１～７の数字を並べた整数Ａ、Ｂの和が９７２３になるのは何通りか（高校・場合の数）～開成中２０２３年入試、算数・問題５の解き方

今年（令和５年）も、開成中学の入学試験が終了。算数の問題だと、最後の問題５が面白そうに見えましたが、解いてみると、ここ最近の面白問題の中では最も簡単だと感じました。元々、例年のような難問ではない上に、親切で分かりやすい誘導がついてます。解き方を教えてくれてるのです。

ただ、それは私が高校数学を知ってる大人だからかも知れません。問題文の中で丁寧に解き方が説明されてますが、それは高校１年の数学の「場合の数」と呼ばれる所で本格的に扱われる話で、高校１年生にとっては教科書の章末問題くらいのレベルです。

しかし、それを優秀な小学生がどう感じるのかはよく分かりません。確かに、もし自分が小学６年生の時なら、かなり難しく感じるでしょう。そもそも問題文も長いし、時間も短いので。

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それでは、問題５の（１）から、解法や考え方を解説して行きます。問題文はいつものように、四谷大塚ＨＰから引用させて頂きます。

[５]　1、2、3、4、5、6、7 の7種類の数字のみを並べてつくられる整数 A、B を考えます。例えば、5、73、1422 は整数 A、B としてふさわしいですが、8、939、4016 は 8、9、0 の数字をふくむので整数 A、B としてふさわしくありません。

　整数 A、B の和で新たな数をつくることを考えます。例えば、A + B = 20 になる A、B の組は、次の表のように 10通り考えられます。

次の空らんア~キにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(1) A + B = 96 になる A、B の組について考えます。A、Bの一の位の数字は、その和が6になるので、次の表のように5通り考えられます。

　　　　

このうち、Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるものを調べると、A、B の十の位の数字は,その和が9になるので、次の表のように6通り考えられます。

このことから、Ａ ＋ Ｂ＝96 になる Ａ、Ｂ の組のうち、Ａの一の位の数字が５、Ｂの一の位の数字が１であるものは、６通りあることがわかります。

これを参考にして考えると、A ＋ B＝96 になるＡ、Ｂの組は [ア] 通りあることがわかります。

（解答）　同じように考えると、「A の一の位の数字が 4、Bの一の位の数字が2であるもの」も6通り。「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるもの」も、「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1であるもの」も、「Aの一の位の数字が 5、B の一の位の数字が1」であるものも、それぞれ６通り。

よって、全部で、６×５＝３０（通り）　・・・アの答

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(２) Ａ ＋ Ｂ＝971 になるＡ、Ｂの組について考えます。

971＝960 ＋ 11 に着目して考えると、Ａ、Ｂの一の位の数字は、その和が11になるので、次の表のように4通り考えられます。

また、(1) の結果を参考にして考えると、A + B = 971 になる A、B の組のうち、A の一の位の数字が7、B の一の位の数字が4であるものは、[イ] 通りあることがわかります。
これを参考にして考えると、A + B = 971 になる A、B の組は [ウ] 通りあることがわかります。

（解答）　Ａ、Ｂの十の位と百の位だけで考えると、Ａ＋Ｂ＝９６０となる組合せは（１）より３０通り。

よって、A の一の位の数字が7、B の一の位の数字が4であるものは、３０通り。　・・・イの答

一の位の数字の組は４通りあって、どれも同様なので、

Ａ、Ｂの組の全部は、３０×４＝１２０（通り）　・・・ウの答

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(3) A + B = 972 になる A、B の組について考えます。

A、B の一の位の数字は、その和が12と2のどちらかになるので、次の表のように4通り考えられます。

● A + B = 972 になる A、B の組のうち、A の一の位の数字が 7、B の一の位の数字が5であるものは、[エ] 通りあります。

● A + B = 972 になる A、B の組のうち、 A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものは、[オ] 通りあります。

これらを参考にして考えると、A + B = 972 になる A、B の組は [力] 通りあることがわかります。

（解答）　A の一の位の数字が 7、B の一の位の数字が5であるものは、十の位と百の位だけで考えるとＡ＋Ｂ＝９６０だから、（１）（２）より、３０通り。　・・・エの答

同じく、A の一の位の数字が ６、B の一の位の数字が６であるものも、３０通り。A の一の位の数字が ５、B の一の位の数字が７であるものも、３０通り。

次に、 A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものについて考える。十の位と百の位だけで考えると、Ａ＋Ｂ＝９７。（見方を変えると、９７０。）

よって、十の位だけの和なら７だから、Ａ＋Ｂの十の位は、６＋１、５＋２、４＋３、３＋４、２＋５、１＋６の６通り。

また、百の位だけの和なら９だから、Ａ＋Ｂの百の位は、７＋２、６＋３、５＋４、４＋５、３＋６、２＋７の６通り。

したがって、A の一の位の数字が 1、Bの一の位の数字が1であるものは、６×６＝３６（通り）　・・・オの答

以上より、A + B = 972 になる A、B の組は全部で、３０×３＋３６＝１２６（通り）　・・・カの答

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(4) A + B = 9723 になる A, B の組は [キ] 通りあります。

（解答）　まず、Ａ＋Ｂの一の位は、７＋６、６＋７、２＋１、１＋２の４通りある。

Ａ＋Ｂの一の位が７＋６か６＋７の場合、十の位以上だけで見ると、Ａ＋Ｂ＝９７１。

よって（２）より、それぞれ１２０通りある。

次に、Ａ＋Ｂの一の位が２＋１か１＋２の場合、十の位以上だけで見ると、Ａ＋Ｂ＝９７２。

よって（３）より、それぞれ１２６通りある。

以上より、Ａ＋Ｂ＝９７２３になるＡ、Ｂの組は、

　（１２０×２）＋（１２６×２）＝４９２（通り）　・・・キの答

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この問題には、何か隠された意味とか背景があるような気もしますが、今のところ分かりません。サイコロの目（１～６）に、７を加えてヒネっただけかも知れません。１～６だけだと、最後の７＋６とか６＋７という話が使えないので、もっと簡単になってしまいます。

ちなみに高校ではよく、Ａ、Ｂを作る数字に０を入れた問題が出ます。その場合、左端（先頭）の数だけは０が使えないから、ちょっと面倒になります。左端だけ別扱いにするわけです。この問題の最後の（４）なら、左端の千の位だけは数え方をちょっと変えるということです。

ともあれ、受験生やご家族、学習塾などの皆さん、どうもお疲れさまでした。それでは今日はこの辺で。。☆彡

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　　　　　　（計　２９３０字）

桜（ソメイヨシノ）の開花予想と、気温の時間積分（１次関数、２次関数）～２０２３年共通テスト数学ⅡＢ・第２問〔２〕

今年（２０２３年、令和５年）の共通テストの数学（ⅠＡ、ⅡＢ）は、かなり簡単になってるので、受験生としてはラクだったろうけど、半ば理数系のブロガーとしては物足りない感じもある。

とはいえ、面白い題材を使って工夫された問題ではあるし、恒例行事として、数学ⅡＢの記事も１本書いとこう。桜（ソメイヨシノ）の開花予想を、積分で求めるという話だ。

高校数学の積分など使わなくても、小学校の算数でも十分通じると思う。例えば、毎日の最高気温を足し算して行くだけでも、それなりの近似式は求められるはず。それをヒネって高校数学ⅡＢを使う形にしたのが、この問題なのだ。

問題はまた、河合塾ＨＰから頂いた。既に、国語、数学ⅠＡ、情報関係基礎の記事はアップ済み。

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ではまず、第２問〔２〕の（１）から。

解答

（定積分）＝〔（１／１０）ｘ²＋３ｘ〕（０≦ｘ≦３０）

　　　　　＝９０＋９０

　　　　　＝１８０　・・・タチツの答

（不定積分）＝（１／３００）ｘ³－（１／１２）ｘ²＋５ｘ＋Ｃ　

　　　　　　　　　・・・テトナ、ニヌ、ネの答

感想　極端に簡単なウォーミングアップ問題だけで、１５点中の６点を与えてる。これだけで４割だから、既に前年の平均点みたいな割合。前年の問題が難し過ぎたとして、かなり批判・反省があったということか。

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次の（２）からが本題。まず（ⅰ）。

解答

　Ｓ（ｔ）＝〔（１／１０）ｘ²＋３ｘ〕（０≦ｘ≦ｔ）

　　　　　＝（１／１０）ｔ²＋３ｔ

　　　　　＝４００

∴　ｔ²＋３０ｔ－４０００＝０

∴　（ｔ＋８０）（ｔ－５０）＝０

ｘは０以上だから、ｔも０以上。よって、ｔ＝５０　。

したがって、開花日時は５０日後。選択肢の４が、ノの答。

感想　問題文の日本語が不十分。出題者は、ｔはｘ日後のｘを表す値（パラメーター）だから理解できるだろう、という考えなのだろう。しかし、「開花がｔ日後とすると、Ｓ（ｔ）＝４００である」などとする方が明確。

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続いて、最後の（ⅱ）。

解答

　ｘ≧３０でｆ（ｘ）は増加するので、

　（３０≦ｘ≦４０でのｆ（ｘ）の定積分）

　　　　＜（４０≦ｘ≦５０でのｆ（ｘ）の定積分）

よって、ハの答は、選択肢の０。

（１）より、（０≦ｘ≦３０での定積分）＝１８０

また、問題文より、（３０≦ｘ≦４０での定積分）＝１１５

さらに、（４０≦ｘ≦５０での定積分）＞１１５

∴　（０≦ｘ≦５０での定積分）

　　　　＞１８０＋１１５＋１１５＝４１０

∴　（０≦ｘ≦５０での定積分）＞４００

一方、（０≦ｘ≦４０での定積分）

　　　　　＝１８０＋１１５＝２９５

∴　（０≦ｘ≦４０での定積分）＜４００

したがって開花日時は、４０日後より後、かつ５０日後より前。

結局、ヒの答は、選択肢の４。

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感想　簡単すぎるのはともかく、積分の不等式を考えさせるのは実用的で良い発想。現実の世界では、近似も含めて、不等式の方が遥かに重要なのに、高校までの算数と数学はほとんど等式を扱ってる。そもそも、定積分の定義にも不等式がひそかに入ってるので、もっと不等式の問題が増えていいと思う。もちろん、平均点の低下には何か対策を施すとして。

というわけで、今年の共通テスト記事もこれで一段落ついた。なお、今週は久々にやや少なめ、計１３６６３字で終了（暫定）。また来週。。☆彡

　　　　　　（計　１３４６字）

パズル「推理」、小学生向け７、カンタンな解き方、表の書き方（難易度５、ニコリ作、朝日ｂｅ、２３年１月２８日）

このブログでは今まで、パズル「推理」（すいり）について、１２本の記事（きじ）を書（か）いてます。

大人（おとな）向（む）け、４本（１本目、２本目、３本目、４本目）。

小学生向け、６本（１本目、２本目、３本目、４本目、５本目、６本目）。

全員（ぜんいん）向け、１本。

アインシュタイン式・論理脳（ろんりのう）ドリル、１本。

今日（きょう）は小学生向けで、与えられた表（ひょう）を使って解（と）いてみましょう。問題（もんだい）はいつものように、朝日新聞（あさひしんぶん）別刷（べつずり）ｂｅのもの（２０２３年１月２８日）です。

ニコリ作で、難易度（なんいど）は星５つ。わたしは星４つくらいだと思いますが、算数の計算と理屈（りくつ）が多くて、ちょっと難（むずか）しいかも知（し）れません。

論理的な解き方やコツ、攻略法（こうりゃくほう）の簡単（かんたん）な解説（かいせつ）。小学３年生なら大丈夫（だいじょうぶ）だと思います。もちろん、大人でも読（よ）めます。

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今回は、５人が踊（おど）りの練習（れんしゅう）をする問題。種類（しゅるい）と時間（じかん）を考えます。種類も時間も、同じ人はいません。みんな、種類が違（ちが）うし、時間も違います。

最近は、小学校でも中学校でもダンスを習（なら）うようになったし、ＴｉｋＴｏｋ（ティックトック）の動画（どうが）もあるし、踊りの人気が上がってます。

５人はこう言ってました。カンタンな言い方に直（なお）します。遠藤（えんどう）くんは男にも女にも見えますが、男性として扱（あつか）います。最近の社会（しゃかい）に合（あ）わせて、いつもそうした人を１人だけ入れてるようです。

　大地（だいち）くん　　俺（おれ）は社交（しゃこう）ダンスの人より４０分、長く練習した。

　秋田（あきた）さん　　私はバレエの人と２０分の差（さ）。

　永井（ながい）さん　　私はジャズダンス。６０分ではない。 　

　千野（ちの）さん　　私はヒップホップの人の３倍。

　遠藤くん　　踊りって、いいね。

遠藤くんは、話の中身（なかみ）も他の人と違いますね。パズルを解くのには役（やく）に立ちませんが、自分の感情（かんじょう）に素直（すなお）です。

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では、少しずつ表に〇（まる）、×（バツ）をつけて行きましょう。まず、永井さんの話（はなし）から、下のように書けます。〇（マル）だけでなく、×（バツ）も付（つ）けましょう。×が大切（たいせつ）なのです。

次（つぎ）に、千野さんは、ヒップホップの人の３倍です。だから、千野さんが１２０分でヒップホップの人が４０分か、千野さんが１８０分でヒップホップの人が６０分です。

ということは、千野さんは４０分や６０分や８０分ではありません。また、ヒップホップの人は、８０分や１２０分や１８０分ではありません。

だから、下のように×（バツ）を書きます。

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次は、大地くん。社交ダンスの人より４０分、長い。だから、大地くんが８０分で社交ダンスが４０分か、大地くんが１２０分で社交ダンスが８０分です。

ということは、大地くんは、４０分や６０分や１８０分ではありません。また、社交ダンスは、６０分や１２０分や１８０分ではありません。

だから、下のように×が増（ふ）えます。

さらに、秋田さんは、バレエの人と２０分差。だから、秋田さんが４０分でバレエが６０分か、秋田さんが６０分でバレエが４０分か、秋田さんが６０分でバレエが８０分か、秋田さんが８０分でバレエが６０分。

ということは、秋田さんは１２０分や１８０分ではないし、バレエも１２０分や１８０分ではありません。

だから、また、下のようにバツを付けます。

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ここから、少し頭（あたま）を使（つか）います。まず、もし千野さんが１２０分でヒップホップが４０分だとしてみたら、どうなるでしょう。マス目の左上に、小さく〇や×をつけてみましょう。

上の表から、大地くんは８０分になります。ということは、社交ダンスは４０分。ところが、表の左下を見ると、社交ダンスは８０分のはず。

だから、おかしいですね。もし千野さんが１２０分だと、おかしいことになります。だから、千野さんは１８０分なのです。すると、表は下のようになります。

今日はここまでにしておきましょう。あまりネタバレにならないように、いつも少しずつ書いてます。次の更新（こうしん）、アップデートは、明日（日曜）の夜（よる）にします。ではまた。

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では、日曜の夜になったので、少しだけ先に進（すす）みます。

永井さんのジャズダンスは１８０分ではないので、下のように、表の左下あたりに×を加（くわ）えます。すると、１８０分なのは日本舞踊（にほんぶよう）だと分かります。

すると、すぐにもう少し、〇や×を書けますね。後はもうカンタン。明日（月曜）の夜、もう少しだけ先に進みます。ではまた。

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はい。月曜の夜になったので、もう少しだけ進みます。日本舞踊が１８０分だと分かったので、日本舞踊は４０分、６０分、８０分、１２０分ではありません。それらの場所に×をつけると、１２０分なのはジャズダンスだと分かるので、〇をつけます。

応募用（おうぼよう）の答はもう出ました。後は、土曜の正解発表の後に書き足（た）します。ではまた。

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はい。１週間後の土曜日になりました。正解が発表されたので、最後までカンタンに書きましょう。

まず、ジャズダンスの永井が１２０分だと分かったので、表の右上に〇と×を付けます。

すると、大地が８０分だと分かりました。表の右上に、さらに〇と×を付けます。

大地が８０分だから、社交ダンスは４０分。これで、表の左下のエリアは完成です。

表の左下から、８０分はバレエだと分かるので、大地はバレエ。表の左上に〇×を付けます。

秋田はバレエと２０分差だから、６０分。ということは、表の左下で６０分の所を見ると、秋田はヒップホップだと分かります。最後に残った社交ダンスと４０分が、遠藤。

これですべて完成しました。ではまた。。☆彡

　　　　（計　２０１２字）

　（追記４６９字 ； 合計２４８１字）

トランプの４種の絵柄（ハート・スペード・クラブ・ダイヤ）を並べた暗号と解読方法～２０２３年共通テスト・情報関係基礎・第２問

今年（２０２３年）の共通テスト・情報関係基礎も、第２問が凝った出題になってるが、去年（回文）ほど奇妙な問題ではないし、トランプの絵柄だから親しみも持てる。ストーリーも受験生向けに、（テレビ）ゲームを意識して創られてた。

ただ、相変わらず問題文が長いので、試験場で６０分で高得点を狙うのはなかなか大変だと思う。読むだけでも面倒で、じっくり論理的に考える余裕はあまりない。

いずれ新必修科目『情報Ⅰ』に完全移行すると、こういった謎解きパズルみたいな問題は消えてしまうのかも。今のうちに、ブログ記事を書いとこう。ちなみに、去年の記事は下の通り。今年の国語と数学でも、既に記事をアップしてある。

　普通の文字列を回文の連結へと分解する方法と、回文ファンの「幸いさ」～２２年共通テスト情報関係基礎第２問

なお、日本人にとって「ソリティア」というと、ＰＣに入ってる Microsoft のおまけゲームが有名。試しに探してみると、Windows 10 にも入ってた。後でプレイしてみたい。

ソリティア（solitaire）というのは元々フランス語（発音はソリテール）で、名詞の場合、１人きりの人とか１人遊び用のゲームを指す言葉。だからソリティアには、多数または無数の種類が存在する。この問題自体も、ソリティアの特殊な例なのだ。

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では、第２問（必答問題）の問１から。問題は、河合塾の特設サイトからお借りした。情報関係基礎には独自の「分析」も平均点予想も掲載されてないのが残念だが、受験者数も読者も非常に少ないからだろう。

♡（ハート）、 ♠（スペード）、♣（クラブ）、♢（ダイヤ）、４つの文字を、スペードとハートの２文字だけに変換する暗号の話で、なまじ文字数が少なくてそれほど変化しないので、逆に間違えやすいかも知れない。

平文（元の通信文）が ♡♣♢♣ （ハート・クラブ・ダイヤ・クラブ）なら、暗号文は、♡　♠♠♡　♠♠♠　♠♠♡ だから、アの答は、選択肢の１。ここでは分かりやすさのため、暗号文にスペース（空白）を入れて区切ってある。

また、暗号文が ♠♡　♡　♠♡ なら、もとの平文は、♠　♡　♠ 。イの答は、選択肢の１。

さらに、暗号文が ♠♠♠　♠♠♡　♠♡　♠♡　♡ なら、平文は、♢　♣　♠　♠　♡ 。ウの答は、８。

この変換ルールだと、♠　♠　♠　♠ という４文字の暗号文にはならないから、エの答は、５。

最後が ♡♠で終わる文にもならないから、オの答は、４。

最後がスペードの暗号になるのはダイヤのみで、その場合、スペードは３つ連続する。ただし、それは問１のみ。次からルールが少し変更されるので、最後が ♡♠ になることもある。

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ウォーミングアップで少し慣れた所で、問２は暗号化のエラーとその対策方法、復元（修正）について。

暗号文が ♡　♡　♠♠♡ なら、♡の数が奇数（３コ）なので、最後のおまけとして♠を加える。カの答は、１。

暗号文が ♡♡♠♬♠♡♡ なら、最後がハートだから、ハートの数はおまけを除いて偶数のはず。よって、♬は♡。キの答は、０。

♡が偶数なら、おまけは♡１コ。♡が奇数なら、おまけは♡０コ。よって、どんな暗号文でも、「♡の数が奇数の文」になる。クの答は、２。

その性質を使うと、１文字だけ♬になった暗号文で、「ハートの数が偶数の文」なら、♬は♡だったはず。ケの答は、４。

♠♡♠♠♬♬♡♠ という暗号文の場合、最後がスペードだから、ハートの数は奇数のはず。よって、♬２コの内、片方だけが♡だから、♬♬は ♡♠ か ♠♡ 。よって、コとサの答は、１と２。順番はどちらでも可。

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最後の問３は、第三者による暗号の解読。暗号にとっては死活問題の、安全性、セキュリティの話。

もし、平文の ♡ が、暗号では ♠ １文字なら、情報２より、他の文字の暗号は「♠からは始まらない」。シの答は、３。

文頭が ♠ の暗号文の割合は、表３の右側４つの値を足して、１０＋２０＋２０＋１０＝６０％。スの答は、６。

文頭が ♠♠ の暗号文の割合は、表３の右端２つの値を足して、２０＋１０＝３０％。セの答は、３。

さらに、平文の ♡ が暗号で ♡ １文字の場合。♠の暗号の文字列ｚは、情報２より♡では始まらないから、♠ から始まるはず。ソの答は、２。

文頭がスペードの平文の割合は３０％だから、表３で ♠ から始まる箇所を見ると、ｚは ♠♡（♠♡♡１０％＋♠♡♠２０％）か、♠♠（♠♠♡２０％＋♠♠♠１０％）。タの答は、３。

最後に、王子が予想した暗号化の方法Ｂでは、♡ を ♡ 、♠ を ♠♠ にするから、♣ は、♠♡ で始まって２０％の割合。つまり、♣ は ♠♡♠ 。よって、チの答は９。

♢ は、♠♡ で始まって１０％の割合だから、♠♡♡ 。よって、ツの答は８。

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以上、解き方も含めて解答を書いて気付いたのは、４種の絵柄のマークを入力するのが面倒だということ。試験場で手書きでマークを描くのも時間がかかる。

絵柄の代わりに、ハ、ス、ク、ダと書く方が速いだろうが、それだと問題と合わないし、トランプの感じも出ない。そういった意味でも、見た目より手間がかかると思う。

とはいえ、去年の奇問よりは遥かに分かりやすい。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　（計　２１３６字）

バスケットボールのシュートの軌道（リングへの放物線）、高身長プロ選手と普通女子～２３年共通テスト数学ⅠＡ・第２問〔２〕

２０２３年１月１５日（日曜）に実施された大学入学共通テストの数学ⅠＡは易しくて、去年より大幅に平均点が上がるらしい。

河合塾の予想では、前年の平均３８点から１９点も上がって、今年は５７点。５割増しの大きな変化だから、出題者サイドもレベル設定に苦労してるようだ。来年はまた少し難しくなるのかも。

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そんな中でも、あくまで高校３年生くらいの若者が興味を持てそうな問題作りが意識されてる。今回、扱う数学ⅠＡの問題は、バスケットボールのシュートの軌道。背が高くて腕も長くてジャンプ力もある（？）プロと、わりと普通の女子の比較。わりと普通といっても、この女の子もかなり背が高い選手だろう。

バスケットボールやバレーボールは、明らかに身長が高い方が有利で、トップ選手は極端に背が高いことが多い。野球もしばしばその傾向があるから、私はサッカーや卓球の方が公平なスポーツだと思う。あるいは、体重別の格闘技とか。

もちろん、そんな事は問題を解くのに関係ないので、さっそく問題と解答、解説に移ろう。問題文は長いが、面倒な数式変形や計算の結果は教えてくれてるので、かなり親切な問題だと思う。平均点を上げるための工夫や努力が見られる。

ちなみに、私は受験生ではないブロガーなので、家で気楽にやってるが、記事を書く前に、何も書かずに暗算で解いてる。今回なら、最後の小数とルートの計算まで。朝日新聞のパズルを解く時もなるべく頭の中だけで解く。詰将棋みたいなもので、頭の体操。脳トレ。慣れると、頭で解く方が速いことも多い。

ただし、先日、記事にした漢字抜け熟語（難易度５）は難し過ぎたので、解く時に文字を書いてしまったし、ネット検索も何度もかけてしまった。さすがに、５９コの漢字と６３コの熟語が相手だと、脳内メモリーが不足する。

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問題文は、河合塾（産経）のＨＰから借用した。

第２問　〔２〕　　　

（１）（解答）

　ｙ軸方向に－３、平行移動した放物線を考えると、点（０，０）、（４，０）を通るので、

　ｙ＝ａｘ（ｘ－４）＝ａｘ²－４ａｘ

よって、Ｃ₁の式は、上の放物線をｙ軸方向に＋３、平行移動して、

　ｙ＝ａｘ²－４ａｘ＋３　・・・キ、クの答　　　

∴　ｙ＝ａ（ｘ－２）²－４ａ＋３　・・・ケ、コの答

（感想）　軽いウォーミングアップだが、平行移動せずに解くと、少しパワーと時間をロスするかも。キ、クの答と、ケ、コの答が全く同じなのも、試験場では不安になるはず。

Ｃ₂の式は、ｙ＝ｐｘ²＋ｑｘ＋３とおいて、点（４，３）の座標を代入すると、ｑ＝－４ｐ＋１／４と求められる。

∴　Ｃ₂：　ｙ＝ｐｘ²－（４ｐ－１／４）ｘ＋３

ａ＝－２、ｐ＝－１とすると、グラフは下の通り。関数グラフソフト「ＧＲＡＰＥＳ」使用。Ｃ₂の頂点の方が僅かに右にあるのが確認できる。

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（２）（解答）

Ｃ₁の平方完成した式より、「プロ選手の『ボールが最も高くなるときの地上の位置』」は、２。Ｍのｘ座標４との距離は２。

Ｃ₂の平方完成した式より、「花子さんの『ボールが最も高くなるときの地上の位置』」は、２－（１／８ｐ）。これはリングの左側のはずなので、Ｍのｘ座標４との距離は、２＋（１／８ｐ）。

Ｃ₂の２次の係数ｐは負の数だから、２＋１／８ｐ ＜ ２

よって、「花子さんの『ボールが最も高くなるときの地上の位置』の方が、つねにＭのｘ座標に近い」。サの答は、選択肢の２。

（感想）　計算しても簡単だが、計算しなくても２つの放物線のグラフを大まかに（頭の中で）書くだけでわかる。特に、花子さんのシュートの軌道が低い場合をイメージすると、最高点がリングに近いことが分かりやすい。計算で解く場合、ｐがマイナスの値だということを忘れてしまうと間違える。

なお、「花子さんの『ボールが最も高くなるときの地上の位置』」２－（１／８ｐ）は、ｐがマイナスのまま０に近づくと、無限に大きくなる。これは、ボールがリングの下から上に通る場合なので、ゴールやシュートとは認められない。また、それが可能なのかどうかも微妙になる。ボールの上側がリングの下側に当たりそうなので。

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（３）（解答）

再び、ｙ軸方向に－３、平行移動した放物線で考える。

ｙ＝ａｘ（ｘ－４）が、点（３．８、（√３）／１５）を通るので、

（√３）／１５＝－０．７６ａ

∴　ａ＝－（√３）／（１５×０．７６）

　　　＝－（√３）／１１．４

　　　＝－（５√３）／５７　・・・シスセソの答

（１）のＣ₁の式（平方完成）より、シュートの高さは、－４ａ＋３。

上のａの値を代入して、　

２０√３／５７＋３≒３．６

よって、シュートの高さは、プロ選手が約３．６、花子さんが約３．４。

したがって、プロ選手の方がボール約１個分（直径０．２）、高さの値が大きい。

タの答は、選択肢の０。チの答は、選択肢の０。

（感想）　ＡＤの長さくらいは受験生に求めさせたくなる所だが、そこで間違えるとその後も全滅するから、平均点が大幅に下がってしまう。それを避けるために、丁寧な誘導やヒントが付けられてる。ただ、√３の値は、１．７３２だけで十分のはず。近似値１．７３でも問題は解ける。

数学好き、理屈好きにとっては、線分ＤＭが円と接するという考えが引っかかる。それは、わりと考えやすい十分条件であって、必要十分条件を求めるには、放物線が円と接して、しかも常に放物線の方が上にあるための条件を計算することになる。その場合、この問題設定よりは、放物線の軌道が僅かに低くなる。

ただ、計算が面倒だし、実はセンターや共通テストの数学記事はアクセスがかなり少ないので、これ以上は止めとこう。国語の方が遥かにアクセスが多いし、情報の記事も数学よりはアクセスが多いのだ。数学の解答や解説は誰でも書きやすいし、予備校や塾と似たものになるからだろうと想像。

それに対して、情報の記事は珍しいし、国語は内容的に全く独自のものを書くことが可能。ともあれ、今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２４５６字）

Ｅｘｃｅｌ（表計算ソフト）を用いたシミュレーションの具体例、乱数による円周率の近似値計算～高校『情報Ⅰ』

手軽に理数系の記事を１本書こうとしたら、かなり手間取ってしまった。しかし、コンピューターを用いたシミュレーションというものの初体験にはなったから、簡単にまとめとこう。

ネットで普通に検索しても、かなりの知識や環境を前提とした敷居の高い記事ばかりがヒットする。ここでは、表計算ソフトならごく簡単に使ってるけど、シミュレーションも乱数の関数も全く経験がない・・という条件で、高校１年生や初心者向けに書いてみる。

そもそも、なぜこんな事を思いついたかというと、朝日新聞・朝刊（２３年１月１０日）の人気シリーズ記事「花まる先生」で、高校の新必修科目『情報Ⅰ』の授業が紹介されてたから。４領域の１つ「コンピュータとプログラム」の中の「モデル化とシミュレーション」の単元。

そこでは、数学や物理の世界で有名な「ランダムウォーク」（でたらめ歩き）が扱われてて、表計算ソフト「エクセル」を用いたことになってるが、具体的にどう使うのかは書かれてない。私の手元にある東京書籍の教科書でも、ランダムウォークという言葉は載ってるけど、具体的なシミュレーションのやり方までは書いてない。

そこで、丁寧な説明を探すと、修道大学のｐｄｆファイルを発見。有難く読ませて頂いたが、それでも全く初めての私が１人でやってみると、何度もつまづいてしまった。ちなみに私が使用した端末は、Ｗｉｎｄｏｗｓ１０のＰＣ。エクセルのヴァージョンは、サプスクリプションのＭｉｃｒｏｓｏｆｔ３６５のものだから、最新に近いと思う。

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では、円周率π（パイ）の近似値を、シミュレーションで求めてみよう。有名な実験らしくて、似た説明はネット上に多数ある。

１辺の長さ１の正方形の頂点から、半径１の四分円（中心角９０度の扇形）を書くと、

　（四分円の面積）＝１×１×π×１／４＝π／４

　（正方形の面積）＝１

一方、その正方形の中にランダム（でたらめ）に多数の点を打つと、

　（四分円の中の点の個数）／（正方形の中の点の個数）

≒（四分円の面積）／（正方形の面積）

＝π／４

∴　円周率 π ≒ ４×（四分円の中の点の個数）／（正方形の中の点の個数）

というわけで、１辺の長さ１の正方形の中に、でたらめに多数の点を打つシミュレーションを行えば、円周率パイの近似値が求められる。こうした方法は、モンテカルロ法と呼ばれてて、私はＡＩ関連の知識として一応、知ってた。

単純ででたらめな実験を多数（無数）行うのは、人間にはほぼ不可能。コンピューターやＡＩの独壇場となる。将棋や囲碁の形勢判断を示す評価値の計算も、基本的にはそうした無数の対局実験に基づく。

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まず、エクセルで新しい空白の表を立ち上げて、左上（Ａ１のセル、つまりマス目）から左に、個数、ｘ、ｙ、「円内なら１」と入力。

最後の文は、正確には、「４分円の内側なら１、それ以外なら０」で、最後にこの１をすべて足し算すれば、４分円内の点の個数になる。ちなみに、円周上の点は入らないが、どうせほとんど円周上にはならないから、計算には影響ない。

Ａ２のセルには、個数として 1 （半角数字）を入力。個数というより、多数の点につけた番号のこと。１番、２番、・・・。

ｘの下、Ｂ２のセルには、=RAND() と半角で入力。この数式だけで、なぜか０～１の間のでたらめな数が計算される。RAND は、英単語のrandom（でたらめ）より。私は初めて使ったけど、基本的な数式の１つらしい。

ちなみに、でたらめといっても、何かプログラムによって計算されてるわけだから、出て来る数は「疑似乱数」と呼ばれてる。これについては、いずれ、別記事で考えてみたい。

ｙの下、Ｃ２のセルにも、同じ数式（みたいな英字と記号）を入力。これで、そのｘの値とｙの値を座標に持つ正方形内の点（ｘ，ｙ）が１つ決まることになる。

「円内なら１」の下、Ｄ２のセルには、 =IF(B2*B2＋C2*C2<1,1,0) と入力。

これは、「もしＢ２×Ｂ２＋Ｃ２×Ｃ２＜１なら、１。そうでなければ、０」を表す省略形の命令。高校数学なら、ｘ²＋ｙ²＜１という不等式に対応。左下の原点との距離の２乗が１未満ということ。

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実際に入力して、エンターキーを押すと、上のようになった。ｘとｙの値はたまたま小さいので、正方形の左下の頂点に近い点（ｘ，ｙ）。つまり、４分円の内側の点。よって、Ｄの列には自動的に 1 が出力される。

個数１の所の横のセル４つ（第２行目）を選択して、下側にドラッグで引っ張ると、自動的に２個目、３個目・・・の値も現れる。

個人的には、４つのセルの選択と引っ張る操作に何度も失敗してしまったが、何とかなった。普通に四角の角からポインター（矢印）を引っ張ろうとすると、途中で切れたり、左端の 1 という数字のコピーになったりしたのだ。あと、何か入力してエンターする度に、でたらめな数が勝手に変化するので戸惑った。

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続いて、点１００個（第２行～第１０１行）のデータをまとめて、円周率πの近似値を計算する。

分かりやすさのために、Ｅの列は空けて、Ｆ、Ｇ、Ｈの列を利用。それぞれ、点の総数、円内の点の数、πの近似値と入力。

「点の総数」の下、Ｆ２のセルには、100 と入力。「円内の点の数」の下、Ｇ２のセルには、 =SUM(D2:D101) と入力。Ｄ２のセルからＤ１０１のセルまでにある、全ての 1 の和を求めることで、個数を求められる。

そして、「πの近似値」の下、Ｈ２のセルには、 =4*(G2/F2) という式を入力。要するに、４×（Ｇ２／Ｆ２）、つまり、４×（円内の点の数）／（点の総数）。

私が実際に試すと、最初のπの近似値は２．９２と出た。３．１４１５９２・・と比べると、ちょっと小さい。２回目は確か、３．２くらいだった。これを何回も繰り返すのと、個数を１０００個、１００００個と増やすのと、どちらが正確な近似値になるのかは今のところ不明。いずれにせよ、確率統計的な話であって、厳密なπの計算ではない。

あと、元のファイルには、ｆ９キーを押せば繰り返せると書かれてたが、私の場合には出来なかった。その代わり、何か適当なセルに入力してエンターしたり、削除したりすると、勝手に全ての数字が変化した。

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なお、円周率の計算は上ですべて完了してるが、聞き手や読み手へのプレゼンテーション的には、シミュレーションのグラフがあった方が分かりやすい。

xとyのデータをグラフ（散布図）にする一方、４分円のグラフは別に書いて、どちらかをコピーしてもう一方にペーストすると、下のようになった（私が作った図）。

円周の式は、ｙ＝√１－ｘ²。ｘの値は、０から１まで、０．０１刻みくらいに細かく取る。グラフの書き方やオートフィル（自動入力）の設定などは、元のファイルや別の情報を参照した。ここではもう、省略しよう。

新しい話に対応するのは疲れるが、面白いし、達成感もある。今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２８６５字）

デジタル画像の可逆圧縮、「ランレングス（連長）圧縮」の簡単な具体例と説明、圧縮率の計算～高校『情報Ⅰ』

２０２２年度から全面的にスタートした高校の新必修科目、『情報Ⅰ』。先日アップした、音声のデジタル化の記事に続いて、今日は画像の可逆圧縮について書いてみよう。

綺麗なカラー画像（２４ビット、約１６７８万色など）というものは、そのままデジタル表現するとデータ量が多くなってしまう。だから普通は、「圧縮」することになる。

ネット上で綺麗な写真などによく使われてるのが、ＪＰＥＧ圧縮。かなりデータ量を減らせるし、圧縮率９０％くらいなら見た目も元の画像データとほとんど変わらない。しかし、ＪＰＥＧ圧縮画像から元の画像に戻すことはできない。非可逆圧縮（不可逆圧縮）だから。

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それに対して、元に戻せる可逆圧縮もあって、その１つがランレングス圧縮。これは、同じ色が連続してる時に、その色と連続の長さとで表す方法。「ランレングス」を直訳すると、「連続の長さ」になるから、例えば日本語では「連長圧縮」とも呼ばれてる。

最大手の東京書籍の教科書を見ると、わりと大きめ（１６ピクセル×１６ピクセル）のリンゴの画像でかなり短く説明してたが、データ量の変化まで完全に理解・計算できる高校生は少ないと思う。

見方を変えると、そこまで新カリキュラムは要求してないのかも知れない。だから、短い説明に留めてるとか。ただ、大人の私自身は面白かったので、もっと簡単な例でやや詳しく解説してみよう。

個人的には、ランレングス圧縮の画像を人間が手作業で作るのは大変だということが実感できただけでも意味はある。むしろ、元のオリジナル画像の方が、遥かに簡単に作れたのだ。あと、「ロジック」（論理）と呼ばれてるお絵描きパズルと似てることに気付いた。試しに後で、パズルの方もやってみるかも知れない。

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まず、極端に簡単な例から始めよう。

上図は、横１列、６マスの画像で、後で見るリンゴの画像の下の段の左側だけ取り出したもの。マス目は、ピクセル（画素）と呼ばれる。左の２ピクセルが白、その右の４ピクセルが赤になってるから、ランレングス圧縮では、白２赤４のように表現する。図にすると、次の通り。黒い斜線部は、何も記録されてない部分で、教科書では「データ消滅分」と書かれてた。

では、データ量はどう変化したのか、計算してみよう。色は、後でリンゴ全体を見る時に４色使うので、1ピクセルあたり２ビット（２×２）の情報量と考える。例えば、白は００、赤は０１、グレーは１０、黄色は１１。２ケタの２進数で表せる。

元の画像は６ピクセルだから、（元のデータ量）＝２×６＝１２ビット。

一方、圧縮後は、色が２ビットで同じ。連続の数は、最大で６ピクセル（１～６）だから、それぞれ３ビット（２×２×２）。上の例だと、２ピクセルは、０１０。４ピクセルは、１００。３ケタの２進数で表せる。

だから、（圧縮後のデータ量）＝（２＋３）＋（２＋３）＝（２＋３）×２＝１０ビット。

∴（圧縮率）＝１０／１２≒８３％。

あまり圧縮されてないが、それほど色が連続してないし、可逆圧縮だから仕方ない。

ちなみに、数学的にはまぎらわしい言い方だが、「圧縮率の％の数字が大きい」ことを、「圧縮率が低い」と言うらしい。つまり、あまり圧縮されてないという意味。逆に、「圧縮率の％の数字が小さい」ことを、「圧縮率が高い」と言う。かなり圧縮されてるという意味。

だから教科書にも、「一般に可逆圧縮より非可逆圧縮のほうが圧縮率が高い」と書いてた。私は一読して間違ってると思ってしまったが、「高い」＝「小さい」と読みかえるのなら正しい。例えば、ランレングス圧縮よりＪＰＥＧ圧縮のほうが圧縮率が高い。

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続いて、６４ピクセル（８×８）で描いたリンゴのデジタル画像。ちなみに、グレーはヘタの部分、黄色は光沢がある場所を表してる。

上図をランレングス圧縮すると、下図のように表せる。色と数の組合せは全部で２８セットになる。横のピクセル数は１０まで増えてしまうが、問題ないはず。教科書の図では増えてないが、それは同じ色の連続数が多い図にしてあるから。

では、データ量の計算。（元のデータ量）＝２×６４＝１２８ビット。

（圧縮後のデータ量）＝（２＋３）×２８＝１４０ビット。

色の連続が少ないので、圧縮後の方がデータ量が増えてしまってる。

　（圧縮率）＝１４０／１２８≒１０９パーセント

理論的には最初から予想できてたが、すぐに実例と出会うとは思わなかった。試しにＧｏｏｇｌｅで、「ランレングス圧縮　データ　増える」を検索してみると、その欠点を指摘する記事が色々とヒットした。

日本語ウィキペディアの「連長圧縮」の項目にも、欠点が指摘されて、その解決方法の説明も書かれてた（ＰａｃｋＢｉｔｓ法など）。ここでは扱わない。

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最後に、意外と圧縮される例も示しとこう。４色で１６ピクセル（４×４）の格子状の画像。

ランレングス圧縮では、下の図のように表せる。

これなら、かなり圧縮されてるように見える。圧縮後の計算では、横が４ピクセルだから、連続の数が３ビットではなく２ビットになることに注意。１ピクセルなら００、２ピクセルなら０１、３ピクセルなら１０、４ピクセルなら１１と表せる。結局、色で２ビット、連続の数でも２ビット使う。色と数の組合せ（２＋２ビット）が、計４セット。

（元のデータ量）＝２×１６＝３２ビット

（圧縮後のデータ量）＝（２＋２）×４＝１６ビット

（圧縮率）＝１６／３２＝５０％

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以上から、単純なランレングス圧縮は、色の連続が多い単純な画像の時だけ上手く行くことが分かる。

あらためて、教科書の図が大きめに作られてた理由が理解できた。要するに、色の連続を増やして、本当に圧縮されるように配慮した図を掲載してるのだ。確かに、１つだけ例を挙げるのなら、成功例を挙げる方が教育的だろう。一般的な高校生にとっては。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　（計　２４４２字）

アナログの音のデジタル化（標本化＝サンプリング、量子化、符号化）～高校『情報Ⅰ』（新必修科目）

前から気になってたが、高校の新しい必修科目『情報Ⅰ』の授業内容が分かって来たので、とりあえず簡単な記事を１本書いとこう。これを機に、記事のカテゴリーに「情報」を新設したので、今後は関連記事が増える予定。

ちなみに先日、共通テストの試作問題の記事ならアップしておいた。参考までに。

　データの正誤のパリティチェックと１６進法、論理回路と真理値表

　　～２０２５年（令和７年度）共通テスト試作問題・情報Ⅰ

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さて、文科省の新学習指導要領に基づく情報Ⅰのカリキュラムは、一言でまとめるなら、広く浅い内容になってる。

ただ、浅いといっても新しい科目なので、生徒はもちろん、大人の多くもよく知らないと思われる話が多数入ってる。現役の高校１年生がどう感じるのかは分からないが、半ば理数系の大人の私にとっては、全体的にとても興味深い内容だ。

例えば、文字情報や画像の扱いについては、今までも何本か記事を書いてるし、ある程度の知識やイメージは持ってる。しかし、音声の具体的な処理方法についてはほとんど理解してなかった。アナログの音をデジタル化するとか、０、１の２つの数字で表すといった話なら何となく分かるが、理論（の初歩）は最近はじめて知ったこと。

自分の復習も兼ねて、自作の図と共にまとめ直してみよう。参考にしたのは、最大手・東京書籍の教科書『情報Ⅰ』。２章・情報デザイン、１７節・音のデジタル表現。数学で昔からある２進法の話と、文字コードの話の次に置かれてる。

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今、上のようなアナログ波形の音があったとしよう。横軸は時間（右向きが正）。縦軸は音の大きさでもいいはずだが、ここではカリキュラムに従って、電圧としとこう。普通の空気振動としての音を、マイクで機械に入力して、電気信号の波に変えた所から考える。

適度な時間間隔で、飛び飛びの電圧の値を獲得する（赤い縦線の長さ）。この作業が「標本化」（サンプリング）。時間間隔が標本化周期で、上図では１マス分の横の長さで表されてる。

標本の電圧（赤い縦線の長さ）に最も近い整数値（ここでは０以上７以下）を求める。これを「量子化」と呼ぶ。例えば、３．７なら４にして、７．２なら７にする。

上図では左から、１　４　５　７　５　２　２　５　４。これらは３ケタ（＝３ビット）の２進数に直せるので、「量子化ビット数」は３。

ちなみに、たまたま２．５とかの中途半端な値になった時は、２とするか３とするか、あらかじめ決めておけばよい。ただ、完全に真ん中の数になることは確率的にほとんど無いはず。

最後に、それらの数字を３ビット（＝３ケタ）の２進数で表す。これが「符号化」で、結局こうなる。

　００１　１００　１０１　１１１　１０１　０１０　０１０　１０１　１００

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続いて、計算問題を解いてみよう。音楽ＣＤの１分（＝６０秒）あたりのデータ量を求めてみる。

１秒間に４４１００回のサンプリングで、それぞれ１６ビットの数値で表す。さらに、左右２つのチャンネルで録音すると考えて、

（１分あたりのデータ量）

＝１６×２×４４１００×６０ ｂｉｔ（ビット）　

＝８４６７２０００ ｂｉｔ

＝１０５８４０００ Ｂ（バイト）

≒　１００００ ＫＢ（キロバイト）

≒　１０ ＭＢ（メガバイト）

ちなみに、性格には１ＫＢ＝１０２４Ｂ、１ＭＢ＝１０２４ＫＢだが、１０２４だと単位変換の計算が面倒だから、１０００で済ませることは珍しくない。テストでは、１０２４で割り切れる値を出題するか、近似値計算にするか、変換不要にするか、どれかだろう。

とにかく、５０分あたりだと約５００ＭＢだから、確かにＣＤ１枚分の容量に近くなる。なるほどと納得。といっても、実際にはまだここからデータを圧縮するのかも知れない。

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最後に、サンプリングの周期について。つまり、どのくらいの時間間隔で電圧を獲得するか。

上図の青丸のように、音の波と同じ周期（横２マス分の時間）で電圧を取ると、青丸が横に並ぶだけで、上下の波にならない。ちなみに曲線は、英語版ウィキペディアのｓｉｎ（サイン）曲線。すなわち、高校数学や物理の正弦波。

そこで、上図のように、元の音の波の半分の周期（横１マス分の時間）で電圧を取ると、青丸だけで上下の動きを再現できる。ただし、最善のタイミングで取る必要がある。

慣れてないと分かりにくい話なので、上図では周期を矢印で示した。赤い矢印の長さが、元の周期。青い矢印の長さが、サンプリングの周期。

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元の波の周期は一定とは限らないので、元の最小の周期の半分以下でサンプリングする必要がある。さらに、最善のタイミングで取るのはほとんど不可能だから、半分「未満」にすべきはず。要するに、なるべく細かく電圧をサンプリングするということ。

アナログ信号をデジタル信号へと変換する時、元の最小周期の半分未満の周期でサンプリングする必要がある。

ところで、周波数は周期の逆数。つまり、「周波数＝１／周期」だから、周期が半分未満なら、周波数は２倍超。

というわけで、「標本化定理」（サンプリング定理）が導かれる。

「アナログ信号をデジタル信号へと変換する時、元の最小周期の半分未満の周期でサンプリングする必要がある」。

大まかに言えば、なるべくきめ細かくサンプリングしないと元の音が再現できないということ。これだけで既にかなりの時間を取られてしまったので、今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　（計　２２２５字）

サッカーＷ杯「三笘の１ミリ」ゴール、ＶＡＲ動画（毎秒５０コマ）や写真では、ボールのミリ単位の判定は数学的に不可能では？

誤解を避けるため、最初に書いとこう。私は日本で生まれ育った日本人で、日本代表の決勝トーナメント進出を否定したいわけではないし、スペインやドイツを擁護したいわけではない。そもそも、今さら決定が変わるはずもない。

ただ、半ば理数系のマニアック・ブロガーとして、ＶＡＲ（ビデオ・アシスタント・レフェリー）システムの技術的な欠点らしきものに昨日ようやく気付いたから、記事にしてみるだけだ。簡単に結論だけまとめると、

　決定的場面でサッカーボールを撮影・判定するには、ビデオカメラの性能が低過ぎるのでは？

という主張だ。撮影技術の素人による、素朴な疑問と言ってもいい。これは日本ｖｓスペインとか、カタールＷ杯だけでなく、サッカーで使われるＶＡＲ全体と関わる話だ。この３日間ほど、ネットで大量の関連記事を読んだが、どこにもそうした主張は見当たらなかった。

ちなみに、静止画（普通の写真）でボールが僅かに線に触れてるものが多数、出回ってるが、ラインを出たかどうかの判定にはほとんど意味がない。その写真を撮った瞬間のことしか分からないから。その撮影の前後でラインから出てるかも知れないのだ。

仮に、写したのが蹴った瞬間だとしても、直ちにボールの動きが反転するとは限らない。ボールは凹むし、キックは下から救い上げる形だから、ボールが足に乗っかる動きもあるはず。もし分解（連続）写真なら、以下に書く動画の話と同様になる。　　

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さて、私は金曜（日本時間１２月２日）の朝、フジテレビのライブ中継を見た直後、ゴールラインから出たかどうかはボール全体で判断するらしいことを初めて知った。朝日新聞その他、どのメディアも同じ説明だから、その点はとりあえず問わないことにしよう。英語の公式ルールまでは調べてないが、ＦＩＦＡ（国際サッカー連盟）の主張でもそれは重視されてない。

その時は納得したのだが、昨日（１２月４日）の朝、ＦＩＦＡ（国際サッカー連盟）のｔｗｉｔｔｅｒの説明動画を見て、動画の粗さが気になったのだ。世界的な騒動を納得させたいのなら、可能な限り滑らかでキレイな動画を使うはずだが、コマ送りのようなスロー映像が中心になってた。

このコマとコマの間（１００分の１秒レベルの時間）に、ボールがゴールラインを超えてるかも知れない。初めて気づいたから、さっそくボールの速度とカメラの性能を調べて、計算してみた。

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まず、日本ｖｓスペイン戦の後半、堂安がゴールエリアの少し外側から出した斜めのパス（センタリング）における、サッカーボールの速度。ここでは、ゴールラインと垂直な方向・距離だけ考えればよい。

今、録画を見直すと、２秒で７ｍほど進んでる。繰り返すが、これはゴールラインと垂直な方向のスピードであって、単なる移動速度ならその３倍か４倍くらいだろう。

単純に割り算すると、秒速３．５ｍ。ただ、ボールの速度は徐々に落ちるから、ゴールライン辺りでは秒速１ｍだったと仮定する。三笘の足がギリギリ追いついたのだから、実際は秒速０．５ｍくらいまで落ちてたかも知れないが、以下の議論にとってあまり関係ない。

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次に、ビデオカメラが撮影する、１秒あたりのフレーム数（ｆｐｓ）。つまり、１秒、何コマなのか。

普通は昔から数十ｆｐｓくらいで、テレビや映画も同様。高性能なら数百ｆｐｓらしい。私が１０月に購入した新型ｉＰａｄ　Ｐｒｏ１２．９インチの場合、最高で６０ｆｐｓになってる（いわゆる解像度は４Ｋ画像）。

ＶＡＲのカメラなら当然、数百ｆｐｓくらいの高性能だろうと思ったら、１秒５０コマと書いてたのだ。日経新聞ＨＰの記事、「Ｗ杯で活躍　ソニーの『目』」。副題に「ミリ差逃さず」と書き添えてるが、それは写したコマの中でのことだろう。実際、コマとコマの間の動きの計算は、その記事に書かれてない。

１秒に５０コマで、その間に（ラインに垂直に）ボールが１ｍ＝１００ｃｍ進むのなら、隣り合うコマの間に２ｃｍ動くことになる。単純計算だと、２０ｍｍの誤差。ただし、すべてのコマでラインから出てないのなら、一度出た後にキックで逆戻りしたと考えると、１０ｍｍくらいの誤差が考えられる。

ちなみに、三笘が切り返しでキックした直後の映像を見ると、ラインの内側に向かう垂直のスピードはかなり遅いから、１０ｍｍというよりは１５ｍｍくらいの誤差だろう。１０ｍｍでも１５ｍｍでも、かなりの誤差である点は変わらない。

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ネット検索すると、結果の最上段に、人間の目も３０ｆｐｓくらいで見てると書かれてる（キャノン）。ただ、特に遠くの風景に対する「解像度」（視覚風景の細かさ）は低いだろうから、人間（主審、副審など）の目よりはＶＡＲの方がマシという見方なら可能だろう。

ただ、今現在ある映像や写真がほとんど証拠にならないのでは？、という疑問は残るのだ。ボールに内蔵されたチップ（センサー）を考慮したとしても同様。そもそも、チップの磁場がどうとかいう話は、まったく話題になってない。もっぱら、映像と写真が議論されてる。

なお、同じ論法というか、もっと根本的な問題として、ＦＩＦＡその他が作ったＣＧアニメは「証拠」にはならない。というのも、元の事実や映像と、そのＣＧとの関係が分からないから。単に、見かけ上、視聴者の多くを分かりやすく頷かせるだけのことなのだ。この点は、ＦＩＦＡのツイッターＣＧに対しても、直ちに海外で指摘されたようで、もっともな批判だろう。作り物のＣＧと元の試合は別物だ。

最後に、複数のビデオカメラのコマの写し方をズラせば、全体として数百ｆｐｓの映像を合成することは一応、可能。しかし、そんな細かい高度な話は見聞きしてないい。

とはいえ、私も専門の技術者ではない素人だから、とりあえずは問いかけてるだけなのだ。

　ＶＡＲのビデオカメラの性能は低過ぎて、ボールのミリ単位の判定はできないのでは？

・・と。それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　（計　２４７１字）

パズル「絵むすび」２５、解き方、考え方（難易度４、ニコリ作、朝日ｂｅ、２２年１１月２６日）

線で、同じ絵を結ぶだけ。子どもから大人まで、楽しみながら頭のトレーニングができるパズル「絵むすび」。「おむすび」に似せた可愛い言葉なので、「絵結び」ではなく「絵むすび」です。

このブログではこれまで、２４本の記事を書きました（本当は他にも少しあります）。どれも朝日新聞に出てた問題で、 今回が２５本目の記事です。

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５本は小学生向けです。新しい順に、絵むすびの解き方１６（２０年７月４日）。解き方１５（２０年３月２１日）。解き方１３（１８年５月１９日）。解き方１２（１７年５月２日）。解き方１１（１６年５月２１日） 。

最初からの１０本と、７回前の１本は、大人向けです。第１回、２回、３回、４回、５回、６回、７回、８回、９回、１０回、１４回（１９年４月２１日）。

そして、第１７回（２０年１２月１９日）、１８回（２１年４月２４日）、１９回（２１年１１月６日）、２０回（２２年１月２２日）、２１回（２２年３月１９日）、２２回（２２年５月２１日）、２３回（２２年７月１６日）、２４回（２２年１０月１日）は、大人でも子どもでも読みやすいように書いてます。今回も、そんな書き方です。

１７回と１８回は、内容的にはそれほどカンタンではありませんでした。手で線を引かずに、頭の中だけで絵むすびを解く方法の話なので。私はいつも、絵むすびと「推理」は何も書かずに解いて、脳トレしてます。詰め将棋みたいな感じ。もちろん、頭の中のイメージはボヤけてるので、ちょっとモヤモヤしますけどね♪

それではこれから、２５本目の記事を書くことにします。考え方、コツ、攻略（こうりゃく）法みたいなもののまとめ。今回は難易度（なんいど）☆☆☆☆（星４つ）となってて、かなりのアクセスが入ってます。

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今は、新聞に載った当日（２０２２年１１月２６日）の２１時近く。もう、新聞の販売のジャマにはならないでしょう。

ただし、ウチでは、なるべくネタバレを避けるため、ゆっくり少しずつ解説してます。特に最後の答は、新聞で発表されるまで書きません。元の問題の図も、かなり小さくして１回、引用するだけ。後は、自分で図を作ってます。著作権への配慮、気づかいです。

今回の絵は、すべて「お」で始まる名前のイラストです。おにぎり、落ち葉、斧（おの）、鬼（おに）、オタマジャクシ、オクラ。

この記事の絵では、それぞれ、おに、落ち、斧、鬼、オタ、オクと書きます。

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まず、大きく離（はな）れた絵を２組、大まかにむすびましょう。特に、角（かど、すみ）や端（はし）にあるものがわかりやすいですね。

今回なら、おにぎりとオクラを見るか、それとも、おにぎりと落ち葉を見るか。どちらにせよ、おにぎりの２つの絵は、片方が角にあって、もう１つは大きく斜（なな）めに離（はな）れてるので、ポイントになります。

ここでは、おにぎりとオクラに注目（ちゅうもく）してみます。緑のオクラを結ぶ線は、おにぎり２つの間を通るでしょうか？　それとも、下側を通るでしょうか？

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おにぎり２コの間を通るか、下を通るか、２通りしかありません。上図の緑の点線、２本です。細（こま）かい通り方は、まだ気にせず、ザックリ考えます。

どちらか片方は、わりと簡単（かんたん）に、ダメだと分かります。すると、残ったもう片方の点線が、オクラの線の正しい引き方になります。そうすると、斧（おの）の線もほぼ分かるのです。これもヒントです。

それではいつものように、とりあえずここで中断（ちゅうだん）しましょう。次の更新（こうしん）、アップデートは、明日（日曜）の午後にします。ではまた。。

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はい。日曜の午後５時になったので、最初（さいしょ）の更新です。オクラの線から斧（おの）の線が分かるということは、オクラの線は下側の斧の辺（あた）りを通るということでしょう。つまり、オクラの線を上側に引いて、おにぎり２つの間を通すと、ダメなのです。

例えば、オクラの線を上図のように引くと、オタマジャクシや斧がそれぞれ１コだけ、緑の点線の下側に閉（と）じこめられてしまって、線を引けなくなってしまいます。

右下で斧の左を通しても、オタマジャクシが引けません。緑の点線をもう少し右上まで広げて、右上の斧を囲（かこ）い込んでも、今度は落ち葉の線が引けなくなります。

だから、オクラの線は下側を通るはず。ただし、下のように曲がった線は正解になりません。無意味に左下のマス目を埋（う）めてるからです。

というわけで、オクラの線と斧の線が下図のように決まります。

この後、斧の線はどう引けばいいでしょうか？　次の更新は明日（月曜）の夜にします。ではまた。

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はい。月曜の夜になりました。問題が新聞に出るのは土曜の朝だから、もう２日半も経（た）ってます。普通、アクセスは大幅（おおはば）に減るのですが、今回は珍（めずら）しく、まだかなりアクセスが入ってます。

ウチの記事をアップしたのは、普段より早めだったので、それだけ苦戦（くせん）してる人が多いのでしょう。もう少しだけ書いて、残りは土曜日にします。

斧（おの）の線をどう引くか、という話でした。つまり、左下から右上の斧まで、線をどう引くか。この場合（ばあい）、それと大きく交差（こうさ）、クロスする落ち葉の線をイメージすると分かりやすいでしょう。

上図のように、斧の線を落ち葉２つの間に通すと、おにぎりの線が右上の端あたりを通り抜（ぬ）けるはずだから、落ち葉の線は引けなくなってまいます。逆（ぎゃく）に言うと、落ち葉の線を先に引くなら、おにぎりの線が引けなくなってしまうのです。

ということは、斧の線は落ち葉２つの間を通らないということ。これでもう、大まかな引き方は分かるはず。するといよいよ、おにぎりの線もほぼ分かるでしょう。ただし、落ち葉の線のジャマをしないように。

あとはもう、細（こま）かい線の引き方を工夫（くふう）するだけ。最後の更新は、土曜の正解発表の後にします。ではまた。

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はい。次の土曜になりました。朝日新聞で正解が発表されたので、最後まで書きます。

　

斧（おの）の線は、落ち葉のジャマをしないように、左上の角を大回りするしかありません。すると、落ち葉の線は、斧やおにぎりの線をジャマしないよう、左下を回って下側でつなぐことになります。

左下のおにぎりからの線は、鬼２つの間を通ってジャマしないよう、上側にのびるはず。すると鬼の線は、短く縦（タテ）にむすぶことになります。もう、あとはすぐ分かるでしょう。

はい。完成しました！　たまたま今日、ネットで、子どもが書いた消しゴムのおはなしが話題になってます。消しゴムは間違（まちが）った言葉だけ消すから、間違った言葉だけ覚えてしまうという面白い発想。そのおはなし自体も、わざと間違いだらけの文字で書かれてます。上手（うま）いアイデアですね☆

ただ、人間が絵むすびを解く時には、できれば頭の中だけでイメージする方が速くてキレイです。消しゴムも楽（ラク）だから喜（よろこ）んでくれるでしょう♪　ではまた。。☆彡

　　　　　　（計　１９３９字）

　　（追記９７４字 ； 合計２９１３字）