日テレ『頭脳王２０２１』ストレンジ・オセロ、先手必勝ゲームの証明と戦略（７通りの場合分け）

２０２１年の日テレ『頭脳王』では、新たな頭脳ゲームとして、「ストレンジオセロ」が登場。ストレンジ（風変わりな）オセロという意味の合成語（strange othello）だから、当サイトでは分かりやすく点で区切って、「ストレンジ・オセロ」と書いてる。

私は最初にテレビで見た時、後手の人間が必勝なんだろうと思ったけど、京大の首席・上木が負けた対局をちょっと調べてる内に、先手が有利のような気がして来た。ネットの一部でも先手必勝という話が出てたけど、具体的な証明は土曜の深夜の時点で見当たらなかった。

そこで、日曜日に少し考え始めて、昨日の月曜日に先手必勝の証明完了。予想より変化は少なかったけど、それでも面倒な場合分けにはなる。初めはノートに手書きしてたけど、途中からは１００円か２００円で昔買ってた携帯オセロを取り出して操作。４２の局面を撮影して、ＰＣフォルダにまとめた。

多少、省きながら、大まかな証明を示すことにしよう。オセロの評価アプリやプログラムは使用せず、人力で場合分けした論理的証明だ。局面ごとの最善手とか、評価値とか確率・勝率の話ではなく、最終的に「先手が必ず勝てる」ことを示す。何枚取ったのか、枚数も関係なし。過半数で勝ちだ。

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証明の前に、気になる点について一言。番組では、東大の神脳・河野と新鋭・成瀬が後手なのに勝ってたから、先手のコンピューターは最善の手を指してないことになる。上木戦と河野戦とでは、序盤のコンピューターの指し手が早くも違ってた。

演出の範囲か、偶然か、ヤラセかはさておき、事実を指摘すると、頭脳王のコンピューターは数年前からあまり強くなかったのだ。今年だけではない。そもそも、コンピューター・ゲームでアプリとかソフトの側が人間に手加減するのは少しも珍しくないこと。

プログラム技術協力のＡＶＩＬＥＮのｔｗｉｔｔｅｒに、技術者側の裏話が少し紹介されてる。もし、文春砲とかが番組制作側のスタッフにさく裂したら炎上の可能性もあるけど、単なるクイズ番組のゲームだし、上木はオセロの前から既に準決勝の最下位（３位）だったから、あまり問題にはならないと思う。

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先手のコンピューターは、テレビだと青色だったけど、ここでは普通に黒を使う。私が使った基本戦略はただ一つ。最初から置かれてる黒石を活かしつつ、左上あたりに逆三角形の陣地を固めること。上の辺よりも、左の辺の方が１マス長い。

この形だと、白に挟まれて取られることも無いし、変化が減って人間が考えやすくなる。ちなみに、コンピューターにとっては、このゲームの変化はほとんどゼロみたいなものだろう。一瞬で完全に分析・判断できるはず。

マス目の呼び名は番組に合わせて、左から右にＡＢＣＤ、上から下に１２３４とする。辺の部分はお互い１０コずつで、ひっくり返せないので、カウント不要。内側の４×４＝１６マスだけカウントすればいい。９マス以上取れば、勝ち。

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番組では初手がＢ１になってたけど、逆三角形の辺の長さを考慮すると、直観的にはむしろＡ２の方が手堅い。少しだけ、自分の陣地の内側になるから。実際、これで先手必勝を示せた。

場合分けの全体は、下の７通り。細かい分類は他にも少しある。

（１）２手目　白Ａ１　①４手目　白Ａ３　②４手目　白Ｃ１

（２）２手目　白Ａ３　①４手目　白Ａ１　（ア）６手目　白Ｃ１　（イ）６手目　白Ｄ１　②４手目　白Ｃ１

（３）２手目　白Ｃ１　①４手目　白Ａ１　②４手目　白Ｃ１

ではいよいよ、一つずつ先手必勝を示して行こう。１手目（初手）はすべて黒Ａ２なので、念のため。

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（１）２手目　白Ａ１の変化　　３手目は黒Ｂ１で、下図の通り。　　

（１）①４手目　白Ａ３の変化　　５手目は黒Ａ４で、下図になる。

６手目、白Ｃ１しかない。７手目、黒Ｄ１で既に先手の勝ち。例の４×４＝１６マスの内、１０マスが逆三角形で確保できた。

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（１）②４手目　白Ｃ１の変化　　５手目、黒Ｄ１で下図。

次に白Ａ３だと、黒Ａ４で先手の勝ちとなってしまう。だから、白Ａ４しかない。黒Ｄ２で、白は差す手がないからパス。

下図の次に、黒Ｂ４で先手の勝ち。（以下、略）。

（２）２手目　白Ａ３の変化　　３手目、黒Ａ４で下図。

（２）①４手目　白Ａ１の変化　　５手目、黒Ｂ１で下図。

（２）①（ア）６手目　白Ｃ１の変化　　７手目、黒Ｂ４で白をパスに追い込んだ後、８手目、黒Ｄ１で先手勝ち。以下、略。

（２）①（イ）６手目　白Ｄ１の変化　　７手目、黒Ｂ４で白をパスに追い込んだ後、８手目の黒Ｄ２で先手勝ち。以下、略。

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（２）②４手目　白Ｃ１の変化　　５手目、黒Ｄ２。６手目、白Ａ１で下図。先手は、左上をまとめて取ろうと狙ってる。

７手目、黒Ｂ１。８手目、白Ｄ１。９手目、黒Ｂ４で先手勝ち。以下、略。

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（３）２手目　白Ｃ１の変化　　３手目、黒Ｄ２で下図

（３）①４手目　白Ａ１の変化　　５手目、黒Ｂ１。６手目、白Ａ３。７手目、黒Ａ４で先手勝ち。以下、略。

（３）②４手目　白Ａ３の変化　　５手目、黒Ｂ４。６手目、白Ｂ１。７手目、黒Ａ１。そこで、８手目、白Ｄ３なら、９手目、黒Ａ４で先手勝ち。

一方、８手目、白Ｄ１なら、９手目、黒Ｄ３で先手勝ち（下図）。１０手目が何かに関わらず、１１手目、黒Ａ４で左上に黒の大きな逆三角形ができる。

以上、全部で７通りの場合分けより、ストレンジ・オセロは先手必勝。　Ｑ．Ｅ．Ｄ．（証明終了）。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

『頭脳王２０２１』、純金のピラミッドの金額＆シロナガスクジラを持ち上げる金剛力士像の身長、計算式と解説

（☆追記：　続いて２本目、３本目の記事も新たにアップした。

　『頭脳王２０２１』、光速の半分で未来に＆ストレンジ・オセロ第１局の棋譜全体　

　ストレンジ・オセロ、先手必勝ゲームの証明と戦略（７通りの場合分け）　）

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アップルペンシルを探し回って１時間も浪費 (^^ゞ　結局、見つからないまま時間と気力を失ってしまったけど、今年も日本テレビ『頭脳王』の計算・論理系の問題を解説しよう。

去年以上に今年は知識・暗記系が多かった気がする。計算だと、神脳・河野が圧倒的で、勝負にならないからかも♪

参加者と同様、私も一番考え込んだのは、新登場のパズル「ストレンジ・オセロ」。ＡＩというのは、去年までと同様の単なるハッタリ、こけおどしで、実は大した能力ではないはず。おそらく後手の人間が必勝で、右下の白で囲まれたエリアを中心にコマを集めて行けばいいんだろうとは思う。

（☆翌日の追記：　コンピューター・ＡＩで調べると先手必勝だという情報がネットに流れてる。詳しい具体的解説は見てないけど、私が上木戦を参考に少し動かしてみた感じだと、確かに先手が有利のような気がして来た。）

しかし変化が多いし、オセロは変則的な動きになるから、必勝法や戦略はすぐには分からない。周囲を取り囲むコマが、白黒半分ずつなのも分かりにくい設定で、要注意。対称形ではない。

とりあえず、東大医学部の神脳・河野玄斗にとっては簡単な計算問題の、純金ピラミッドと金剛力士像を扱うことにしよう。この２つは、番組の宣伝ＣＭでも強調されてた。

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ではまず、ゲストの女子、朝日奈央も可愛く頭を抱えてる、純金のピラミッドの金額。日本の紙幣と硬貨を使って長さを計測、後は正四角錐の体積を求めて、金の単位価格をかけるだけ。

１辺の長さは、１万円札（１６ｃｍ）と千円札（１５ｃｍ）と１円玉（２ｃｍ）を合わせた長さだから、３３ｃｍ。この問題を間違えた２人（京大の首席・上木、東大知力の新鋭・成瀬充）は、マジメにこのまま計算したのかも。模範解答（？）も３３のまま計算してた。

下の少し省略した式を参照。これだと、高さを求める時に３３／２の２乗とかルートが出て来て、時間がないと間違えやすいのだ。２３．２６５とか８４４５．１９５なんて長い数を、そのまま掛け算に使うのも、遅くて大変だし、意味もない。

河野の計算式は見てないけど、普通はまず、１辺を２と仮定して素早く計算するはず。体積だから、後で（３３／２）³をかけて、単位を付ければいい。金は１ｃｍ³あたり１４万３０００円。有効数字２ケタだから、３ケタ～４ケタの大まかな数値で計算すれば十分だ。

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図は１辺の長さ２の正四角錐。上の頂点Ｏから下ろした垂線の足をＨとし、左下の辺の中点をＭとする。直角三角形ＯＭＡは三角定規の形で、ＯＡ＝２、ＡＭ＝１、ＯＭ＝√３。

直角三角形ＯＭＨにおいて、

（高さ）ＯＨ＝√（ＯＭ²－ＭＨ²）＝√（３－１）＝√２。　　　　

∴ （正四角錐の体積）＝２×２×√２／３＝（４√２）／３

∴（純金ピラミッドの体積）＝{（４√２）／３}×（３３／２）³

　　＝４×３３×３３×３３√２／（３×８）

　　＝１０８９×１１√２／２

　　≒１１９８０×１．４１４／２

　　＝５９９０×１．４１４

　　≒６０００×１．４１

　　＝８４８０（ｃｍ³）

∴（純金ピラミッドの金額）≒８４８０×１４３０００

　　＝１２１２６４００００

　　≒１２００００００００

　　＝１２（億円）　・・・答

途中で適切に近似値を使うのがポイント。面倒な掛け算もなるべく後回し。最後の掛け算は、８５００×１４００００でも十分に正確。左の数を少しだけ大きくして、右の数を少しだけ小さくするのは、実用的な近似方法。

有効数字２ケタということは、大まかな数値が分かればいいのだから、数百分の１レベルの誤差は気にせずに。

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続いて、シロナガスクジラを持ち上げるスーパー金剛力士像の身長を求める問題。

定番のタイプの問題で、条件が細かく親切に与えられてる。不等式は見掛け倒しで、単なる等式で計算すればＯＫ。³√（７５／６７）が出るように、式変形して行く。

スーパー金剛力士像の体重をｘトンとする。まず、ｙ＝２．５ｘを用いて、

１５０＝２．５ｘ　　∴ｘ＝６０

スーパー金剛力士像の身長をｈメートルとすると、

　６０＝（ｈ／８．４）³×６．７

∴ｈ／８．４＝³√（６０／６．７）

　　　　＝³√（６００／６７）

　　　　＝２ ³√（７５／６７）

　　　　＝２×１．０４

　　　　＝２．０８

∴　ｈ＝８．４×２．０８

　　＝１７．４７２

　　≒１７．５（ｍ）　・・・答

相対性理論に従って、光速の半分のスピードで未来に行く問題はまたいずれ。これからまだ夜中に仕事が待ってるので、今日は早くもこの辺で。東大医学部の神脳・河野玄斗、３度目の優勝おめでとう！。。☆彡

ｃｆ．日テレ『頭脳王２０２０』、日本からフランス凱旋門へのキックの時速＆富士山サニブラウンの地球一周時間

『頭脳王２０２０』、太陽がなくなったら地球の温度は何度か＆宇宙の星Ｍ１３へのメッセージ解読（０、１の二進法）

『頭脳王２０２０』、アラビア語解読（世界で一番長い川）＆世界最古のなぞなぞ（くさび形文字）

『頭脳王２０２１』新・謎解き問題（１次予選）、答えの考え方、解き方（ネタバレ控えめ、少しずつ更新）

　　　　　　　　（計　２１４４字）

　　　（追記２３字 ； 合計２１６７字）

１と０のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察～開成中学２０２１年入試、算数・問題３の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載（の）ってました（２１年２月６日）。ＳＡＰＩＸ（サピックス）の全面広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚ＨＰも同様です。

そこで最後の第３問、１と０が書かれたカードゲームの問題だけ解説してみましょう。難しいというより、面倒で間違えやすい問題。

単純そうにも見えるルールですが、審判のカードの扱い方にヒネリが入ってて、少しずつ正確に考える必要があります。１度間違えるだけ、１ヶ所ミスするだけで、最後の答が違って来ます。

ちなみにこのブログでは、過去の開成中や灘中、桜蔭中についても記事を書いてます。下の通りで、他にも算数・数学の記事は多数あります。

　小屋の窓から入る太陽光と展開図～開成中２０２０年入試・算数・問題４の解き方 　

　５人のカードゲームと背理法～開成２０１９入試

　三角形の相似から四角形の面積比へ～１８問題１

　三角形の相似と比の応用～１７入試・算数・問題３

　灘中学校２０２０年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

　３人のゲームトーナメント、変わった時計～桜蔭中１９入試

　円と正方形、１０個重ねて作る図形の面積～桜蔭１８入試

　３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、距離と時間～１６入試

　ランニング（５人のリレー）の距離～１５入試

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問題文が長過ぎるので、コピペで引用させて頂きます。

解答と正解

（１）　全体のカードの様子をまとめると、下図の流れになる。例えば１回目の操作が終わった直後の様子を➀と書く。審判のカードは「審」、スコアスペースのカードは「ス」と書く。

上図の④より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、０１０１。　・・・正答

（２）　（１）と同様に、操作の流れを図にすると、下の通り。

上図の⑥より、最終的に「スコアスペース」に置かれているカードは、０１１０１０。　・・・正答

（３）　Ｂ君が勝ちで得点が６点ということは、全部で６回の操作すべてでスコアカードに１が置かれて、最後に審判に渡されたのは０のカード２枚ということである。Ｂ君の札を左から「あいうえおか」と表して、右端の「か」から順に調べて行く。

上図より、「１」「か」「０」が、「０」「０」「１」になるので、「か」は０。

次に上図より、「お」は１。

さらに上図より、「え」も１。さて、ここまでの前半３回、つまり全体の右半分の操作をまとめると、下のような流れになっている。「えおか」は１１０と書き直してある。

上図から、左半分も同じ流れだと分かる。つまり、「あいう」＝「えおか」＝１１０。後半３回は、下図のようになるはず。

したがって、Ｂ君の手札「あいうえおか」は、１１０１１０。　・・・正答

（４）　（３）の考察より、全６回の操作の半分、３回に注目してみる。Ｂ君の持ち札の半分は、全部で８通り考えられる。

まず、Ｂの半分が１０１の時は、問題文より、下図の通り。スコアスペース（の半分）は１１０。

次に、Ｂの半分が００１の時は、（２）の解答より下図の通り。スコアスペースは０１０。

続いて、Ｂの半分が０１０の時も、（２）の解答より下図の通り。スコアスペースは０１１。

さらに、Ｂの半分が１１０の時は、（３）の解答より下図の通り。スコアスペースは１１１。

Ｂの半分が０１１の時は、下図のように、スコアスペースは１００。

Ｂの半分が０００の時は、下図のように、スコアスペースは００１。

Ｂの半分が１００の時は、下図のように、スコアスペースは１０１。

最後に、Ｂの半分が１１１の時だけは変則的になる。スコアスペースは０００で、審判に最後に渡されるのは１１。

以上、全部で８通りをまとめ直すと、下のようになる。ただし、どれも審判の最初の札は０と仮定してある。

Ｂの半分　０００　００１　０１０　０１１　１００　１０１　１１０　　１１１　　

　スコア　００１　０１０　０１１　１００　１０１　１１０　１１１　　０００（審判１１）

Ｂが１１１の時を除くと、スコアはどれも１点以上。よって、もしＢの札全体のどちらか半分に１１１が入ってないとすると、スコアは合計２点以上になってしまう。よって、Ｂの札全体のどちらか半分には１１１が入っている。

１１１が左半分だけに入っている場合、最後はＡ君の勝ちになってしまうので、１１１は少なくとも右半分には入っている。左半分は全部で８通りで、Ｂの左半分が０００か０１０だと、操作の後半は下の通り。Ｂの勝ち、得点１点となる。

Ｂの札の左半分が上の２つ以外だと、条件に合わない。下図の通り。

以上、まとめると、Ｂの右半分が１１１の時、左半分の変化は下の通り。

Ｂの左半分　０００　００１　０１０　０１１　１００　１０１　　１１０　　　　　１１１　

　スコア　　１点　　２点　　１点　　２点　　２点　　３点　　０点（Ａ勝ち）　１点（Ａ勝ち）

したがって、Ｂ君が勝ちで得点が１点になるのは２通りのみ。

右半分は１１１だったから、持ち札は、０００１１１、または、０１０１１１。　・・・正答

（５）　Ｂ君が勝ちで得点が２点になるのは、Ｂ君の札のどちらか半分に１１１が入っているものだと、（４）の解答より、００１１１１、０１１１１１、１００１１１の３通り。

また、Ｂ君の札の半分に１１１が入ってないものだと、（４）の解答より、得点１点の０００、００１、０１１を左右に組み合わせたものになる。よって、３×３＝９通り。

したがって、Ｂ君が勝ちで得点が２点になるのは、３＋９＝１２（通り）。　・・・正答

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マジメに書くと、このくらい長い記事になります。学習塾や参考書、問題集の解答だと、かなり省くのが普通でしょう。

実際の試験場では、説明が要らないので、全ての場合を正確に計算するだけでも解けます。Ｂの持ち札は６枚で、１か０だから、全部で２×２×２×２×２×２＝６４通りの計算。

それらの内、明らかに問題の条件に合ってないと分かれば、途中で止めればいいので、速い小学生なら１５分～２０分で計算終了。それで（２）～（５）の答は出ます。

何か、もっと上手い方法もあるような気がしますが、今のところ思いつきません。Ｂの札６枚を３枚ずつに分けて考えるのがコツとか攻略法でしょう。ただし、審判の札に注意して。

なお、今週は計１５７２８字で終了。ではまた来週。。☆彡　　　

　　　　　　　（計　３７３４字）

宝くじの当選番号を予言して当てる迷惑メールの仕組み、他～２０２１年・大学入学共通テスト・情報関係基礎

去年のセンター試験で初めて見て、面白いからブログ記事を書いた科目、「情報関係基礎」。数学という教科の一分野という位置づけで、私の関心もかなり数学的なものだ。ちなみに、去年の記事は下の通り。

　ひらがな情報の符号化・暗号化（エンコード）、データ量の圧縮～２０年センター試験・情報関係基礎

「基礎」と言いつつ、基礎ではない「情報関係」という科目はないし、「関係」という言葉も逆にボヤけて分かりにくくなってると感じる。

まあでも、多数の考えや関係者の妥協の産物なんだろう。例えば、「情報基礎」だと意味が広すぎるとか、「情報処理」だと狭すぎるとか♪

それはさておき、初めての「大学入学共通テスト」の情報関係基礎。去年より簡単になったような気がしたけど、平均点は６８点から６１点へと、１割も低下。受験生の中身が変わったのか、あるいは、私がこの教科に関して素人だということか♪

とにかく、問題前半の注目の設問だけ、軽い解説＆感想記事にまとめとこう。問題・正解のｐｄｆファイルは、いつものように河合塾ＨＰより。どうして大学入試センターの公式サイトに問題を載せずに、予備校やマスメディア経由で情報を流すのか、前から意味不明。

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設問が目新しくて面白かったのは、宝くじ当選予言問題だけど、それだけだと１本のブログ記事としては内容が少な過ぎるので、先に他の問題もトッピングしとこう。この世界では普通の基礎的内容だろうけど、個人的には初めて、問題として解いた。

第１問（必答問題）、問１・ａ

　数字（０～９）と、アルファベットの大文字（Ａ～Ｚ）、小文字（ａ～ｚ）の計６２種類の文字をすべて区別して符号化するためには、１文字あたり少なくとも　[　ア　]　ビット必要である。

解答　

　（２の５乗）＝３２ ≦ ６２ ≦ ６４＝（２の６乗）

よって、１文字あたり少なくとも、２の６乗通りの情報を扱うので、６ビット必要。　・・・アの答

（解説＆感想）

単純に考えると、２進数の００００００から１１１１１１まで、６４コを区別して、１文字を表せばよい。６４－６２＝２だから、２コ余る計算になる。

コンピューター関連の発祥地である英語圏にとって、英数１文字あたり６ビットが基本なのに、なぜ８ビットを１バイトに決めたのか？　不思議だったから、ネット検索してみた。

上の６２種類の文字以外に、よく使う記号が３０種類ほどあるから、合計で約９２種類。ということは、７ビット（２の７乗通り＝１２８通りの情報）必要だけど、７は奇数で扱いにくいから、８ビットにしたというお話。

東洋英和女学院大学、酒井郷平・助教のｐｄｆファイルより。専門は「教育工学」とのこと。まさに分離融合、初耳の学問名。

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問１・ｂ

　２４ビットフルカラーで８００×６００ピクセルの画像１枚のデータ量は、圧縮をしない場合　[イウエオ]　ｋＢとなる。なお、１ｋＢは１０００Ｂである。

　また、この条件の画像を用い、３０ｆｐｓ（frames per second）で１分間の動画を作った時のデータ量は、同じく圧縮をしない場合　[イウエオ]　ｋＢの　[カキクケ]　倍になる。

解答

　１Ｂ（バイト）＝８ビットだから、

　（この画像１枚のデータ量）

　＝２４×８００×６００　（ビット）

　＝２４×１００×６００　（Ｂ）

　＝２４×６０　（ｋＢ）

　＝１４４０　（ｋＢ）　・・・イウエオの答

　（１分間＝６０秒の動画のデータ量）

　＝（３０×６０枚の画像のデータ量）

　＝（１枚の画像のデータ量）×１８００　・・・カキクケの答

（感想）　昔、この種の計算を実際にやって、画像や動画のデータ量と比べたけど、ほとんど合ってなかったから止めた覚えがある。まあ、デジタル超初心者だったから、色々と誤解や間違いもあったのかも。

試しに今、４００×４００ピクセルのビットマップ画像を作ってみると、４６８ＫＢだった。

１ＫＢ＝１０２４Ｂで計算すると、

２４×４００×４００÷８÷１０２４＝４６８．７５（ＫＢ）

この小数点以下を切り捨てにしてるわけか？　いや、プロパティで調べると、元のバイト数は４８００５４バイトになってる。この細かい５４バイトは何？

「ディスク上のサイズ　４７２ＫＢ（４８３３２８バイト）」も意味不明。やっぱり、昔の挫折は自然なことだった♪　今後の研究課題としとこう。

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実は理論的に一番興味深かったのは、問２のギザギザ画像の説明。

ラスタ（ビットマップ）形式の画像でジャギー（ギザギザ）が出来るのは、画像を「画素（点）の集まりとして」表現するため（ソの答）。一方、ベクタ（ベクトル）形式の画像でギザギザが出来ないのは、「座標や数式を使って」表現するため（タの答）。

これは、調べてみたけど、まだあまり納得できてない。点の集まりでも、数（密度）や視力によってはギザギザにならないし、逆に、座標や数式を使ってもギザギザになることはあり得る。公表された正解は、説明としてかなり弱い。

私がいま考える正解だと、ギザギザが出来る理由は、「画像の斜めの線を、格子状に縦横に並ぶ画素で表現する時、対応する画素が少ないと斜めに隣り合う画素の縦横の段差が大きくなって、目で見えてしまうこともあるから」。

これだと長過ぎて、テストにもクイズ番組にも使えない♪　雑誌や新聞のパズルでも無理。まあ、このギザギザ＆ベクタ形式画像問題も、今後の研究課題ということで。ＭａｃのＰＣを買って、デザインやイラストの勉強をしろということかも。

いや、単にＭａｃが欲しいもんで♪　アップル独自のＣＰＵ搭載のｉＭａｃがいずれ発売されたら、本当に買うかも。とにかく、最後は宝くじ問題。

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問３（省略形　前半）　宝くじの６等の当選番号（末尾のケタ）を予言するメールが届いて、本当に当たった。なぜか？　また、５等の下２ケタの予言も当たってた。合理的な理由は？

解答　６等の番号の可能性は１０通りだから、予言メールを最低限１０人に送っていればよい（ツの答）。それぞれ０～９と予言しておけば、誰か１人が必ず当たる。

同じように、５等の番号の可能性は１００通りだから、これも最低限１００人に送っていればよい（テの答）。それぞれ、００～９９と予言しておけば、誰か１人が当たる。

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問３（省略形　後半）　６等と５等と、２回連続で当たるようにするには、少なくとも何人に予言メールを送ればよいか？

解答　　まず、６等の予言メールを少なくとも１０００人に送ればよい（トの答）。０番から９番まで、それぞれ１００人に送ると、合計１０００人。

この内、６等が当たるのは１００人だから、今度はその１００人に、それぞれ００番から９９番まで予言するメールを送れば、誰か１人は６等、５等と連続で当たることになる。

（解説＆感想）

結局、メールは少なくとも合計１１００通、送信することになる。１０００通＋１００通。

最初から、６等の番号と５等の番号を順に合わせて３ケタの番号でまとめて予言しておくと、０００～９９９まで１０００通で済むけど、受け取った人のインパクトがいま一つになる。だから２回に分けて、「当たった」「また当たった！　凄い・・」と感激させる手口。

実際に、誰かをだまして金儲けしようと思ったら、連続当選者の中で引っかかる被害者（ジョンとか♪）が１０００人に１人とすると、１１００×１０００＝１１０万通のメールが必要。もちろん、人力で送ると赤字だろうし間違えてしまうから、機械頼み。

ただ、１１０万通は多過ぎるから、実際の被害者は１００人に１人くらいなのかも。それなら、１１００×１００＝１１万通で済む。機械的にやれば何とかなるかも。

実際、ニュースを見てると、もっと悪質な詐欺ようなものに引っかかってる人は大勢いるらしい。オレオレ詐欺とか、母さん助けて詐欺とか、振り込め詐欺の類もいまだに大勢引っかかってるのが現実。太郎みたいな理屈屋も案外、危ないかも。他人事ではないけど。。

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ちなみに、私の所にも宝くじの当選番号を予測するとかいう商業メールが、ソースネクストから送られて来てる。

今まで全く無視してたけど、いま試しに一つ開いて、リンクをクリックすると、単なる統計理論の応用らしい。

まあ、数字の理屈のお遊びみたいなものであって、それで儲かった人は天文学的に少ないはず。ソフトやアプリ、セミナーや「ウェビナー」に払った費用を上回る儲けは難しい。

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とはいえ、当たった！と思う人もいるだろうから、「この種のものが無くなることは今後もない」。この予言は１００％当たる♪　少なくとも、ハズレを確信できることはない。

そもそも、この予言は、いつまで経ってもハズレたと実証することができないのだ。最近あまり見かけないだけだとか、いくらでも言い訳可能だから。

なお、今週は計１４９１４字で終了。ではまた来週。。☆彡

　　　　　　　（計　３５８０字）

陸上１００ｍ走のタイム（時間）とストライド（歩幅）、ピッチ（歩数）の関係～２０２１年・大学入学共通テスト・数学ⅠＡ・第２問〔１〕

今年はコロナのせいで例年より忙しくて、丸２日遅れになってしまったけど、一応、センター試験・・じゃなくて大学入学共通テストの数学の記事を書いとこう。

とにかく今、時間が無いので、小問１つだけ。数学好きの市民ランナーで、元・陸上部としてはやはり、ランニングの最適化理論に目が留まる。まあ、机上の空論かも知れないけど♪

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自分で走ってみればすぐ分かるように、ストライド（歩幅）とピッチ（歩数）の関係は微妙で、特に本気で走る時は、そう簡単に最高の組合せにできるものではない。

ストライドを伸ばすと、足腰への負荷が大きくなって、ダメージがやがて故障につながる。足の裏、足首、ふくらはぎ、膝、太腿、腰。

逆にピッチを上げると、心肺に負荷がかかってなかなか続かないし、ストライドが予想以上に縮んでしまう。ストライドにせよ、ピッチにせよ、意図的に変化させるとどうしても走りのバランスが崩れがちになる。

自転車のギア選択と足の回転数の関係と少し似てるけど、陸上の方が足腰への負荷が高いのは間違いない。というわけで、今回のテストの問題は、陸上競技の現実とはかなり違ってるのだ。

では、例によって河合塾で数学Ⅰ・Ａの問題を頂いて、解説してみよう。必答問題の第２問、〔１〕。

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解答（１）　（平均速度：１秒あたりの進む距離）

　　　＝（１秒あたりの歩数）×（１歩あたりの進む距離）

　　　＝　（ピッチ）×（ストライド）

　　　＝　ｘｚ　・・・②（アの答）

（感想・解説）　文章の誘導に従って式を書くと、ｚｘになるはずだけど、選択肢ではｘｚ。細かい話だけど、これはｘとｚの定義が逆順だから起きてることで、意図的にせよ偶然にせよ、問題作成としてはビミョーな所。まあ、最初にストライドから話を書き始めてるし、ストライドの方が簡単（単なる長さ）だから、ストライドをｘにしたんだろう。

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　（２）　ストライドｘが０．０５大きくなると、ピッチｚが０．１小さくなるので、ｚをｘで表す１次関数の傾きは、

－０．１÷０．０５＝－２

　また、この関数は点（ｘ，ｚ）＝（２．１０，４．６０）を通るから、

　ｚ＝－２（ｘ－２．１０）＋４．６０

　　＝－２ｘ＋８．８

　　＝－２ｘ＋４４／５　・・・②　（イウエオの答）

ピッチｚが最大値４．８の時、

　４．８＝－２ｘ＋８．８

　∴　ｘ＝２．００

　∴　２．００ ≦ ｘ ≦ ２．４０　・・・（カキクの答）

（感想・解説）　小数と分数が混ざってるし、小数第２位まで無理やり書くので、ちょっとやりにくい。参考のためのグラフも書きにくい。これは適度なヒネリで、いいと思う。

どうして小数第２位まで考えてるかというと、本来ならストライドは身長と同じく、ｃｍ単位で測る。ところがそれだと３ケタの大きな整数になってしまうし、１００ｍという距離と単位が変わってしまうので、ストライドをｍ単位で小数第２位までにして、ピッチと合わせてるわけだ。

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ｙ＝ｘｚとおいて、②のｚ＝－２ｘ＋８．８を代入すると、

ｙ＝ｘ（－２ｘ＋８．８）

　＝－２ｘ²＋８．８ｘ

　＝－２（ｘ－２．２）²＋９．６８

２．２はｘの範囲に入っているので、

ｙの最大値を与えるｘは、２．２０　・・・（ケコサの答）

この時、（ピッチ）ｚ＝－２×２．２＋８．８

　　　　　　　　　　＝４．４０　・・・（シスセの答）

さらに、①式より、

（タイム）＝１００／ｘｚ

　　　　　＝１００／（２．２×４．４）

　　　　　＝１００／９．６８

　　　　　＝５０００／４８４

　　　　　＝１２５０／１２１

　　　　　＝１０．３３０・・・

よって、タイムの値は、選択肢③。　・・・（ソの答）

（感想・解説）　最後がかなりキレイな小数第２位までのタイムになってて、しかも現実的なトップクラスのタイムになってる辺りは、流石に上手い問題作成。たぶん、何度も作り直したはず♪　９秒台だと、まだ日本人は滅多に出せないし、１１秒台だと遅すぎて、最速タイムとしてピンと来ない。

こんな速いタイム、ほとんどの人は出せないけど、メディアで報道されてる１００ｍ走の値はこのくらいが圧倒的に多い。多くの受験生にとって、わりと馴染んでる数字だろう。

理論的には簡単な１次関数と２次関数の問題だけど、小数・分数も、文章の長さもちょっと面倒だから、難易度も適度。全体的に良問だと思う。

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なお、河合塾の分析では、「問題文が長く、初めて見る用語や関係式に対応して上手に立式できるかがポイント」とのこと。そうか。ストライドとかピッチは「初めて見る用語」なわけか♪

ちなみに当サイトのランニングの記事でそうした言葉を使う時には、基本的に「ストライド（歩幅）」、「ピッチ（歩数）」と書いてる。どうも、適切な執筆方法らしい♪　もちろん、「１歩あたりの」とか「１秒あたりの」という言葉はフツー、省略するわけだ。

数学Ⅰ・Ａ全体の平均点予想は、難しかった去年よりは６点も上がってるけど、５８点だから、低めになって。さて、実際はどうか。

ともあれ、受験生の皆さん、コロナで大変な中、どうもお疲れさま♪　ではまた。。☆彡

　　　　　　　　（計　２０５１字）

パズル「絵むすび」１７、線を書かずに頭の中だけでイメージする解き方（難易度３、ニコリ作、朝日ｂｅ）

線で、同じ絵を結ぶだけ。楽しみながら頭のトレーニングができるパズル「絵むすび」について、これまで１６本の記事を書いて来ました（本当は他にも少しあります）。どれも朝日新聞に出てた問題です。

５本は小学生向けです。新しい順に、絵むすびの解き方１６（２０年７月４日）。解き方１５（２０年３月２１日）。解き方１３（１８年５月１９日）。解き方１２（１７年５月２日）。解き方１１（１６年５月２１日） 。

最初からの１０本と、３回前の１本は、大人向けです。第１回、２回、３回、４回、５回、６回、７回、８回、９回、１０回、１４回（１９年４月２１日）。

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５ヶ月ぶりに絵むすびを扱う今日は、大人でも子どもでも読みやすいように書いてみます。ただし、内容はそれほどカンタンではありません。初めてのパターン。

手で線を引かずに、頭の中だけで絵むすびを解く方法について、考え方、コツ、攻略（こうりゃく）法みたいなものを書きます。最近はもう、朝日ｂｅの絵むすびや「推理」、クロスワードパズルは手を使わずに解くようにしてます。

その下の詰将棋も含めて、完全な脳トレ。頭の中にイメージする能力（＝脳力）と、途中までの考えを記憶する能力が鍛えられます。

２０年１２月１９日の問題は、難易度（なんいど）☆３つ。簡単な問題ですが、ウチの昔の記事へのアクセスはかなり沢山、入ってます。元の画像は、小さく引用しときます。

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今回の問題は、６つの絵がどれも「り」で始まるものでした。流星（上図では黄色の「流」）、リボン（上図ではピンクの「リボ」）、クリスマスのリース（緑の「リー」）、リンゴ（赤の「リン」）、リヤカー（茶色の「リヤ」）、リュック（水色の「リュ」）。

ルールはいつもと同じ。すべてのマス目を１回だけ線が通るように、絵を結びます。線の交差（クロス）や枝分かれ、絵の突き抜けはダメ。応募（おうぼ）用のポイントは、☆印をどの線が通るかだけど、解く時に星印は気にしなくていいです。

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いつものように、まず大きくはなれた２組だけに注目しましょう。特に、角（かど、すみ）とか、端（はし）にあるものをえらぶと分かりやすいです。

今回だと、まずリボンの線とリースの線だけに注目するのがいいでしょう。大まかな線の流れを頭の中でイメージして考えます。

リースの線が、リボンの間を通ると、そのリースの線の右下あたりにあるリボン、リュック、リンゴ、リヤカーの線を左上に引いて行くことができません。図の下側が一段しか空いてないからです。

だから、リースの線は、リボンの間を通ることはできなくて、右下の隅（すみ）を通るはず。すると、リースの線は大きく見て、カギカッコ（ 」 ）みたいな形になります。下の線は長めで。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

すると、リヤカーを結ぶ線は、左下の隅を通ってグルッと半円形に回る形になります。極端に書くと、「⊂」みたいな感じ。まだ２本目の線だから、イメージしやすいと思います。

では、この後、どう考えればいいでしょうか。いつものように、少しずつ更新（こうしん）して行きます。次の更新は今日（１２月２０日・日曜）の夜にします。ではまた。。

・・・・・・はい。夜になったので、最初の更新です。あらためて、問題の図を見てみましょう。線は書きません。

　　　

緑のリースの線は、右下を通過する形でほぼ決まり。茶色のリヤカーの線は、左にグルッと大回りする形でイメージできてます。

次に分かるのは、水色のリュックの線。これは、下側にはリースの線があるし、上側にはリヤカーの線があって、はさまれてるのです。だから、狭（せま）い場所の短い線になります。カギカッコ（ 「 ）の上を長くしたようなイメージ。

これでもう、右端と下側の部分はほぼ分かりました。右端には緑のリースの線。下側の部分には、上から、茶色のリヤカーの線（上半分）、水色のリュックの線、茶色のリヤカーの線（下半分）と並んでます。ぼんやり頭の中に浮かぶでしょう。

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この後は、赤いリンゴの線が分かりやすいでしょう。次の更新（こうしん）は明日、月曜の夜です。なお、今週は計１４３３７字で終了。ではまた来週。。☆彡

・・・・・・月曜の夜になったので、また更新します。もう、３本の線がイメージされてるので、残りの場所はせまいハンイに限られてます。

だから、例えば右上のリースのマスの左横を通過する線は、リンゴだろうと分かります。もしリボンの線がそこを通るのなら、リンゴの線が引けなくなってしまいます。流星の線がそこを通るとすると、不自然すぎるし、実際ムリです。

というわけで、リンゴの線もほぼ分かりました。上側を大回りしてるのです。後はもうカンタンでしょう。最後の更新は、土曜日（１２月２６日）に正解が発表された後にします。ではまた。。

（☆年末年始はｂｅがお休みだったので、最後は年明けに更新します。）

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ようやく１月９日に正解が発表されたので、最後の更新にします。といっても、間が空き過ぎたし、ほとんどアクセスが入らなくなってるので、もう最後はごく簡単に。

既に、リースの線、リヤカーの線、リュックの線、リンゴの線の引き方は大まかに決まってるので、残った狭い場所で流星の線とリボンの線を引くだけです。最後だけは図を示しておきましょう。

それでは、この辺で。。☆彡

　　　　　（計　１７３２字）

　（追記４６７字 ； 合計２１９９字）

パズル「ナンスケ」の解き方、考え方７～難易度４、ニコリ作、朝日新聞ｂｅ

朝日新聞・土曜の別刷ｂｅで、昨日（２０年１１月１４日）また、「ナンスケ」というパズルが出ました。制作はニコリです。難易度は４（☆４コ）で、苦戦してる人も多いようです。

ナンスケ（ナンバースケルトン）とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。最初は、やり方が分からなくて考え込むでしょう。

このサイトでは今まで６回、解き方や考え方、コツみたいなものを解説しています。

１９年５月１１日の問題の記事（難易度２）、６月２９日（難易度２）、９月７日（難易度３）、１０月２６日（難易度４）、２０年４月４日（難易度４）、７月１８日（難易度３、小学生向けの記事）。

すべて、リンクを付けてるので、クリックとかタップで参考にしてください。

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今回は、上図の問題。著作権に配慮して、新聞発表の翌日まで待った後、小さく引用してます。図の全体が、中心に関して点対称なので、見た目がキレイです。赤いマス目の数の和（足し算）が、懸賞応募用の答。

上の大きな図は、元と同じですが、私がＰＣとアプリで自作したものです。マス目に入れるのは、次の２２コの数。個数が多いし、すべて１、２、５、７で出来てる数だから、迷うでしょう。過去、一番むずかしい問題かも知れません。

（３ケタ）１１５，１５７，１７１，１７７，２２２，２５２，５１７，５５５，７１５，７５１，７７２，７７７

（４ケタ）１７２２，５１２２，５７２２，７７２２

（５ケタ）１７１１７，１７７５１，２１２１５，２２２５７，２５５７１，７７１５７

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最初は、４ケタの数がすべて、後ろの２つが「２２」となってることに注目して、それらを記入。入れる数の共通点を見抜くのは、ナンスケの大きなポイントです。

さらに、下側の横の５ケタのマス目を見ると、左から３番目が２なので、左端は２のはず。候補は、２１２１５か、２２２５７しかないので。

個人の性格や問題の難易度にもよりますが、私の場合、まだハッキリしてないマス目は空欄のまま残してます。別の人気パズル「数独」や「絵むすび」、「推理」を解く時でも同様。論理的に考えて確実に分かることだけを記入していく。

ただ、例えば下側の横の５ケタに２１２１５か２２２５７のどちらかを書きたい人は、それでもいいと思います。後で失敗に気付いたら、消してやり直せばＯＫです。

この後は、左下か右下が分かりやすいでしょう。なるべくネタバレを少なくするため、いつものように、少しずつ記事を更新。次は今日（１５日・日曜）の夜に続きを少し書きます。ではまた後ほど。。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

では、夜になったので、最初の更新です。

左下、縦の３ケタは、真ん中が２だから、２２２。すると、左下の横の３ケタは、最後が２で終わってるので、２５２か７７２のはず。

ところが、もし２５２だと、２で始まる数がもう残ってないので、左下の隅に入る数が無くなってしまいます。だから、左下の横の３ケタは、７７２です。

一方、右下を見ると、縦の５ケタの上から２番目が２だから、２２２５７しかありません。

この後は、右下を続けるのがカンタンでしょう。次は明日（１６日・月曜）の夜、更新します。なお、今週は計１６２２９字で終了。ではまた来週。。☆彡

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

では、月曜の夜になったので、２回目の更新です。

右側の横の３ケタは、２で始まってるので、もう２５２しかありません。下側の横の５ケタは、「２？２？５」と並んでるから、２１２１５に決まります。

この後、右下を完成するのは簡単でしょう。その次がちょっと考え所。５ケタの数が３つ残ることになりますが、それら３つの共通点があるので、それを上の方に書き込むと上側が攻略できます。

応募の締め切り前、最後の更新は明日（火曜）の夜にします。ではまた。。

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

火曜の夜２２時を過ぎました。締め切り前の最後の更新です。普通、火曜日になるとアクセスはほとんど無くなりますが、今回はまだそこそこ入ってます。やはり、難易度４にしては難しめだったのでしょう。難易度４．２くらいかも♪

右下の縦の５ケタは、２で始まるので、２５５７１。右下の横の３ケタは、７５１です。この後がポイント。

残る５ケタは、１７１１７、１７７５１、７７１５７だから、どれも２番目の数は７です。すると、左上の少し右寄りにある、縦の５ケタも、２番目の数は７のはず。だから、そこから始まる横の７ケタは、７７１５７です。

この後は、上側から考えるといいでしょう。ただ、適当に書き込んでると間違えてしまいます。最後まで注意して。次の更新はもう、正解発表の後。それでは。。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

２０年１１月２１日、正解が発表されたので、最後の更新をします。

まず左上。残る５ケタはどちらも先頭が「１７・・・」となってるので、横の７７１５７の左上は１のはず。すると、左上の横の３ケタは、１で終わってるので、１７１と書けます。中央の上、縦の４ケタは５１２２のはず。　　

左上に縦の５ケタが２個あります。もし、左が１７１１７なら、すぐ下の横の３ケタは７５１となってしまって、既に使った数字になります。だから、左が１７７５１、右が１７１１７。　

上側の横の４ケタは、１７２２しかありません。すると、下側の横の４ケタは５７２２、縦の４ケタは７７２２に決まります。だから、２重枠の数字の１つは、５です。

左側の中央、横の３ケタは、もし１７７だとすると、すぐ下の縦の３ケタが７７７となって、右上の縦の３ケタ（真ん中が７）が書けなくなってしまいます。

だから、１７７５１と１７１１７のすぐ下、横の３ケタは、１５７。その下の縦の３ケタは５１７です。二重枠の数字のもう１つは、１。よって、応募用の答は、５＋１＝７です。

すると、もし右上の縦の３ケタが７７７なら、その下の横の３ケタと左下隅の縦の３ケタに入れる数に困ります。７で始まる数が足りなくなるからです。

だから、右上の縦の３ケタは１７７。その下の横の３ケタが、もし７７７なら、すぐ下の縦の３ケタと左下隅の縦の３ケタに入れる数に困ります。

よって、右上の横の３ケタは７１５で、左下の縦の３ケタは７７７。この辺り、最後まで論理的にビミョーな問題で、注意しないと間違えるでしょう。

その後はもう、右上に１１５と書き込んで、一番最後が右上の５５５。ようやく終わりました。それでは、この辺で。。☆彡

　　　　　　（暫定字数　１３９１字）

　　（追記１２５３字 ； 合計２６４４字）

戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題２～代数、昭和１１年（１９３６年）

クイズ番組を中心に、不思議なほどの東大ブームが続く令和の今、先日に続いて、戦前の東大（第一高等学校）の数学の入試問題を紹介しよう。昭和１１年、１９３６年の入学試験での出題で、前回の幾何（図形）に続いて、今回は代数。整数の２元２次・連立方程式。

わりと大きくて重そうな弾丸を人力で運ぶ問題だから、現在だと出題しにくいはず。兵隊とか軍隊、戦地とまでは書いてないけど、戦前ならではの実用的な整数問題だ。

数十年、数百年前の資料を、一般人が手軽にネットで見れるようになってから、まだ１０年～２０年くらいか。言葉の問題もあって、せっかく無料公開されてる資料はまだまだ利用されてないどころか、閲覧が全く追いつかないほど次々に情報公開されてる。

お金も手間ひまもかかってる作業だから、少しずつでも利用して行きたい。使わないままだと、デジタル化の勢いも失われてしまうはず。

なお、１本目の記事は次の通り。

　戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題～幾何、昭和１１年（１９３６年）

出典は同じで、『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解　昭和１１年度』、欧文社（今の旺文社） 。国立国会図書館デジタルコレクションにて公開中。あえて、画像処理でキレイに修正することは避け、元の古めかしい画像のままで引用。

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

６．　弾丸若干個を人夫若干名にて某地へ運ぶに各人各回同数ヅツ運び往復９回を要するものとす。もし人数を７名増し各人毎回の運搬数を２０個減ずれば８回にて了るべく、又人数を４名減じ各人毎回の運搬数を１０個増せば１０回を要すべしといふ。人夫の数及び弾丸の数を問ふ。

（現在の日本語に直した問題文）　いくつかの弾丸を、何人かで、ある地点まで運ぶ。各人が各回、ある一定の数を運ぶなら、往復９回かかる。もし人数を７名増し、各人の毎回の運搬数を２０個減らすと、８回で終わる。また、もし人数を４名減らして、各人の毎回の運搬数を１０個増すと、１０回を要する。もとの人数と、弾丸の総数を求めよ。

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

解答　（私が作成）

もとの人数をｘ人、もとの１人１回あたりの運搬数をｙコとすると、ｘは４以上の整数、ｙは２０以上の整数で、条件より、

　９ｘｙ＝８（ｘ＋７）（ｙ－２０）

　９ｘｙ＝１０（ｘ－４）（ｙ＋１０）

∴　ｘｙ＋１６０ｘ－５６ｙ＋１１２０＝０　・・・①

　ｘｙ＋１００ｘ－４０ｙ－４００＝０　・・・②

①－②：　６０ｘ－１６ｙ＋１５２０＝０

　∴　１５ｘ－４ｙ＋３８０＝０　・・・③

不定方程式③を満たす１組の解として、（ｘ，ｙ）＝（４，１１０）がすぐ見つかるので、

　１５×４－４×１１０＋３８０＝０　・・・④

③－④：　１５（ｘ－４）－４（ｙ－１１０）＝０

　∴　１５（ｘ－４）＝４（ｙ－１１０）　・・・⑤

もとの条件である①かつ②は、②かつ③と同値（つまり必要十分）であり、③と⑤は論理的に同等の数式。

結局、条件式は、②かつ⑤と考えてよい。ただし、ｘは４以上の整数、ｙは２０以上の整数。

⑤の右辺は４の倍数だから、左辺も４の倍数。よって、ｘは４の倍数のはず。そこで、⑤にｘ＝４，８，１２，・・・を代入してｙを求め、そのｘとｙで②が成立するかどうかを調べる。

　ｘ＝４，ｙ＝１１０　　　②は不成立

　ｘ＝８，ｙ＝１２５　　　　不成立

ｘ＝１２，ｙ＝１４０　　　　不成立

ｘ＝１６，ｙ＝１５５　　　　不成立

ｘ＝２０，ｙ＝１７０　　　　不成立

ｘ＝２４，ｙ＝１８５　　　　不成立

ｘ＝２８，ｙ＝２００　　　　成立

（28×200＋100×28－40×200－400＝０）

ｘ＝３２，ｙ＝２１５　　　　不成立

ｘ＝３６，ｙ＝２３０　　　　不成立

ここで、②を変形すると、（ｘ－４０）（ｙ＋１００）＝－３６００

両辺の符号はマイナスだから、ｘ－４０＜０　　∴　ｘ＜４０

よって、ｘ≧４０の場合はすべて不適で、これ以上、代入して調べる必要はない。

したがって、ｘ＝２８，ｙ＝２００であり、

もとの人夫は２８人。　・・・（答）

また、弾丸の総数は、

９ｘｙ＝９×２８×２００

　　＝５０４００個。　・・・（答）

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

現在だと、この種の問題の条件は不等式のことも多いけど、ここでは等式になっている。２変数で等式２本の整数問題（連立方程式）だから、簡単そうにも見えるけど、弾丸の個数が多いので意外と面倒。

その点を考えると、本の模範解答（下図）のように、代入法で１文字消去した方が良いかも知れない。ただ、私としては、現在の不定方程式の解き方を応用する方法を選択した。整数問題では、因数分解や、具体的な数の代入が有効なことが多いので。「研究」と名付けられた解説を読むと、計算練習や計算能力の大切さが強調されてた。

なお、上図で、「（３）ニ代入」が「（３）代入」と書いてあったり、「２８」が「３」に見えたり、「５０４００」が「５０　００」に見えたりしているので、念のため。

負（マイナス）の数のことを「原数」と書いてるのは、おそらく「減数」の誤植だと思うけど、この言葉を検索してもなかなかヒットしない。古すぎる言葉だからか、あるいは、この解答作成者の独自の言葉づかいなのかも。

以前の海軍兵学校の問題も含めて、１００年前の受験生たちも優秀だったことが実感できたし、数学の基本は不変だとあらためて確認できた。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２１４２字）

戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題～幾何、昭和１１年（１９３６年）

先日（２０年９月２６日）、久々にＮＨＫ『ニュース７』を見てたら、終了後に『たけしのその時カメラは回っていた』という番組がスタート。初めてだから、そのまま消さずに流し見してると、既に戦前から、東京大学などの受験戦争は激しかったと説明してた。

早速、国立国会図書館デジタルコレクションで当時の受験雑誌を探したものの、公開されてるものがなかなか見当たらない。そこで代わりに、試験問題を探すと、解答どころか解説までついてる詳しい問題集（または参考書）を発見できた。

『高等学校・専門学校・大学予科入学試験問題詳解　昭和１１年度』、欧文社（今の旺文社）。指導部編ということは、専属の先生みたいな社員がいたのかも。附録として、競争率の一覧表まで付いてて、本格的な受験参考書だ。東京大学（当時は旧制・第一高等学校） は文系も理系も１０倍近い倍率の難関。採用予定数は、文理ともに僅か１５０人。

今日は時間が無いけど、興味深かったから、東大（第一高等学校）入試問題の数学を１問だけ紹介しとこう。全６問中の第１問。幾何だから、今なら上位の高校の入試問題みたいなものか。

試験時間は３時間だから、完答しても１問３０分ある。当時の合格ラインは不明だけど、問題自体は今より簡単で、解答も長くはないから、トップクラスの受験生なら完答できたと思う。

　　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

１．　位置および大きさが与えられたる角ＸＯＹの辺ＯＸ、ＯＹの上にそれぞれ点Ａ、Ｂをとり三角形ＡＯＢの周の長さを定長Ｌに等しからしむるときは、辺ＡＢは一定円に切することを証明せよ。　（引用者による注．切する＝接する）

解答　（私が作成。図は、本の解答のものを修正して利用。）

上図のように、∠ＸＡＢの二等分線と、角ＹＢＡの二等分線との交点を、点Ｐとする。また、点ＰからＯＸ、ＡＢ、ＯＹに下ろした垂線の足をそれぞれ、点Ｅ、点Ｈ、点Ｆとする。

１辺２角が等しい直角三角形なので、△ＰＡＥ≡△ＰＡＨ　　

　∴　ＰＥ＝ＰＨ・・・①　　　ＡＥ＝ＡＨ・・・②

同様に、△ＰＢＦ≡ＰＢＨ

　∴　ＰＦ＝ＰＨ・・・③　　　ＢＦ＝ＢＨ・・・④

①③より、ＰＥ＝ＰＨ＝ＰＦ。よって、中心Ｐ、半径の長さＰＥの円（以下、円Ｐと呼ぶ）は、ＯＡ、ＡＢ、ＯＢと接して、接点はそれぞれＥ、Ｈ、Ｆ。

また、Ｌ＝ＯＡ＋ＡＢ＋ＯＢ　　（∵　仮定）

　　　　＝ＯＡ＋ＡＨ＋ＢＨ＋ＯＢ

　　　　＝ＯＡ＋ＡＥ＋ＢＦ＋ＯＢ　（∵　②④）

　　　　＝ＯＥ＋ＯＦ

ここで、ＯＥとＯＦは、点Ｏから円Ｐに引いた２つの接線だから、長さは等しい。

∴　ＯＥ＝ＯＦ＝Ｌ／２

したがって、点Ａ、Ｂの位置に関わらず、接点Ｅ、Ｆは点ＯからＬ／２の距離の定位置にあり、円Ｐの中心と半径ＰＥも一定となる。

以上より、辺ＡＢは一定円（上の円Ｐ）に接する。

　　　　　　　　　（証明終了）

　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

三角形の「傍心」と「傍接円」の問題だから、私は２つの外角の二等分線の交点から解いた。

本の解説では、１つの外角の二等分線と角ＸＯＹの二等分線との交点から解いてる。

私は、純粋な論理を重視。本は、この種の問題を解く時の常套手段を重視したということか。

ちなみに本の解答は、点Ｏが２つあるし、他にも間違い（または活字の誤植）がある。軽い実力試しのクイズとして、どうぞ♪　時間が無いので、今日はあっさりこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　戦前の東京大学（旧制・第一高等学校）の数学の入試問題２～代数、昭和１１年（１９３６年）

　海軍兵学校の数学試験（算術）～明治３６年度（１９０３年）の問題と解説・解答

　　　　　　（計　１３９０字）

　　　（追記４３字 ； 合計１４３３字）

パズル「ナンスケ」のとき方６～小学生むけ（星３つのむずかしさ、あさひしんぶん）

「ナンスケ」というパズルの解き方（ときかた）について、今まで、５本の記事（きじ）を書（か）いて来ました。今日（きょう）は、子どもむけにやさしく書いてみます。

「ナンスケ」は、ナンバーのスケルトン。数（かず）の骨（ほね）ぐみ、ということです。縦（たて）と横（よこ）に、いろんな数をつなぎます。数は、上から下か、左から右へと書きます。

問題（もんだい）の図（ず）からわかるのは、数のケタと、つなぎ方だけ。どこに何の数を入れるか、自分（じぶん）で考えます。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

ここでは、２０２０年７月１８日（土曜・どよう）の朝日新聞（あさひしんぶん）の朝刊（ちょうかん）ｂｅ（ビー）のパズルを考（かんが）えてみましょう。

ニコリが作（つく）ったもので、難易度（なんいど、むずかしさ）は、☆☆☆。星（ほし）３つだから、フツーです。

今までの説明（せつめい）は、下の５本。小学５年生以上なら、読（よ）めると思います。リンクをつけてるので、クリックとかタップしてみてください。

　１９年５月１１日の記事、６月２９日の記事、９月７日の記事、１０月２６日の記事。２０年４月５日の記事。

（☆その後、２０年１１月１４日の問題の記事もアップしました。）

　　　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

上のマス目に入れるのは、次（つぎ）の１８コの数です。

（３ケタ）２９２，　２９８，　５９５，　８９２，　９９５，　９９９

（４ケタ）１２１５，　１８１２，　１８１８，　９９９８

（５ケタ）１２８２８，　２５８２２，　２９２２９，　５２８８５，　５８８５５，　８５５５２，　８８１５５，　９５５８８

プレゼント用（よう）の答（こたえ）は 、赤（あか）い枠（わく）の２つの数の合計（ごうけい）です。たし算（ざん）するだけ。最後（さいご）まで、わかりません。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

まず、すべての数をジッと見て、同じになってることを探（さが）すのがコツ。よく見ると、３ケタの数はどれも、真ん中（まんなか）が９になってますね。だから、下のように書けます。

左上（ひだりうえ）のタテの３ケタは、真ん中と下が９９となってるから、９９９ですね。

次（つぎ）に、右下（みぎした）のタテの３ケタは、はじめと真ん中が９９となってるから、９９５です。もう、９９９はさっき使（つか）ってるから、ダメなのです。

書く順番（じゅんばん）が大切（たいせつ）。これで、下の図のようになりました。

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左上のヨコの５ケタは、２つめが９だから、２９２２９です。すると、真ん中の上にあるタテの４ケタは、９から始（はじ）まるから、９９９８になります。

右上のヨコの５ケタは、９から始まるので、９５５８８ですね。あと、残（のこ）ってる４ケタの数３つはどれも、１番目（ばんめ）と３番目が１だから、下のように書けます。

これでもう、かなり分かったから、後（あと）は簡単（カンタン）。今日はしめきりの火曜（かよう）だから、ここで止（や）めておきます。左にタテの５ケタが２つありますが、どちらもすぐ、わかるでしょう。

この続（つづ）きは、今週（こんしゅう）の土曜に、正解（せいかい）が出た後で書きます。では、自分で頭（あたま）を使（つか）って、考えてくださいね。

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土曜になりました。最後（さいご）まで進（すす）みましょう。

左側のタテの５ケタは、真ん中が１だから、８８１５５。すると、その上のヨコの３ケタは、２９８だと分かります。

左下のヨコの５ケタは、真ん中が５だから、８５５５２。すると、下の方のタテの４ケタは、１２１５だとわかります。

右下のヨコの５ケタは、１番目と４番目が５だから、５８８５５。すると、その上のタテの５ケタは、５で始まってるから、残ってる５２８８５のはず。

後はもうカンタンだけど、あわてて答を出そうとすると、間違（まちが）えます。答は、赤い枠（わく）の足し算で、

　２＋８＝１０

でした。２＋２＝４とか、８＋８＝１６と答（こた）えてしまった人もいるかもしれませんね。

それでは、これで終（お）わりにします。。☆彡　　

　　　　　　（暫定　１２８４字）

　　（追記３６３字 ； 合計１６４７字）