようになってから、まだ10年~20年くらいか。言葉の問題もあって、せっかく無料公開されてる資料はまだまだ利用されてないどころか、閲覧が全く追いつかないほど次々に情報公開されてる。

   

お金も手間ひまもかかってる作業だから、少しずつでも利用して行きたい。使わないままだと、デジタル化の勢いも失われてしまうはず。

  

なお、1本目の記事は次の通り

  

 戦前の東京大学(旧制・第一高等学校)の数学の入試問題~幾何、昭和11年(1936年)

  

出典は同じで、『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解 昭和11年度』、欧文社(今の旺文社) 。国立国会図書館デジタルコレクションにて公開中。あえて、画像処理でキレイに修正することは避け、元の古めかしい画像のままで引用。

  

   

     ☆     ☆     ☆

201003a

  

6. 弾丸若干個を人夫若干名にて某地へ運ぶに各人各回同数ヅツ運び往復9回を要するものとす。もし人数を7名増し各人毎回の運搬数を20個減ずれば8回にて了るべく、又人数を4名減じ各人毎回の運搬数を10個増せば10回を要すべしといふ。人夫の数及び弾丸の数を問ふ。

  

(現在の日本語に直した問題文) いくつかの弾丸を、何人かで、ある地点まで運ぶ。各人が各回、ある一定の数を運ぶなら、往復9回かかる。もし人数を7名増し、各人の毎回の運搬数を20個減らすと、8回で終わる。また、もし人数を4名減らして、各人の毎回の運搬数を10個増すと、10回を要する。もとの人数と、弾丸の総数を求めよ。

   

    

     ☆     ☆     ☆

解答 (私が作成)

もとの人数をx人、もとの1人1回あたりの運搬数をyコとすると、xは4以上の整数、yは20以上の整数で、条件より、

 9xy=8(x+7)(y-20)

 9xy=10(x-4)(y+10)

  

∴ xy+160x-56y+1120=0 ・・・①

 xy+100x-40y-400=0 ・・・②

  

①-②: 60x-16y+1520=0

 ∴ 15x-4y+380=0 ・・・③

 

不定方程式③を満たす1組の解として、(x,y)=(4,110)がすぐ見つかるので、

 15×4-4×110+380=0 ・・・④

  

③-④: 15(x-4)-4(y-110)=0

 ∴ 15(x-4)=4(y-110) ・・・⑤

  

もとの条件である①かつ②は、②かつ③と同値(つまり必要十分)であり、③と⑤は論理的に同等の数式。

結局、条件式は、②かつ⑤と考えてよい。ただし、xは4以上の整数、yは20以上の整数

  

⑤の右辺は4の倍数だから、左辺も4の倍数。よって、xは4の倍数のはず。そこで、⑤にx=4,8,12,・・・を代入してyを求め、そのxとyでが成立するかどうかを調べる。

   

 x=4,y=110   ②は不成立

 x=8,y=125    不成立

x=12,y=140    不成立

x=16,y=155    不成立

x=20,y=170    不成立

x=24,y=185    不成立

x=28,y=200    成立

(28×200+100×28-40×200-400=0)

x=32,y=215    不成立

x=36,y=230    不成立

  

ここで、②を変形すると、(x-40)(y+100)=-3600

両辺の符号はマイナスだから、x-40<0  ∴ x<40

よって、x≧40の場合はすべて不適で、これ以上、代入して調べる必要はない。

    

したがって、x=28,y=200であり、

もとの人夫28人。 ・・・(答)

また、弾丸の総数は、

9xy=9×28×200

  =50400個。 ・・・(答)

  

  

     ☆     ☆     ☆

現在だと、この種の問題の条件は不等式のことも多いけど、ここでは等式になっている。2変数で等式2本の整数問題(連立方程式)だから、簡単そうにも見えるけど、弾丸の個数が多いので意外と面倒。

   

その点を考えると、本の模範解答(下図)のように、代入法で1文字消去した方が良いかも知れない。ただ、私としては、現在の不定方程式の解き方を応用する方法を選択した。整数問題では、因数分解や、具体的な数の代入が有効なことが多いので。「研究」と名付けられた解説を読むと、計算練習や計算能力の大切さが強調されてた。

    

201003b

   

201003c

  

なお、上図で、「(3)ニ代入」が「(3)代入」と書いてあったり、「28」が「3」に見えたり、「50400」が「50 00」に見えたりしているので、念のため。

   

負(マイナス)の数のことを「原数」と書いてるのは、おそらく「減数」の誤植だと思うけど、この言葉を検索してもなかなかヒットしない。古すぎる言葉だからか、あるいは、この解答作成者の独自の言葉づかいなのかも。

  

以前の海軍兵学校の問題も含めて、100年前の受験生たちも優秀だったことが実感できたし、数学の基本は不変だとあらためて確認できた。それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

   

      (計 2142字)

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戦前の東京大学(旧制・第一高等学校)の数学の入試問題~幾何、昭和11年(1936年)

先日(20年9月26日)、久々にNHK『ニュース7』を見てたら、終了後に『たけしのその時カメラは回っていた』という番組がスタート。初めてだから、そのまま消さずに流し見してると、既に戦前から、東京大学などの受験戦争は激しかったと説明してた。

   

早速、国立国会図書館デジタルコレクションで当時の受験雑誌を探したものの、公開されてるものがなかなか見当たらない。そこで代わりに、試験問題を探すと、解答どころか解説までついてる詳しい問題集(または参考書)を発見できた

  

200929a

     

『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解 昭和11年度』、欧文社(今の旺文社)。指導部編ということは、専属の先生みたいな社員がいたのかも。附録として、競争率の一覧表まで付いてて、本格的な受験参考書だ。東京大学(当時は旧制・第一高等学校) は文系も理系も10倍近い倍率の難関。採用予定数は、文理ともに僅か150人。

  

200929b

            

今日は時間が無いけど、興味深かったから、東大(第一高等学校)入試問題の数学を1問だけ紹介しとこう。全6問中の第1問。幾何だから、今なら上位の高校の入試問題みたいなものか。

        

試験時間は3時間だから、完答しても1問30分ある。当時の合格ラインは不明だけど、問題自体は今より簡単で、解答も長くはないから、トップクラスの受験生なら完答できたと思う。

    

   

      ☆     ☆     ☆

200929c

  

1. 位置および大きさが与えられたる角XOYの辺OX、OYの上にそれぞれ点A、Bをとり三角形AOBの周の長さを定長Lに等しからしむるときは、辺ABは一定円に切することを証明せよ。 (引用者による注.切する=接する)

   

解答 (私が作成。図は、本の解答のものを修正して利用。)

200929d2

   

上図のように、∠XABの二等分線と、角YBAの二等分線との交点を、点Pとする。また、点PからOX、AB、OYに下ろした垂線の足をそれぞれ、点E、点H、点Fとする。

  

1辺2角が等しい直角三角形なので、△PAE≡△PAH  

 ∴ PE=PH・・・①   AE=AH・・・②

  

同様に、△PBF≡PBH

 ∴ PF=PH・・・③   BF=BH・・・④

  

①③より、PE=PH=PF。よって、中心P、半径の長さPEの円(以下、円Pと呼ぶ)は、OA、AB、OBと接して、接点はそれぞれE、H、F。

  

200929e

   

また、L=OA+AB+OB  (∵ 仮定)

    =OA+AH+BH+OB

    =OA+AE+BF+OB (∵ ②④)

    =OE+OF

   

ここで、OEとOFは、点Oから円Pに引いた2つの接線だから、長さは等しい。

∴ OE=OF=L/2

   

したがって、点A、Bの位置に関わらず、接点E、Fは点OからL/2の距離の定位置にあり、円Pの中心と半径PEも一定となる。

以上より、辺ABは一定円(上の円P)に接する。

         (証明終了)

  

  

     ☆     ☆     ☆

三角形の「傍心」と「傍接円」の問題だから、私は2つの外角の二等分線の交点から解いた。

   

の解説では、1つの外角の二等分線と角XOYの二等分線との交点から解いてる。

  

200929f

  

200929g

     

私は、純粋な論理を重視。本は、この種の問題を解く時の常套手段を重視したということか。

   

ちなみに本の解答は、点Oが2つあるし、他にも間違い(または活字の誤植)がある。軽い実力試しのクイズとして、どうぞ♪ 時間が無いので、今日はあっさりこの辺で。。☆彡

  

  

  

cf. 戦前の東京大学(旧制・第一高等学校)の数学の入試問題2~代数、昭和11年(1936年)

 海軍兵学校の数学試験(算術)~明治36年度(1903年)の問題と解説・解答

      

      (計 1390字)

   (追記43字 ; 合計1433字)

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パズル「ナンスケ」のとき方6~小学生むけ(星3つのむずかしさ、あさひしんぶん)

「ナンスケ」というパズルの解き方(ときかた)について、今まで、5本の記事(きじ)を書(か)いて来ました。今日(きょう)は、子どもむけにやさしく書いてみます。

  

「ナンスケ」は、ナンバーのスケルトン。数(かず)の骨(ほね)ぐみ、ということです。縦(たて)と横(よこ)に、いろんな数をつなぎます。数は、上から下か、左から右へと書きます。

  

問題(もんだい)の図(ず)からわかるのは、数のケタと、つなぎ方だけ。どこに何の数を入れるか、自分(じぶん)で考えます。

  

  

    ☆     ☆     ☆

ここでは、2020年7月18日(土曜・どよう)の朝日新聞(あさひしんぶん)の朝刊(ちょうかん)be(ビー)のパズルを考(かんが)えてみましょう。

    

ニコリが作(つく)ったもので、難易度(なんいど、むずかしさ)は、☆☆☆。星(ほし)3つだから、フツーです。

    

200721a

  

今までの説明(せつめい)は、下の5本。小学5年生以上なら、読(よ)めると思います。リンクをつけてるので、クリックとかタップしてみてください。

  

 19年5月11日の記事、6月29日の記事、9月7日の記事、10月26日の記事。20年4月5日の記事

  

(☆その後、20年11月14日の問題の記事もアップしました。)

    

     

      ☆     ☆     ☆

200721f

   

上のマス目に入れるのは、次(つぎ)の18コの数です。

 

(3ケタ)292, 298, 595, 892, 995, 999

(4ケタ)1215, 1812, 1818, 9998

(5ケタ)12828, 25822, 29229, 52885, 58855, 85552, 88155, 95588

   

プレゼント用(よう)の答(こたえ)は 、赤(あか)い枠(わく)の2つの数の合計(ごうけい)です。たし算(ざん)するだけ。最後(さいご)まで、わかりません。

  

  

    ☆     ☆     ☆

まず、すべての数をジッと見て、同じになってることを探(さが)すのがコツ。よく見ると、3ケタの数はどれも、真ん中(まんなか)が9になってますね。だから、下のように書けます。

  

200721b

   

左上(ひだりうえ)のタテの3ケタは、真ん中と下が99となってるから、999ですね。

  

次(つぎ)に、右下(みぎした)のタテの3ケタは、はじめと真ん中が99となってるから、995です。もう、999はさっき使(つか)ってるから、ダメなのです。

  

書く順番(じゅんばん)が大切(たいせつ)。これで、下の図のようになりました。

   

  

     ☆     ☆     ☆

200721c

  

左上のヨコの5ケタは、2つめが9だから、29229です。すると、真ん中の上にあるタテの4ケタは、9から始(はじ)まるから、9998になります。

  

200721d

   

右上のヨコの5ケタは、9から始まるので、95588ですね。あと、残(のこ)ってる4ケタの数3つはどれも、1番目(ばんめ)と3番目が1だから、下のように書けます。

  

200721e

   

これでもう、かなり分かったから、後(あと)は簡単(カンタン)。今日はしめきりの火曜(かよう)だから、ここで止(や)めておきます。左にタテの5ケタが2つありますが、どちらもすぐ、わかるでしょう。

  

この続(つづ)きは、今週(こんしゅう)の土曜に、正解(せいかい)が出た後で書きます。では、自分で頭(あたま)を使(つか)って、考えてくださいね。

   

  

     ☆     ☆     ☆

土曜になりました。最後(さいご)まで進(すす)みましょう。

   

200725b

  

左側のタテの5ケタは、真ん中が1だから、88155。すると、その上のヨコの3ケタは、298だと分かります。

   

200725c

   

左下のヨコの5ケタは、真ん中が5だから、85552。すると、下の方のタテの4ケタは、1215だとわかります。

  

200725d

   

右下のヨコの5ケタは、1番目と4番目が5だから、58855。すると、その上のタテの5ケタは、5で始まってるから、残ってる52885のはず。

   

200725e

  

200725f

  

後はもうカンタンだけど、あわてて答を出そうとすると、間違(まちが)えます。は、赤い枠(わく)の足し算で、

 2+8=10

でした。2+2=4とか、8+8=16と答(こた)えてしまった人もいるかもしれませんね。

   

それでは、これで終(お)わりにします。。☆彡  

   

      (暫定 1284字)

  (追記363字 ; 合計1647字)

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